Hulp nodig

[Visserke]

Hoe bepaal ik onderstaande:

alpha: x + y + z - 3 = 0

rechte A: x + z - 3 = 0
y - 3 = 0

- Bepaal de normaalvector
- Bepaal de richtingsvector
- Is A evenwijdig met alpha?
- Afstand van A tot alpha
- Bepaal een stelsel vergelijkingen voor rechte B evenwijdig met A door de oorsprong

Hoe begin ik hier aan?

[arno_sciencetalk]

Als ax+by+cz = d de vergelijking van het vlak voorstelt, dan is (a,b,c) de normaalvector. De richtingsvector van de rechte vind je door 1 van de variabelen x, y en z gelijk te stellen aan t en daarna de andere 2 variabelen in t uit te drukken. Een rechte en een vlak lopen evenwijdig als de richtingsvector van de rechte loodrecht op de normaalvector van het vlak staat. Als de rechte en het vlak evenwijdig zijn vind je de afstand van de rechte tot het vlak als volgt: kies een punt P op de rechte en pas vervolgens de afstandsformule voor de afstand van een punt tot een vlak toe. Een rechte loopt evenwijdig aan een gegeven rechte als beide rechten dezelfde richtingsvector hebben. Door de in deze richtingsvector voorkomende parameter te elimineren kun je de rechte als een stelsel vergelijkingen weergeven.

[Visserke]

- Bepaal de normaalvector
(1,1,1)

- Bepaal de richtingsvector
y - 3 = 0 <=> y = 3
x + y + z - 3 = 0 <=> x + 3 + z - 3 = 0 <=> x + z = 0
x + z - 3 = 0 <=> 0 - 3 = 0 <=> -3 = 0 <=> 0 = 0

Bedoelt u voor het bepalen van de richtingsvector dit?

[arno_sciencetalk]

- Bepaal de normaalvector
(1,1,1)

- Bepaal de richtingsvector
y - 3 = 0 <=> y = 3
x + y + z - 3 = 0 <=> x + 3 + z - 3 = 0 <=> x + z = 0
x + z - 3 = 0 <=> 0 - 3 = 0 <=> -3 = 0 <=> 0 = 0

Bedoelt u voor het bepalen van de richtingsvector dit?

De normaalvector van het vlak is correct. Om de richtingsvector van de rechte te vinden doe je het volgende: stel x = t, dan volgt uit x+z-3 = 0 dat z = 3-t, dus de rechte heeft dan de vectorvoorstelling (x,y,z) = (0,3,3)+t(1,0,-1), dus de richtingsvector is dan...

[Visserke]

dus de rechte heeft dan de vectorvoorstelling (x,y,z) = (0,3,0)+t(1,0,-1), dus de richtingsvector is dan...

Kan u deze stap verduidelijken. Deze begrijp ik niet goed.

Deze methode kan ik niet terugvinden in de theorie die ik gekregen heb.

[arno_sciencetalk]

dus de rechte heeft dan de vectorvoorstelling (x,y,z) = (0,3,0)+t(1,0,-1), dus de richtingsvector is dan...

Kan u deze stap verduidelijken. Deze begrijp ik niet goed.

Deze methode kan ik niet terugvinden in de theorie die ik gekregen heb.

De rechte wordt hier voorgesteld als een stelsel van 2 vergelijkingen met 3 onbekenden. Deze vergelijkingen stellen vergelijkingen van een vlak voor, dus de rechte stelt de doorsnede van deze 2 vlakken voor. Om de richtingsvector van deze rechte te vinden hebben we de vectorvoorstelling van de rechte nodig. Stel dat de richtingsvector van deze rechte wordt uitgedrukt met een parameter t, dan vinden we de vectorvoorstelling door in 1 van de vlakvergelijkingen x, y of z gelijk aan t te stellen en dit resultaat in de andere vlakvergelijking in te vullen. We vinden dan x, y en z, uitgedrukt in t, zodat we aan de hand daarvan de vectorvoorstelling van de rechte, en ook de gevraagde richtingsvector, kunnen vinden.

