Berekening In Formule Radioactiviteit

[MrRuben]

Goedemiddag mensen,

Voor school moet ik de volgende formule oplossen. Ik heb zo'n gevoel dat dit basiskennis is die ik simpelweg vergeten ben. But here it goes:

Hoofdformule:
A(t) = A(0)*(e^(-λ*t))

Gegeven:
75 = 200*(e^(-0,12*t))

Probleem:
Wat is 't' ? Om dat uit te kunnen rekenen moet ik weten: e tot de macht '?' = (75 / 200).
Hoe bereken je hoeveel die '?' moet zijn?

Bij voorbaat dank

[Prot]

Om 't' eruit te krijgen:
Neem de (Briggse) logaritme (= log) van beide leden en dan kan je de eigenschappen van logaritmen toepassen.
(Je zou natuurlijk ook eventueel de natuurlijk logaritme (=ln) kunnen nemen.)

[MrRuben]

Om 't' eruit te krijgen:
Neem de (Briggse) logaritme (= log) van beide leden en dan kan je de eigenschappen van logaritmen toepassen.
(Je zou natuurlijk ook eventueel de natuurlijk logaritme (=ln) kunnen nemen.)

Zou je misschien kunnen uitleggen hoe ik dit invoer op de rekenmachine? Want ik dacht inderdaad aan Log, maar ik weet niet precies hoe.

[Prot]

Om 't' eruit te krijgen:
Neem de (Briggse) logaritme (= log) van beide leden en dan kan je de eigenschappen van logaritmen toepassen.
(Je zou natuurlijk ook eventueel de natuurlijk logaritme (=ln) kunnen nemen.)

Zou je misschien kunnen uitleggen hoe ik dit invoer op de rekenmachine? Want ik dacht inderdaad aan Log, maar ik weet niet precies hoe.

De logaritme is hier inderdaad handig omdat je met de eigenschappen van logaritmen (nl. log a^n = n log a) de variabele uit de exponent kan berekenen. Dus kan je nu verder de variabele 't' eruit te halen? Of ...

Wat voor rekenmachine heb je? Normaal gezien moet daar wel ergens een knopje met 'log' of 'ln' opstaan.

[MrRuben]

Om 't' eruit te krijgen:
Neem de (Briggse) logaritme (= log) van beide leden en dan kan je de eigenschappen van logaritmen toepassen.
(Je zou natuurlijk ook eventueel de natuurlijk logaritme (=ln) kunnen nemen.)

Zou je misschien kunnen uitleggen hoe ik dit invoer op de rekenmachine? Want ik dacht inderdaad aan Log, maar ik weet niet precies hoe.

De logaritme is hier inderdaad handig omdat je met de eigenschappen van logaritmen (nl. log a^n = n log a) de variabele uit de exponent kan berekenen. Dus kan je nu verder de variabele 't' eruit te halen? Of ...

Wat voor rekenmachine heb je? Normaal gezien moet daar wel ergens een knopje met 'log' of 'ln' opstaan.

Ja, het staat wel op de rekenmachine, heb gewoon een TI-84 Plus. Maar ik snap het niet helemaal.
Wat ik even moet weten is: e tot de macht 'iets' is 0,375 (want 75/200 = 0,375). En hoe ik dan de macht van die e kan berekenen. Die 't' daarna is niet zo moeilijk. Maar ik weet dus niet hoe ik dat moet doen met e en log en zo. In ieder geval al bedankt dat je me helpt!

[Prot]

Ja, het staat wel op de rekenmachine, heb gewoon een TI-84 Plus. Maar ik snap het niet helemaal.
Wat ik even moet weten is: e tot de macht 'iets' is 0,375 (want 75/200 = 0,375). En hoe ik dan de macht van die e kan berekenen. Die 't' daarna is niet zo moeilijk. Maar ik weet dus niet hoe ik dat moet doen met e en log en zo. In ieder geval al bedankt dat je me helpt!

Ik kan je niet helemaal volgen. 'e' is gewoon een constante (getal van Euler) en zou normaal gezien ook ergens op je TI-84 plus moeten staan.

Dus je hebt:
75 = 200(e^(-0,12t)) <-> 75/200 = e^(-0,12t)
Neem de (Briggse) logaritme van elk lid:
log(75/200) = log(e^(-0,12t))
<-> log(75/200) = (-0,12t).log(e)
...
Nu de constanten naar 1 lid en dan kan je direct 't' berekenen. Vandaar m'n extra opmerking om de natuurlijke logaritme (=ln) te gebruiken, immers is ln(e)=1 en heb je dan een factor minder. Maar het komt op hetzelfde neer.

