wiskunde PO

[ahmet66]

beste mensen ik heb een vraagje,

ik heb een dringende vraag ik ben bezig met een wiskunde PO en ik moet het inleveren voor 4 uur maar het antwoord voor deze vraag moet ik binnen nu en een uur hebben, als iemand kan helpen, graag.

de vraag:

literblikken bonen,soep, enzovoort hebben altijd dezelfde vorm(cilinder);

komt dat omdat de hoeveelheid blik (de oppervlakte) het kleinst is bij deze inhoud? verklaar je antwoord met een berekening. Is er een verpakking mogelijk die dezelfde inhoud geeft en die minder materiaal kost?

bij deze vraag hoort een cilinder met de maten :

hoogte 12

diameter 5

meer heb je ook niet nodig om het te berekenen.

ik zit nu vast en heb dringend hulp nodig, hehe

alvast bedankt voor het moeite,

grtz

[TD]

Je bent wel erg laat met je vraag, als het al om 4u binnen moet...

Bereken bijvoorbeeld eens het volume van de cilinder met deze afmetingen.

Ga dan na hoeveel materiaal je nodig hebt om hetzelfde volume te krijgen met een 'doos' (balk, kubus, ...)

[ahmet66]

ok, ik heb het antwoord nu..

hieronder staat het antwoord alleen nu is de vraag, is er een verpakking mogelijk die dezelfde inhoud geeft en die minder materiaal kost?

Stel x = straal van de cilinder (diameter is dan dus 2x)

Inhoud cilinder: 1 liter = 100 cl = 1000 cm³

Formule inhoud cilinder = pi * r² * h = pi * x² * h

Dit is gelijk aan 1000 (van 1000 cm³).

1000 = pi * x² * h

<=> h = 1000 / (pi x²)

'Oppervlakte' van de cilinder (de mantel) is dan dus opp grondvlak & bovenvlak + omtrek grondvlak * hoogte. Dit schrijven we in functie van x

f(x) = x² * pi * 2 + 2x * pi * h

= 2pi x² + (2x * pi) * 1000 / (pi x²)

= 2pi x² + 2000x / x²

= 2pi x² + 2000 / x

De oppervlakte van de cilinder moet minim+aal zijn, f(x) moet dus zo klein mogelijk zijn. Hiervoor zoeken we een minimum van f(x), mbv de eerste afgeleide:

Hiervoor gaan we de grafiek plotten van de functie : f(x) = 2pxX2 +2000/X

Als de grafiek geplot is doen we g-solv en drukken we op min, zo krijg je het minimum van f(x). er komt bij ons uit, 5,41926 afgerond 5.4

Om te checken of het klopt gaan we het berekenen:

f'(x) = 4 pi x + 2000 * (-1 / x²) = 4pi x - 2000 / x²

f'(x) = 0 <=> 4pi x - 2000/x² = 0

<=> 4pi x = 2000 / x²

<=> 4pi x * x² = 2000

<=> 4 pi x³ = 2000

<=> x³ = 2000 / (4 pi) = 500 / pi

<=> x = ³V(50 / pi)) = 5.41926

De diameter is 2x = 10.8385214

De hoogte is 1000 / (pi*x²) = 10.8385214

dus als we de opp. willen weten berekenen we het met de volgende formule:

Opp=(2xpxrxh)+(2xpxr^2)

Opp=(2xpx5.41926x10.8385214)+(2xpx5.41926^2)

Opp= 553,6 cm2

nu gaan we het vergelijken met een kubus van 1liter inhoud, de zijden zijn dan 10x10x10=1000 cm3= 1dm3=1l

een kubus met 1 liter inhoud met zijden van 10, bereken je de opp. als volgt:

Opp=6xlxl

Opp=6x10x10= 600cm2



Dus als we de 2 oppervlaktes verglijken met elkaar zien we dat de oppervlakte van een cilinder dus minder materiaal gebruikt met dezelfde inhoud en dus het kleinste opp. heeft.

[ahmet66]

Je bent wel erg laat met je vraag, als het al om 4u binnen moet...

helaas kregen we het PO vandaag dus had ik niet veel meer tijd om het te melden, anders zou ik dat zeker doen

[oktagon]

Ik meen dat het kleinste oppervlak bij een grootste inhoud wordt gevormd door een vierkant die om zijn verticale as draait;stel vierkant 10 x 10 cm,om zijn as gedraaid is :

0,7854 X 1000 cm3= 785,4 cm3. Opp.is 3,14 x 10x10 +2 x 78,54= 471 cm2. De exacte benadering kan via hogere wisk.worden gedaan.

[Mattia]

Je kan het ook doen met functies van meerder veranderlijken en daar dan de Lagrange Techniek op loslaten. Gezien je de inhoud kan berekenen moet dit wel lukken. Ik weet niet of je dat al gezien hebt of niet.

(Ik heb dit toevallig een uurtje geleden in de les gezien)

[ahmet66]

gefixt mensen bedankt