Differentieren e^x

[MikeMike]

Ik moet eerst weten wat jij weet of geacht wordt te weten. Zit je op school? Zo ja, welke klas. Zo niet welke opleiding volg je?

Ik studeer economie aan de uva. We zijn nu bezig met partiele afgeleiden. Over het algemeen gaat wiskunde over differentieren bij ons, alle manieren komen zo een beetje aan bod. Verder vind ik wiskunde een heel leuk vak, het enige lastige is dat ik op korte termijn heel veel (heb) moet(en) leren.

Ik kom van een Hbo opleiding waarin wiskunde totaal geen rol speelde, door middel van veel studeren heb ik mijn kennis toch redelijk weten op te schroeven, alleen sommige dingen zijn mij toch niet helemaal duidelijk.

Ik dacht dat ik het goed deed aan de hand van de productregel dit blijkt toch niet waar te zijn.

[Safe]

Dit maakt je vraag iets duidelijker.
Neem je vb: f(x,y)=4y³*2x³, ik schrijf nu dat f een functie is van x en y als onafh var.
Diff naar x, betekent nu partiëel diff naar x, dwz y is een constante. Dus:

\(\frac {\partial f}{\partial x}=4y^3\cdot 6x^2\)

en partiëel diff naar y, x is constant:

\(\frac {\partial f}{\partial y}=12y^2\cdot 2x^3\)

Het wordt een ander geval als y geacht wordt een functie van x te zijn (dus formeel y(x)). Dan wordt diff naar x:

\(\frac{df}{dx}=6x^2\cdot 3y^3+2x^3\cdot 12y^2\frac{dy}{dx}\)

Je ziet dat hier productregel en kettingregel gebruikt moeten worden.

Dus, het hangt van het probleem af wat er aan de hand is en wat je moet doen.

[MikeMike]

Dit maakt je vraag iets duidelijker.
Neem je vb: f(x,y)=4y³*2x³, ik schrijf nu dat f een functie is van x en y als onafh var.
Diff naar x, betekent nu partiëel diff naar x, dwz y is een constante. Dus:

\(\frac {\partial f}{\partial x}=4y^3\cdot 6x^2\)

en partiëel diff naar y, x is constant:

\(\frac {\partial f}{\partial y}=12y^2\cdot 2x^3\)

Het wordt een ander geval als y geacht wordt een functie van x te zijn (dus formeel y(x)). Dan wordt diff naar x:

\(\frac{df}{dx}=6x^2\cdot 3y^3+2x^3\cdot 12y^2\frac{dy}{dx}\)

Je ziet dat hier productregel en kettingregel gebruikt moeten worden.

Dus, het hangt van het probleem af wat er aan de hand is en wat je moet doen.

Ok dit maakt het al een stuk duidelijker, maar dat 2e voorbeeld wat je schetst hoe herken ik zo een probleem, dus hoe weet ik dan dat ik daar wel met de productregel moet werken?

Partieel weet ik wel, die is bijvoorbeeld z=f(x,y)=...... hieraan zie ik wel dat ik een partiele afgeleide moet vinden voor zowel x als y alleen wat ik dan niet begrijp waarom je Y wel laat staan als hij als constante wordt gebruikt bij differentieren naar x

[Safe]

Nogmaals dat met uit de context van de probleemstelling komen. Dus dat valt niet op te maken uit het functievoorschrift.
Maar neem je vb, je schrijft: f(x)=..., in dit geval is sprake van slechts één onafh var x en elke andere letter zal dus afh zijn van x of een constante.
Omdat je zelf over partëel diff begon, heb ik daar f(x,y) van gemaakt en daarmee x en y beide als onaf var gedefinieerd.

[MikeMike]

Nogmaals dat met uit de context van de probleemstelling komen. Dus dat valt niet op te maken uit het functievoorschrift.
Maar neem je vb, je schrijft: f(x)=..., in dit geval is sprake van slechts één onafh var x en elke andere letter zal dus afh zijn van x of een constante.
Omdat je zelf over partëel diff begon, heb ik daar f(x,y) van gemaakt en daarmee x en y beide als onaf var gedefinieerd.

Ok dan denk ik dat ik het nu begrijp. Het hangt dus af van de functienotatie ==> f(x) en dan 2 variabelen is dus productregel

f(x,y) dan differentieren naar 1 variabele, is duidelijk. Maar waarom hou je y over als je naar x differentieert in mijn voorbeeld, terwijl hij als constante moet worden gebruikt ?

[Safe]

Ok dan denk ik dat ik het nu begrijp. Het hangt dus af van de functienotatie ==> f(x) en dan 2 variabelen is dus productregel en kettingregel

f(x,y) dan differentieren naar 1 variabele, is duidelijk. Maar waarom hou je y over als je naar x differentieert in mijn voorbeeld, terwijl hij als constante moet worden gebruikt ?

Dit is me niet duidelijk. Noteer eens wat het probleem is in die partiële afgeleide.

[MikeMike]

Ok, ik zal mijn probleem op een andere manier proberen uit te leggen.
Stel je hebt de volgende functie: f(x,y)= xy^2 + x^2y voor het gemak neem ik alleen even de partiele afgeleide naar x. y is dus de constante

fx(x,y)= y^2+2xy waarom hou je hier dan alsnog een y waarde over? een afgeleide van een constante is toch 0?

Dan een ander probleem: w= x^2*e^(2x+3y) vind partieel afgeleide x en partieel afgeleide y (ik weet niet hoe ik die notatie maak op het forum)
hier wordt dan wel weer de productregel gebruikt, en in mijn eerdere voorbeeld niet.

[Safe]

Antwoord volgt later na 5.00 uur.