Helpt dit je om tot de uitkomst te komen? Of ...

[MrRuben]

Ja, het staat wel op de rekenmachine, heb gewoon een TI-84 Plus. Maar ik snap het niet helemaal.
Wat ik even moet weten is: e tot de macht 'iets' is 0,375 (want 75/200 = 0,375). En hoe ik dan de macht van die e kan berekenen. Die 't' daarna is niet zo moeilijk. Maar ik weet dus niet hoe ik dat moet doen met e en log en zo. In ieder geval al bedankt dat je me helpt!

Ik kan je niet helemaal volgen. 'e' is gewoon een constante (getal van Euler) en zou normaal gezien ook ergens op je TI-84 plus moeten staan.

Dus je hebt:
75 = 200(e^(-0,12t)) <-> 75/200 = e^(-0,12t)
Neem de (Briggse) logaritme van elk lid:
log(75/200) = log(e^(-0,12t))
<-> log(75/200) = (-0,12t).log(e)
...
Nu de constanten naar 1 lid en dan kan je direct 't' berekenen. Vandaar m'n extra opmerking om de natuurlijke logaritme (=ln) te gebruiken, immers is ln(e)=1 en heb je dan een factor minder. Maar het komt op hetzelfde neer.

Helpt dit je om tot de uitkomst te komen? Of ...

Het duizelt me.. We praten ook een beetje langs elkaar heen.
Ik heb CM als profiel gedaan 4 jaar geleden en ik ben net begonnen met een andere studie waarin dus deze wiskunde wordt gebruikt. Je uitleg is mij al te moeilijk. Ik mis bepaalde basiskennis (over log en al die dingen). Waar ik het meest aan zou hebben is dat iemand me alle stappen uitlegt, welke ik op de rekenmachine moet uitvoeren om tot het antwoord te komen. Ik ging net met jouw gegevens rekenen en daarmee kwam ik niet op het goede antwoord (het antwoord weet ik namelijk al, alleen hebben de docenten er niet voldoende uitleg bij HOE ze tot het antwoord zijn gekomen).

Ik ben je hier al kwijt: log(75/200) = log(e^(-0,12t))
<-> log(75/200) = (-0,12t).log(e)

Dus log(e^(-0,12t)) = (-0,12t).log(e) <- ik kan dat in mn hoofd niet plaatsen. En ik weet ook niet hoe ik dan verder moet rekenen om 't' te krijgen.

In ieder geval bedankt. Zie maar of je me verder uitleg wil geven. Anders zal ik wel even ergens anders uitleg vragen.

[Prot]

Ik zal proberen een goede uitleg te geven .

Het is inderdaad bij deze oefening belangrijk dat je eigenschappen van logaritmen kent. Als je deze niet gezien hebt, geen probleem, je vindt ze overal op het internet of in cursussen wiskunde.

Je hebt denk ik wel ooit al gehoord (of vroeger geleerd) over logaritmen. Een logaritme heeft een grondtal en een argument. We spreken van log, dit is de Briggse logaritme en iedereen die logaritmen kent weet dat 'log' als grondtal 10 heeft, maar dat wordt gewoon niet geschreven. Net zoals bij ln dat de natuurlijke (of Neperse) logaritme is en als grondtal 'e' heeft, nl. het getal of constante van Euler (die vele toepassingen heeft). De eigenschap die we in dit geval kunnen gebruiken is: log(a^n) = n.log(a). Daarna is het gewoon een kwestie van formules omvormen. Even op een rijtje zetten:

75 = 200(e^(-0,12t))
<-> 75/200 = e^(-0,12t)
<-> log(75/200) = log(e^(-0,12t))
<-> log(75/200) = (-0,12t).log(e)
<-> log(75/200)/log(e) = -0,12t
<-> log(75/200)/(log(e).(-0,12)) = t

Dit linkerlid kan je gewoon invoeren op je TI-84. Lukt je dat? Wat bekom je?

Even terzijde: de eigenschap log(a^n) = n.log(a). Als je het niet zou zien kan het met een voorbeeld.
Bijvoorbeeld:
log(10^2) = log(100)=2
Of log(10^2) = 2.log(10) = 2.1 = 2

[MrRuben]

Ik zal proberen een goede uitleg te geven .

Het is inderdaad bij deze oefening belangrijk dat je eigenschappen van logaritmen kent. Als je deze niet gezien hebt, geen probleem, je vindt ze overal op het internet of in cursussen wiskunde.

