kansberekening raadsel dobbelsteenworpen

[Thedunce]

Hallo allemaal.

Ik ben zoals mijn gebruikersnaam suggereert een enorme dunce wanneer het aankomt op wiskunde. ik heb echter een geweldig raadsel waar zelfs wis-kundige mensen in mijn omgeving niet uitkomen ik vroeg me af of men hier het raadsel wel op kan lossen.

dit is de situatie:

Ik heb 4 dobbelstenen. Deze werp ik tegelijkertijd en er zijn uiteraard 6 uitkomsten mogelijk per dobbelsteen. Ik moet bij de worp van deze 4 dobbelstenen, 4 verschillende resultaten krijgen. Elk resultaat wat niet uniek is (dus wat vaker dan eens voorkomt) moet overnieuw geworpen worden. BV; mocht ik drie maal 1 werpen dan blijft één van de 1tjes staan en gooi ik de andere twee overnieuw. Dit doe ik net zo lang tot ik 4 verschillende resultaten heb.

begrepen?

Hoe groot is dan de kans dat ik tijdens deze proef geen 2 gooi als resultaat? met andere woorden hoe groot is de kans dat ik vier verschillende resultaten werp waar de 2 dus niet tussen zit?

ik ben benieuwd wat jullie ervan maken

[arno_sciencetalk]

Je wilt alleen die uitkomsten hebben die per dobbelsteen verschillend zijn. Een mogelijke aanpak is de volgende: neem aan dat je met de eerste dobbelsteen een 1 gooit, dan zijn de overige verschillende uitkomsten 2 t/m 6. Je hebt voor de tweede dobbelsteen dus nog 5 moglijkheden, voor de derde nog 4 en voor de vierde nog 3 om verschillende uitkomsten te krijgen. Als het aantal ogen van de eerste dobbelsteen 2, 3, 4, 5 of 6 is krijg je hetzelfde aantal mogelijkheden voor de overige dobbelstenen. Kijk eens of je hiermee verder komt.

[Thedunce]

ikzelf kom er niet uit. het erge is ook nog is dat er gevraagd word om een percentage.

[luijs]

't is heel simpel. Hoeveel mogelijkheden zijn er om 4 verschillende cijfers te hebben?
Hoeveel van die mogelijkheden hebben geen 2 erin?
Dat zijn er 5: namelijk, je gooit niet deze ogenparen: 21, 23, 24, 25, 26
Percentage rolt er zomaar uit dan!

[siep]

Dat zijn er 5: namelijk, je gooit niet deze ogenparen: 21, 23, 24, 25, 26

Hoe kom je hier precies aan??

Het antwoord =

\frac{aantal.mogelijkheden.zonder.twee}{totaal.aantal.mogelijkheden}*100%

Om het totaal aantal mogelijkheden (= mogelijke uitkomsten) te berekenen volg je de methode van arno hierboven:
6x5x4x3 = 360
Het aantal mogelijkheden zonder 2 is op dezelfde manier:
5x4x3x2 = 120
[voor de eerste hebben we keuze uit 5 mogelijkheden (geen 2), voor de tweede 4 mogelijkheden (geen 2 en niet gelijk aan de eerste), etc]
Eigenlijk moeten we beide getallen nog delen door 4x3x2x1 omdat de volgorde niet van belang is, maar deze vallen in bovenstaande breuk toch tegen elkaar weg.
Het formele antwoord is dus

\frac{5 \choose 4}{6 \choose 4}*100%

Voor diegenen die het er niet of wel mee eens zijn zijn hier alle mogelijke uitkomsten:
{1,2,3,4}
{1,2,3,5}
{1,2,3,6}
{1,2,4,5}
{1,2,4,6}
{1,2,5,6}
{1,3,4,5}
{1,3,4,6}
{1,3,5,6}
{1,4,5,6}
{2,3,4,5}
{2,3,4,6}
{2,3,5,6}
{2,4,5,6}
{3,4,5,6}

[Thedunce]

als ik het dus goed begrijp is er een kans van 83,33 % dat ik tijdens mijn kleine proefje van 4 dobbelstenen werpen geen 2 zal gooien en 4 unieke resultaten zal krijgen. hmm dat is erg handig om te weten. Ik dacht dat dit raadsel ingewikkelder was aangezien ik dacht dat je de kans ook moest meerekenen dat elke mogelijke dubbele of drie of vier dezelfde resultaten, dobbelstenen zouden bevatten die overgeworpen moesten worden, waarbij ik dacht dat hier een aparte kansberekening op losgelaten moest worden. Ik dacht dat de som dan ook veel ingewikkelder zou worden dan wat hier gepost is.

wat ik alleen niet begrijp is dat je overstapt van 120 en 360 naar breuken. aangezien (120 / 360) X100% = 33.3%

dus zou de kans op een 2 gooien op 4 dobbelstenen met unieke resultaten dan niet gewoon simpelweg 66,6% zijn?

of mis ik hier nu iets?

