Kruispunt lijn en oppervlakte n-bol

[werecow]

Hoi, dit is mijn eerste post hier. Ik ben geen middelbare scholier meer (hopelijk is dat geen probleem), maar in mijn studie heb ik weinig te maken met meetkunde, en dat is dus behoorlijk weggezakt.
Mijn probleem is als volgt:
Ik heb twee punten in een n-dimensionale ruimte x=(x1, ..., xn) en y = (y1, ..., yn), verbonden door een lijnstuk. y is het middelpunt van een n-dimensionale bol B (engels: hypersphere) met radius r. Nu wil ik de coordinaten vinden van het punt waar de oppervlakte van B en de lijn van x naar y elkaar kruisen. Hoe doe ik dit?

[martinvb]

Hey,

Eigenlijk past dit niet echt heel erg in het middelbarescholier gedeelte, aangezien je er wel een beetje stof voor nodig hebt dat je daar niet krijgt.

Laten we eerst even het hele spulletje zodanig verschuiven dat y in de oorsprong komt te liggen. Dan komt punt x te liggen in x'=(x1-y1,x2-y2,...).

Nu normeren we de vector x'. (maw: we laten hem een afstand 1 tot de oorsprong krijgen). Dit doen we door x' te delen door zijn lengte. Kortweg: x_n'=\frac{x'}{||x'||} met ||x'||:=\sqrt[2]{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+\cdots+(xn-yn)^2}

Het punt x'_n ligt dus op de getransleerde eenheids-hypersphere. Nu willen we hem niet op de eenheidshypersphere krijgen, maar op de sphere met straal r. Dus we vermenigvuldigen dit punt coordinaatsgewijs met r. Dus: x_B'=\frac{rx'}{||x'||}.

Het enige dat overblijft is het weer terug te transleren naar je oorspronkelijke probleem. Dus: x_B=\frac{rx}{||x'||}+y=\frac{r}{||x'||}x+y.

(Optelling, vermenigvuldiging en delen gebeurt elementsgewijs in de vector, net als aftrekken [zie bovenaan]).

Indien iets niet helemaal duidelijk is, geef even een schreeuw.

Groeten,

~~~Mart

PS. Ik zag ook je vraag over statistiek: sorry, hier kan ik je helaas niet echt mee helpen aangezien ik een beetje een gruwelijke hekel aan dat vakgebied heb en dus ook niet in verder gegaan ben.

[Safe]

Ga eerst uit van een vlak, dus R2.
Maak een tek die een antwoord op de vraag oplevert en probeer te generaliseren.

[werecow]

Hoi Mart, bedankt voor de methode. Achteraf natuurlijk weer vrij logisch als je het eenmaal weet, gewoon vectoren "krimpen" en "oprekken". Maar moet de laatste stap niet zijn:

x_B = \frac{r}{||x'||}x'+y?

[martinvb]

Goed opgemerkt, daar zit idd een typefoutje van mijn kant.

Dan kan het zelfs nog mooier:
x_B=\frac{rx'}{||x'||}+y=\frac{r}{||x'||}x'+y=\frac{r}{||x'||}(x-y)+y=\frac{r}{||x'||}x+(1-\frac{r}{||x'||})y. In dit geval valt ook direct te zien dat het op de lijn tussen x en y ligt.