[Visserke]

(x,y,z) = (0,3,0)+t(1,0,-1)

Hoe kom je dan hieraan? Sorry maar ik zie het niet.

[arno_sciencetalk]

(x,y,z) = (0,3,0)+t(1,0,-1)

Hoe kom je dan hieraan? Sorry maar ik zie het niet.

We hebben te maken met het volgende stelsel vergelijkingen
x + z - 3 = 0
y - 3 = 0.
Dit stelsel stelt de vergelijking voor van 2 vlakken. De rechte die je zoekt is de doorsnede van deze 2 vlakken. Als (p,q,r) een steunvector en (u,v,w) de richtingsvector van deze rechte voorstelt, dan is
(x,y,z) = (p,q,r)+t(u,v,w) de vectorvoorstelling van deze rechte. Om deze vectorvoorstelling te vinden stellen we in de eerste vergelijking x = t. Dit geeft: t+z-3 = 0, dus z = 3-t. Uit de tweede vergelijking lezen we af dat y = 3, dus (x,y,z) = (t,3,3-t) = (0,3,3)+(t,0,-t) = (0,3,3)+t(1,0,-1). De rechte heeft dus de vectorvoorstelling (x,y,z) = (0,3,3)+t(1,0,-1), waaruit je dus direct de gevraagde richtingsvector kunt aflezen.

[Visserke]

Ok. Deze methode gaat dus altijd op? t kun je gelijkstellen aan x, y of z? Dat maakt dus niet uit?

De richtingsvector is dus (x,y,z) = (0,3,3)+t(1,0,-1). Ik vind het raar dat deze methode niet kan terugvinden in de theorie.

- Is A evenwijdig met alpha?

rechte A: x + z - 3 = 0
y - 3 = 0

Bepalen richtingsvector van de rechte:

r ( [0 1],[1 1],[1 0])
[1 0],[0 0],[0 1]

r (-1,0,1)

alpha: x + y + z - 3 = 0 => (1,1,1)

A//alpha => a1.A1 + b1.B1 + c1.C1 = 0 <=> -1.1 + 0.1 + 1.1 = 0 <=> -1 + 1 = 0 =>evenwijdig!

- Afstand van A tot alpha

Een punt op de rechte:

Stel: x = 0 => (0,3,3)

[[A alpha ]] = [A.x1 + B.y1 + C.z1 + D] / vkw(A² + B² + C²)

= [1.0 + 1.3 + 1.3 - 3] / vkw(1² + 1² + 1²) = 3 / 1 = 3

Kan deze redenering kloppen?

- Bepaal een stelsel vergelijkingen voor rechte B evenwijdig met A door de oorsprong

Hier zit ik vast mee.

[arno_sciencetalk]

Ok. Deze methode gaat dus altijd op? t kun je gelijkstellen aan x, y of z? Dat maakt dus niet uit?

Nee, je stelt x, y of z gelijk aan t. Het hangt van de coëfficiënten in de vergelijkingen af of het het makkelijkst is om bijvoorbeeld x gelijk aan t te stellen.

De richtingsvector is dus (x,y,z) = (0,3,3)+t(1,0,-1). Ik vind het raar dat deze methode niet kan terugvinden in de theorie.

Welke methode heb je dan gezien om de richtingsvector van een rechte te bepalen, en hoe zou je die in dit geval toe kunnen passen?

- Is A evenwijdig met alpha?

rechte A: x + z - 3 = 0
y - 3 = 0

Bepalen richtingsvector van de rechte:

r ( [0 1],[1 1],[1 0])
[1 0],[0 0],[0 1]

r (-1,0,1)

alpha: x + y + z - 3 = 0 => (1,1,1)

A//alpha => a1.A1 + b1.B1 + c1.C1 = 0 <=> -1.1 + 0.1 + 1.1 = 0 <=> -1 + 1 = 0 =>evenwijdig!

Dit klopt, al is het naar mijn idee nogal slordig opgeschreven.