[Safe]

Ok, ik zal mijn probleem op een andere manier proberen uit te leggen.
Stel je hebt de volgende functie: f(x,y)= xy^2 + x^2y voor het gemak neem ik alleen even de partiele afgeleide naar x. y is dus de constante

fx(x,y)= y^2+2xy waarom hou je hier dan alsnog een y waarde over? een afgeleide van een constante is toch 0?

Dan een ander probleem: w= x^2*e^(2x+3y) vind partieel afgeleide x en partieel afgeleide y (ik weet niet hoe ik die notatie maak op het forum)
hier wordt dan wel weer de productregel gebruikt, en in mijn eerdere voorbeeld niet.

f_x(x,y)= y^2+2xy waarom hou je hier dan alsnog een y waarde over? een afgeleide van een constante is toch 0?
Dit is elementair. Hoe diff je (naar x):
f(x)=x+3 en g(x)=5x+3, zie je het verband. Breng dat eens onder woorden.

\(f(x)=x^2*e^{2x+3y}\)

\(f'(x)=2x\cdot e^{2x+3y}+x^2\cdot e^{2x+3y}\cdot (2+3y')\)

Hierin is y een functie van x. Probeer dit resultaat ook te bereiken met

\(e^{2x}\cdot e^{3y}~~(=e^{2x+3y})\)

[MikeMike]

Hoe diff je (naar x): f(x)=x+3: f'(x)= 1 ?
en g(x)=5x+3: f'(x)= 5x
Het verband waarop je doelt zie ik niet denk ik.....

Probeer dit resultaat ook te bereiken met

\(e^{2x}\cdot e^{3y}~~(=e^{2x+3y})\)

f'(x)= e^{2x+3y}.(5)

[Safe]

Hoe diff je (naar x): f(x)=x+3: f'(x)= 1 ?
en g(x)=5x+3: g'(x)= 5
Het verband waarop je doelt zie ik niet denk ik.....

Probeer dit resultaat ook te bereiken met

\(e^{2x}\cdot e^{3y}~~(=e^{2x+3y})\)

f'(x)= e^{2x+3y}.(5)

Je moet je steeds afvragen of je te maken hebt met een constante factor of met een constante term. Bv in f(x)=x+3 is 3 een constante term en in g(x)=5x+3 is 5 een constante factor. Wat heeft dat nu met je vraag te maken?

Het laatste gaat goed fout.
De e-macht uit de opg heb ik als product van e-machten geschreven, is dat onbekend?
"f'(x)= e^{2x+3y}.(5)", hoe kom je aan die 5?

Ik zie nu dat je w=... hebt geschreven en x en y als onafh var beschouwt. Zodoende:

\(\frac{\partial w}{\partial x}=2x\cdot e^{2x+3y}\cdot 2\)

Doe jij die naar y!

Opm: Als je de cursor op de formule zet, zie je de LaTex formule.

[MikeMike]

Wat heeft dat nu met je vraag te maken?

Een constante factor blijft staan? Dan vraag ik me wel af hoe je die constante factor kunt herkennen, als ik dat weet zal het partiele afleiden een stuk makkelijker worden.

Het laatste gaat goed fout.
De e-macht uit de opg heb ik als product van e-machten geschreven, is dat onbekend?
"f'(x)= e^{2x+3y}.(5)", hoe kom je aan die 5?

Het schrijven als product is me inderdaad niet bekend. Ik zal het nogmaals proberen: f'(x)=e^(2x+3y)*(2) ?
Ik kwam aan 5 omdat ik dacht dat je y ook moet differentieren en dan 2+3.

Doe jij die naar y!

Uitgaande van de productregel (weet nog steeds niet waarom je die hier wel gebruikt)

\(\frac{\partial w}{\partial y}=x^2\cdot e^{2x+3y}\cdot 3\)

[Safe]

"Een constante factor blijft staan? Dan vraag ik me wel af hoe je die constante factor kunt herkennen, als ik dat weet zal het partiele afleiden een stuk makkelijker worden. "
Antw: een factor is deel van een product. Een term is deel van een som.

"Ik kwam aan 5 omdat ik dacht dat je y ook moet differentieren en dan 2+3."
Antw: dan heb je voor 2x naar x en voor 3y naar y gedifferentiëerd??? Zou dat kunnen?

"Uitgaande van de productregel (weet nog steeds niet waarom je die hier wel gebruikt)"
Antw: je gebruikt de productregel niet. Laat dat anders eens zien.

De partiële afgeleide naar y is correct.

[MikeMike]

Antw: een factor is deel van een product. Een term is deel van een som.
Ok, termen vervallen, factoren blijven staan. Daarom kan je in het eerder genoemde voorbeeld
f(x,y)=4y³*2x³ bij differentieren naar x dus 4y^3 laten staan ?

Antw: dan heb je voor 2x naar x en voor 3y naar y gedifferentiëerd??? Zou dat kunnen?

Nope, inderdaad een fout die vermeden had kunnen worden bij logisch nadenken.

Antw: je gebruikt de productregel niet. Laat dat anders eens zien.


w=(x^2)*e^(2x+3y)
Diff naar y: (x^2) => 0 *e^(2x+3y) + (x^2)*e^(2x+3y)*(3) => blijft over (x^2)*e^(2x+3y)*(3)

[Safe]

"w=(x^2)*e^(2x+3y)
Diff naar y: (x^2) => 0 *e^(2x+3y) + (x^2)*e^(2x+3y)*(3) => blijft over (x^2)*e^(2x+3y)*(3)"
Antw: Formeel heb je gelijk (gelukkig). Maar dit noemen we toch niet het gebruik van de productregel.

Vergelijk het hiermee:
f(x)=2x
f'(x)=0*x+2*1
Een leuke is wel:
f(x)=x²=x*x
f'(x)=1*x+x*1