Aantonen juistheid formule

[leonnetje]

Kan iemand mij helpen deze formule aan te tonen, zelfs met het correctiemodel blijft het hogere magie voor mij.

Gegeven is een jaar verbruik van 8,7 miljoen ton in 1970.
Het verbruik groeit met 5,8% per jaar.
De gegeven formule voor het totale verbruik T(n) in miljoenen tonnen in de eerste jaren (n) na 1970 is als volgt.
T(n)= 150*(1,058)^n-150

van deze formule moet de juistheid aangetoond worden.
Het enige herkenbare voor mij in deze formule is de (1,058)^n
Kan iemand mij deze opgave uitleggen?

[siep]

Volgens mij klopt dit ook niet.
Als je neemt
n = aantal jaren na 1970
T(0) = het verbruik in 1970 = 8.7*10^6
T(n) = het verbruik in n jaren na 1970, waarbij de jaarlijkse groei = 5.8%
dan is het verbruik in miljoenen tonnen:
T(n) = 8.7 * 1.058^n
en dit is denk ik wat jij ook bedoelt.

Je kan ook uitrekenen wanneer T(n) = 150, ik kom dan uit op n=50.5018...

Als ze de absolute hoeveelheid per jaar MEER dan in 1970 zouden willen weten, dan kom je uit op
T(n) = 8.7 * 1.058^n - 8.7
maar dit is ook wat anders dan in de opgave staat.

Vond jij zelf ook zoiets?

[leonnetje]

Precies, dat is ook mijn probleem.

Het is een examenopgave en ik geloof direct dat de opgave klopt, maar ik kom niet veel verder.

men komt in het correctiemodel op:

T(n) = 8,7* \frac{(1,058)^n-1}{1,058-1}

maar hoe en waarom is mij een raadsel

[siep]

Noem J(n) het jaarverbruik zoals we hierboven eerst dachten: J(n)=8.7 * 1.058^n
Dan noemen ze T(n) het totaal verbruik over n jaar na 1970, blijkbaar inclusief 1970,
dus "voor n = 0 t/m (n-1)", de eerste n voor T(n), de tweede n voor J(n):

T(n) = \sum_{i=0}^{n-1}J(i) = J(n-1) + J(n-2) + ... + J(1) + J(0)

= 8.7 * 1.058^{n-1} + 8.7 * 1.058^{n-2} + .... + 8.7 * 1.058^1 + 8.7

= 8.7 * (1.058^{n-1} + 1.058^{n-2} + .... + 1.058^1 + 1)

= 8.7 * \frac{1.058^n - 1}{1.058 - 1}

= 8.7 * \frac{1.058^n - 1}{0.058}

= 150 * (1.058^n - 1)

= 150 * 1.058^n - 150

Bij deze afleiding gebruik je een bijzonder product:

\frac{a^n-1}{a-1}=a^{n-1} + a^{n-2}+...+a+1

Ik denk dat ze je deze laatste gelijkheid willen laten bewijzen.
Je kan natuurlijk schrijven:

(a-1)*(a^{n-1} + a^{n-2}+...+a+1)=

= [a^{n} + a^{n-1}+...+a^2+a] - [a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1]

= a^n - 1

Wat netter bewijs je dit met volledige inductie.

Kom je zo verder?

[leonnetje]

Ik raak je kwijt tussen de volgende twee regels

= 8.7 * (1.058^{n-1} + 1.058^{n-2} + .... + 1.058^1 + 1)

= 8.7 * \frac{1.058^n - 1}{1.058 - 1}

hoe kom je van de eerste regel op de tweede regel terecht?

[siep]

Dit is het bijzonder product dat ik onder de afleiding beschrijf:

[formule 1]:

\frac{a^n-1}{a-1}=a^{n-1} + a^{n-2}+...+a+1

waarbij a = 1.058.
Dit levert dan de gelijkheid die ik gebruikt heb:

\frac{1.058^n-1}{1.058-1}=1.058^{n-1} + 1.058^{n-2}+...+1.058+1

Vergelijk deze formule ook eens met het product dat je al langer kent:
(a-b)*(a+b) = a^2 - b^2
waarbij b=1:
(a-1)*(a+1) = a^2 - 1
ofwel

[formule 2]:

\frac{a^2-1}{a-1}=a+1

In feite is [formule 1] dus een uitgebreidere = algemenere versie van [formule 2].