- Afstand van A tot alpha

Een punt op de rechte:

Stel: x = 0 => (0,3,3)

[[A alpha ]] = [A.x1 + B.y1 + C.z1 + D] / vkw(A² + B² + C²)

= [1.0 + 1.3 + 1.3 - 3] / vkw(1² + 1² + 1²) = 3 / 1 = 3

Kan deze redenering kloppen?

Nee, dit klopt niet. In de noemer heb je namelijk geen 1, maar √3 staan, dus de afstand van de rechte tot het vlak is dan...

- Bepaal een stelsel vergelijkingen voor rechte B evenwijdig met A door de oorsprong

Hier zit ik vast mee.

De rechte gaat door O en heeft eveneens richtingsvector (-1,0,1), dus de rechte heeft de vectorvoorstelling (x,y,z) = u(-1,0,1). Omdat de rechte door O gaat en deze rechte de doorsnede van 2 vlakken voorstelt, gaan deze vlakken ook door O, dus je krijgt een stelsel van de vorm
ax+by+cz = 0
px+qy+rz = 0.
Hint: P(-u,0,u) is voor alle reële waarden van u een punt van de rechte. Welk verband bestaat er dan tussen de x- en de z-coördinaat, en wat weet je van de y-coördinaat van P?

[Visserke]

Welke methode heb je dan gezien om de richtingsvector van een rechte te bepalen, en hoe zou je die in dit geval toe kunnen passen?

Bepalen richtingsvector van de rechte:

A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0
A2.x + B2.y + C2.z + D1 = 0

r ( [B1 C1],[C1 A1],[A1 B1]) is een richtingsvector van A
[B2 C2],[C2 A2],[A2 B2]

De gegevens gewoon invullen vanuit de vergelijkingen maar dan kom ik uit (-1,0,1). De tekens zijn omgewisseld dan.

Nee, dit klopt niet. In de noemer heb je namelijk geen 1, maar √3 staan, dus de afstand van de rechte tot het vlak is dan...

vkw(3)

De rechte gaat door O en heeft eveneens richtingsvector (-1,0,1), dus de rechte heeft de vectorvoorstelling (x,y,z) = u(-1,0,1). Omdat de rechte door O gaat en deze rechte de doorsnede van 2 vlakken voorstelt, gaan deze vlakken ook door O, dus je krijgt een stelsel van de vorm
ax+by+cz = 0
px+qy+rz = 0.
Hint: P(-u,0,u) is voor alle reële waarden van u een punt van de rechte. Welk verband bestaat er dan tussen de x- en de z-coördinaat, en wat weet je van de y-coördinaat van P?

Hier kan ik even niet volgen hoe u aan de vergelijkingen komt. Het verband tussen de x- en y-coördinaat is dat deze tegengesteld zijn en dat de y-coördinaat 0 is.

Sorry dat het nogal slordig overkomt maar bij het posten verschuiven er soms enkele dingen waardoor dit zo lijkt. Excuseer hiervoor.

[arno_sciencetalk]

Welke methode heb je dan gezien om de richtingsvector van een rechte te bepalen, en hoe zou je die in dit geval toe kunnen passen?

Bepalen richtingsvector van de rechte:

A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0
A2.x + B2.y + C2.z + D1 = 0

r ( [B1 C1],[C1 A1],[A1 B1]) is een richtingsvector van A
[B2 C2],[C2 A2],[A2 B2]

De gegevens gewoon invullen vanuit de vergelijkingen maar dan kom ik uit (-1,0,1). De tekens zijn omgewisseld dan.

Het maakt voor de richtingsvector niet uit of je (-1,0,1) of (1,0,-1) kiest. Kun je overigens even uitleggen wat je precies met de notatie [B1 C1] bedoelt? Dat is me namelijk niet echt duidelijk.

Nee, dit klopt niet. In de noemer heb je namelijk geen 1, maar √3 staan, dus de afstand van de rechte tot het vlak is dan...

vkw(3)

Dat is inderdaad het juiste antwoord.

