Vergelijking

[Drieske]

Ziet er heel deftig uit (!!!) en ik zou gewoon nog een geval 5 en 6 toevoegen, nl als 1 van beide absolute waardes 0 zijn en kijken of dit een contradictie geeft en dan heb je alles dunkt me

[jhnbk]

Ik ben er zeker van dat je op goede weg zit.

Ik zou het als volgt aanpakken:

\( |1+p|+|p-1|=2 \Leftrightarrow p( \mbox{sign}(1+p) + \mbox{sign}(p-1))+ \mbox{sign}(1+p) - \mbox{sign}(p-1)=2\)

Indien p=0 klopt de vergelijking.

Indien 0<p<=1 klopt de vergelijking.

Indien -1<=p<0 klopt de vergelijking.

enz...

[PeterPan]

Het kan eenvoudiger.

\(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}\)

\(\sqrt{2x-1}}\)

moet bestaan, dus

\(x \ge \frac12\)

Dan (zoals Kotje al aangaf) beide zijden kwadrateren:

\(\left(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}\right)^2 = 2\)

ofwel na uitwerken:

\(2x + 2\sqrt{x^2-2x+1} = 2\)

ofwel

\(x + |x-1| = 1\)

plotje:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0.5,2,0,4,300,300,600,600,'x + abs(x-1)')</script><!--graphend-->

Je ziet dat de oplossingsverzameling is

\(\{x\in \rr | \frac12 \le x \le 1\}\)

Nog even checken in de oorspronkelijke vergelijking of alle waarden voldoen, en dat blijkt het geval te zijn.

[jhnbk]

Mooi zo!

(Meer van dat )

[Klintersaas]

Er gisteren nog even over nadenkend, besefte ik dat minstens één van mijn ongelijkheden niet-strikt hoort te zijn, nl. de bestaansvoorwaarde:

<i>Bestaansvoorwaarde:

\(2x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac12\)

Nog even checken in de oorspronkelijke vergelijking of alle waarden voldoen, en dat blijkt het geval te zijn.[/quote]

Moet je hiervoor per se de grafiek plotten? Kan je dit niet algebraïsch oplossen?

[PeterPan]

Moet je hiervoor per se de grafiek plotten? Kan je dit niet algebraïsch oplossen?

Je weet dat

\(y = x + |x-1|\)

een gebroken lijn is, met als knikpunt

\((1,1)\)

.

Als je nog een punt links en rechts van dat knikpunt weet ligt de grafiek volledig vast.

Neem daarvoor bv de punten

\((\frac12,1)\)

en

\((300000,599999)\)

.

Als je het per sé uitgelebberd wilt hebben:

Voor

\(\frac12 \le x \le 1\)

is

\(x-1 \le 0\)

, dus

\(|x-1| = 1-x\)

en de vergelijking wordt

\(x+1-x = 1\)

. Dit levert de oplossing

\(\frac12 \le x \le 1\)

Als

\(x>1\)

, dan is

\(x-1>0\)

, dus

\(|x-1|=x-1\)

en dus krijgen we

\(x+x-1 = 2x-1 = 1\)

.

Dus de vergelijking zou in dit geval moeten gelden voor

\(x=1\)

wat in strijd is met de begineis

\(x>1\)

. Dus dit geval levert geen extra oplossingen.

[Klintersaas]

Dank je, het is me volkomen duidelijk nu.

[jhnbk]

Dit volg ik helaas niet helemaal.

Hoezo sign(x) geeft het teken van x. (sign(0)=0)

Dus dan is |x|=x . sign(x)

[Klintersaas]

Hoezo sign(x) geeft het teken van x. (sign(0)=0)

Dit was me bekend.

Dus dan is |x|=x . sign(x)

Dit was even een brug te ver, maar nu is het me duidelijk.

[Vladimir Lenin]

Mijn methode werkt uiteraard niet (had ik aan moeten denken) aangezien alles wegvalt tot 0=0

Ik heb die vergelijking eens in mijn symbolische rekenmachine gestopt (Ti-89 Titanium) en hij geeft true aan, dat betekent dat het klopt voor alle reëele getallen. hij geeft geen waarschuwing dat het domein eventueel groter kan zijn (iets wat meestal wel op het scherm komt te staan) in dat geval zou die 0=0 niet zo slecht zijn, het bewijst dat x geen enkele invloed op de functie heeft.

[jhnbk]

Ja inderdaad maar het optellen zorgde daar voor.