sommatie van machtsreeksen

[oli123]

hallo,
Ik moet voor wiskunde D de sommatie geven van een machtsreeks met behulp van de veronderstelling dat de som van bijvoorbeeld k^2 gelijk is aan

\(\sum_{k=0}^{n}(k+1)^3-k^3=(n+1)^3\)

en ik moet deze vergelijking dan verder uitwerken.
de som van k en de som van k^2 lukken hiermee. maar bij de som van k^3 loop ik vast. zou iemand hiermee kunnen helpen? ik heb dus

\(\sum_{k=0}^{n}(k+1)^4-k^4=(n+1)^4\)

als de vergelijking die ik moet oplossen. ik heb hem geprobeerd op te lossen maar kwam op een totaal verkeerd antwoord uit.ik kom namelijk uit dat de som van k^3 gelijk is aan de formule

\(\frac{1}{4}n(n^3+n^2+13n+15)+1\)

.
zou iemand de uitwerking stap voor stap kunnen uitleggen?(met behulp van suggesties natuurlijk )
dankjewel,
Olivér

[ti-wereld.nl]

Weet je wat volledige inductie is?
En laat eens zien wat je al hebt.

edit: (Dit bewijs kan je met drie vergelijkingen geven.)

[ti-wereld.nl]

Ik leg wel even uit wat het is.

1. bewijs dat de vergelijking klopt voor een bepaalde

\(a\in\mathbb{Z}\)

.
2. neem aan dat de vergelijking klopt voor een getal

\(k\in\mathbb{Z}\)

en bewijs dat de vergelijking ook klopt voor k+1.
3. Je hebt dan bewezen met behulp van volledige inductie dat de vergelijking klopt

\(\forall n \geq a\)

Als je een vergelijking moet bewijzen voor de verzameling van alle natuurlijke getallen neem je a=1.
Als je een vergelijking moet bewijzen voor alle gehele getallen kan je moeilijk -oneindig kiezen dus ik denk dat je bij stap 2 dan ook moet bewijzen dat de vergelijking geldt voor k-1.

[Safe]

hallo,
Ik moet voor wiskunde D de sommatie geven van een machtsreeks met behulp van de veronderstelling dat de som van bijvoorbeeld k^2 gelijk is aan

\(\sum_{k=0}^{n}(k+1)^3-k^3=(n+1)^3\)

en ik moet deze vergelijking dan verder uitwerken.
de som van k en de som van k^2 lukken hiermee. maar bij de som van k^3 loop ik vast. zou iemand hiermee kunnen helpen? ik heb dus

\(\sum_{k=0}^{n}(k+1)^4-k^4=(n+1)^4\)

als de vergelijking die ik moet oplossen. ik heb hem geprobeerd op te lossen maar kwam op een totaal verkeerd antwoord uit.ik kom namelijk uit dat de som van k^3 gelijk is aan de formule

\(\frac{1}{4}n(n^3+n^2+13n+15)+1\)

.
zou iemand de uitwerking stap voor stap kunnen uitleggen?(met behulp van suggesties natuurlijk )
dankjewel,
Olivér

Ik weet niet wat je bedoelt als je zegt: als "...de vergelijking die ik moet oplossen ..."
Kan je daar wat duidelijker in zijn?
Bv als je n=0 neemt wat staat er dan?

[oli123]

Hoi,
Bedankt voor jullie antwoorden. Ik moest deze vergelijking uitwerken. Ik moest hem niet bewijzen via V.I. Hij is me nu gelukt. Het antwoord is 1/4n^2(n+1)^2.
maar ik heb nog een vraag . Ik moet nu namelijk de som van de oneindige meetkundige rij 1000*1/4^n uitrekenen. Hoe begin ik ?
Bedankt nogmaals,
Oliver

[ti-wereld.nl]

Wacht even je hoeft hem niet te bewijzen maar wat wel?
Kan je de omschrijving van de opdracht eens geven?

En ken je deze functie ?

Lees anders even over Geometric Series: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

[Safe]

Hoi,
Bedankt voor jullie antwoorden. Ik moest deze vergelijking uitwerken. Ik moest hem niet bewijzen via V.I. Hij is me nu gelukt. Het antwoord is 1/4n^2(n+1)^2.

Ja, je vraag wordt nu wel heel mistig, maar toch leuk dat je er uit gekomen bent. Hoewel me niet duidelijk is (dat geef je niet aan) waar je uitgekomen bent.

[drc.]

Volgens mij was de oorspronkelijke taak,

\(\sum_{k=0}^n k^2\)

\(\sum_{k=0}^n k^3\)

te vinden.
etc.

Olivér, kan je aangeven of dat klopt?

[op=op]

Voor het berekenen van de teleskoopsom is geen volledige inductie nodig,

Iets anders:
Waar ik op zit te staren is de titel: "Sommatie van machtreeksen".

1.)Een sommatie is de berekening van een som, niet de som zelf.
2+3= is een som (niet een sommatie).

2.)Worden er machtreeksen gesommeerd, of wordt er een machtreeks gesommeerd?
Nogal een groot verschil.

3.)Wordt er een machtreeks gesommeerd? Nee, er worden termen gesommeerd
of anders gezegd, er wordt een limiet genomen van (eindige) sommen.
Het woord eindig is hier eigenlijk overbodig, want je kunt geen som van oneindig veel termen uitrekenen. Probeer het maar eens. De tijd zal je daarvoor ontbreken.