De rechte gaat door O en heeft eveneens richtingsvector (-1,0,1), dus de rechte heeft de vectorvoorstelling (x,y,z) = u(-1,0,1). Omdat de rechte door O gaat en deze rechte de doorsnede van 2 vlakken voorstelt, gaan deze vlakken ook door O, dus je krijgt een stelsel van de vorm
ax+by+cz = 0
px+qy+rz = 0.
Hint: P(-u,0,u) is voor alle reële waarden van u een punt van de rechte. Welk verband bestaat er dan tussen de x- en de z-coördinaat, en wat weet je van de y-coördinaat van P?

Hier kan ik even niet volgen hoe u aan de vergelijkingen komt. Het verband tussen de x- en y-coördinaat is dat deze tegengesteld zijn en dat de y-coördinaat 0 is.

De 2 vergelijkingen stellen de vergelijkingen voor van 2 vlakken die als doorsnede de rechte met vectorvoorstelling (x,y,z) = u(-1,0,1) geven. Uit het gegeven dat de x- en z-coördinaat tegengesteld zijn volgt dat x = -z, dus x-z =0, wat de vergelijking voor het ene vlak geeft,
en uit het gegeven dat de y-coördinaat 0 is volgt y = 0, wat de vergelijking voor het andere vlak geeft. Je kunt dit ook vinden door de methode die jij kent voor het bepalen van de richtingsvector omgekeerd toe te passen: via de kentallen van de richtingsvector kun je het verband tussen de coëfficiënten van de vlakvergelijkingen, en dus de vergelijkingen van de vlakken, vinden.

[Visserke]

Ik heb nog een klein vraagje tussendoor. Er heerst een beetje verwarring.

Om de richtingsvector van een vlak / rechte te bepalen kun je gebruik maken van:

Methode 1

A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0
A2.x + B2.y + C2.z + D1 = 0

[B1 C1],[C1 A1],[A1 B1])
[B2 C2],[C2 A2],[A2 B2]

Door behulp van matrixen.

Methode 2

(x,y,z) = (p,q,r)+t(u,v,w)

Beide methoden komen toch op hetzelfde neer of niet?

De normaalvector is toch van het vlak en de richtingsvector is die van de gegeven rechte?

Maar als je methode 1 toepast kom je tegengestelde tekens uit t.o.v. methode 2.

[arno_sciencetalk]

Wat jij bedoelt is dat je de richtingsvector van de rechte kunt vinden door het uitwendig product te nemen van de normaalvectoren van de vlakken die deze rechte bepalen. Als je weet hoe de vergelijkingen van de vlakken er uit zien kun je aan de hand daarvan de richtingsvector van de rechte bepalen, maar als je uitgaande van de richtingsvector de vergelijkingen van de vlakken wilt vinden die deze rechte bepalen, en als je dat met behulp van het uitwendig product van de normaalvectoren wilt doen, dan wordt dat wat lastiger. Stel dat je uitgaande van de richtingsvector (-1,0,1) voor de rechte met vectorvoorstelling
(x,y,z) = u(-1,0,1) het stelsel vergelijkingen wilt vinden dat de 2 vlakken voorstelt, dus
ax+by+cz = 0
px+qy+rz = 0,
dan moet gelden dat br-cq = -1, ar-cp = 0 en aq-bp = 1. Het is dan echter nog een hele klus om daaruit a, b, c, p, q en r te vinden en zo de vergelijkingen van de 2 vlakken te vinden die deze rechte bepalen.

[Visserke]

Inderdaad ik begrijp het. Hoe komt het dan dat je met bovenstaande methode een richtingsvector r(1,0,-1) uitkomt terwijl als je uitwendig product neemt r(-1,0,1) uitkomt?

- Bepaal een stelsel vergelijkingen voor rechte B evenwijdig met A door de oorsprong

2 rechten zijn inderdaad evenwijdig als zij dezelfde richtingsvector (richtingsgetallen) hebben.

Maar deze moet door de oorsprong gaan. Valt D in de vergelijking niet weg dan?