Je hebt denk ik wel ooit al gehoord (of vroeger geleerd) over logaritmen. Een logaritme heeft een grondtal en een argument. We spreken van log, dit is de Briggse logaritme en iedereen die logaritmen kent weet dat 'log' als grondtal 10 heeft, maar dat wordt gewoon niet geschreven. Net zoals bij ln dat de natuurlijke (of Neperse) logaritme is en als grondtal 'e' heeft, nl. het getal of constante van Euler (die vele toepassingen heeft). De eigenschap die we in dit geval kunnen gebruiken is: log(a^n) = n.log(a). Daarna is het gewoon een kwestie van formules omvormen. Even op een rijtje zetten:

75 = 200(e^(-0,12t))
<-> 75/200 = e^(-0,12t)
<-> log(75/200) = log(e^(-0,12t))
<-> log(75/200) = (-0,12t).log(e)
<-> log(75/200)/log(e) = -0,12t
<-> log(75/200)/(log(e).(-0,12)) = t

Dit linkerlid kan je gewoon invoeren op je TI-84. Lukt je dat? Wat bekom je?

Even terzijde: de eigenschap log(a^n) = n.log(a). Als je het niet zou zien kan het met een voorbeeld.
Bijvoorbeeld:
log(10^2) = log(100)=2
Of log(10^2) = 2.log(10) = 2.1 = 2

Ik denk dat ik hiermee verder kom! Ik zal er morgen even naar kijken. Ben er nu mee gestopt. Even laten bezinken allemaal.

Ik laat het nog wel weten! Hartelijk dank.

Update:
Ik heb het toch maar even nu gedaan. En ik kom nu inderdaad op het juiste antwoord uit! Ik heb veel aan die eigenschap log(a^n) = n.log(a)! Nu snap ik het. Het vreemde is dat we dit nooit zo uitgebreid hebben gehad. Misschien is er nog een andere manier om 't' sneller uit te rekenen? Ik zal het nog wel navragen op school als ik de kans krijg! Bedankt voor je tijd!

Antwoord is 8,17 (afgerond) trouwens.

[Prot]

Ik denk dat ik hiermee verder kom! Ik zal er morgen even naar kijken. Ben er nu mee gestopt. Even laten bezinken allemaal.

Ik laat het nog wel weten! Hartelijk dank.

Update:
Ik heb het toch maar even nu gedaan. En ik kom nu inderdaad op het juiste antwoord uit! Ik heb veel aan die eigenschap log(a^n) = n.log(a)! Nu snap ik het. Het vreemde is dat we dit nooit zo uitgebreid hebben gehad. Misschien is er nog een andere manier om 't' sneller uit te rekenen? Ik zal het nog wel navragen op school als ik de kans krijg! Bedankt voor je tijd!

Antwoord is 8,17 (afgerond) trouwens.

Graag gedaan!
8,17 ... is goed .

Je kan de eigenschappen van logaritmen overal vinden. Een kortere manier zou ik hier niet kunnen bedenken, dit is een exponentiele vergelijking en die zou je kunnen oplossen door ofwel beide leden op éénzelfde grondtal te zetten zodat je de exponenten aan elkaar gelijk kan stellen (wat me hier te ingewikkeld lijkt) en zo uitwerken ofwel met logaritmen.

[MrRuben]

Ik denk dat ik hiermee verder kom! Ik zal er morgen even naar kijken. Ben er nu mee gestopt. Even laten bezinken allemaal.

Ik laat het nog wel weten! Hartelijk dank.

Update:
Ik heb het toch maar even nu gedaan. En ik kom nu inderdaad op het juiste antwoord uit! Ik heb veel aan die eigenschap log(a^n) = n.log(a)! Nu snap ik het. Het vreemde is dat we dit nooit zo uitgebreid hebben gehad. Misschien is er nog een andere manier om 't' sneller uit te rekenen? Ik zal het nog wel navragen op school als ik de kans krijg! Bedankt voor je tijd!

Antwoord is 8,17 (afgerond) trouwens.

Graag gedaan!
8,17 ... is goed .

Je kan de eigenschappen van logaritmen overal vinden. Een kortere manier zou ik hier niet kunnen bedenken, dit is een exponentiele vergelijking en die zou je kunnen oplossen door ofwel beide leden op éénzelfde grondtal te zetten zodat je de exponenten aan elkaar gelijk kan stellen (wat me hier te ingewikkeld lijkt) en zo uitwerken ofwel met logaritmen.

Oke, prima!