[siep]

De kans dat er geen 2 in het eindresultaat zit is 33,33%, het zijn combinaties, geen breuken:

{5 \choose 4}=\frac{5*4*3*2}{4*3*2*1}=5

{6 \choose 4}=\frac{6*5*4*3}{4*3*2*1}=15

Het gaat hier alleen om het eindresultaat, en dit moeten 4 verschillende cijfers zijn.
Alle 15 mogelijke uitkomsten heb ik hierboven gegeven, je ziet dat er inderdaad maar 5 zijn zonder 2.

Omdat het alleen gaat om de eindresultaten hoef je niet naar de tussenliggende stappen en kansen te kijken om tot het eindresultaat te komen. Sterker nog: als je dit zou doen, zou je tot in het oneindige door moeten blijven gaan. Bijvoorbeeld: je gooit in je eerste worp {1,1,2,3}, dan moet je een 1 opnieuw gooien, maar theoretisch kan deze dobbelsteen in de tweede en elke volgende worp altijd op 1, 2 of 3 ogen terecht komen, waardoor je moet blijven werpen...

[Thedunce]

oke dan komen we op het vervolg hiervan. en nu wordt het leuk.

nadat de 4 dobbelstenen zijn geworpen, krijg ik dezelfde situatie nogmaals met 2 dobbelstenen ieder en dat 3 keer. dit ziet er dus zo uit.

kans op geen 2 =

33,3% op 4 dobbelstenen
66,6% op 2 dobbelstenen
66,6% op 2 dobbelstenen
66,6% op 2 dobbelstenen

aan het eind van deze rit, hoe groot is dan de algehele kans dat er geen 2 word gegooid? de 2 dobbelstenen die in de andere 3 sets worden gegooid volgen dezelfde regels als de eerste set, resultaten moeten uniek zijn, dubbele worden overgegooid. resultaten uit andere sets beinvloeden elkaar niet. met andere woorden elke set zou een 6,5,4,3,2,1 als resultaat mogen aandragen. (bv. eerste set = 4,3,1,5, tweede set = 3,4, dit mag)

hoe groot is dan de kans dat over alle sets genomen er geen enkele 2 verschijnt? En de volgende vraag is dan ook gelijk. hoe vaak verschijnt gemiddeld het cijfer 2 over alle sets genomen?

[siep]

Met 4 dobbelstenen zijn er 15 mogelijke uitkomsten waarvan 5 zonder 2
Met 2 dobbelstenen zijn er ook 15 mogelijke uitkomsten waarvan nu 10 zonder 2
In totaal speel je 4 keer: 1 ronde met 4 dobbelstenen, 3 rondes met 2 dobbelstenen.
Er zijn in totaal dan 15^4 = 50625 mogelijke speluitkomsten, en 5x10x10x10 = 5000 daarvan zonder 2.
De kans op "geen 2 in het hele spel van 4 rondes" = 5000/50625 ofwel ongeveer 9,88%
(je had natuurlijk ook direct het product van je 4 kansen kunnen berekenen = (1/3)*(2/3)^3)

Het gemiddelde aantal 2-en:
Per spel heb je 10 dobbelsteen-resultaten (4+2+2+2), elk ogenaantal (1 t/m 6) heeft gelijke kansen, dus gemiddeld is er per volledig spel 10/6 = 5/3 = 1.67 keer een 2.

PS: Is dit een bestaand spel of ben je zelf wat aan het maken?

[Thedunce]

dit is in feite een afweging. ik speel een bestaand spel waarbij bepaalde keuzes moeten worden gemaakt op basis van hoe sterk iemand in het spel is. het punt is echter dat ik moest kiezen tussen het garanderen van een 2 als uitkomst door mezelf zwakker te maken (men krijgt dan automatisch alle resultaten maar word hier zwakker van) of mijn kansen nemen en proberen de 2 zelf te gooien zonder mijzelf zwakker te maken. nu ik heb gezien dat over het algemeen genomen de kans op falen over de gehele reeks minder dan 10% is denk ik dat mijn keus gemaakt is.

vriendelijk dank