Ontbinden in factoren

[Safe]

Al enkele malen beloofd.

Som-product methode.
Stel de volgende vorm: 6x²+13x-5=(...)(...)
Dit is mogelijk als we 2 termen kunnen vinden zdd het product 6x²*-5 en de som 13x is, dus 15x en -2x.
We schrijven: 6x²+15x-2x-5=3x(2x+5)-(2x+5)=(3x-1)(2x+5).

Het is duidelijk dat dit een uitbreiding is van de som-product methode met x² als kwadratische term.
Het enige verschil zijn de twee tussenregels die niet gemist kunnen worden.
Vb x²-7x+12, product 12x² som -7x, dus -3x en -4x
x²-7x+12=x²-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-4)(x-3)
De twee tussenregels worden (te vaak) weggelaten.

Het is niet moeilijk dit met letters te generaliseren.

Eis: de discriminant moet een geheel kwadraat zijn.

[Johannes_sciencetalk]

Bedankt voor de uitleg! Erg handig

Gegeven een functie:

\(ax^2+bx+c = 0\)

Ik heb hem zelf nog even uitgeprobeerd voor

\(3x^2 + 10x+3 = 0\)

\(D = \sqrt{b^2-4ac} =\sqrt{10^2-4(3)(3)} = 64 = 8^2\)

\(ax^2(c) = 3x^2(3)=9x^2\)

\(bx = 10x\)

De som moet worden

\(bx = 10x\)

en het product moet worden

\(ax^2(c) = 3x^2(3)=9x^2\)

Ofwel:

\((x+9)(x+1)=x^2+9x+x+9 = x^2+10x+9\)

(Ik weet niet zeker of dit helemaal klopt)
Dus:

\(3x^2+9x+x+3 = 3x(x+3)+(x+3)=(3x+1)(x+3)\)

Hele leuke manier! Zou je me verder kunnen helpen met het generaliseren met letters? Ik kom er namelijk niet helemaal uit.

[Safe]

Ofwel:

\((x+9)(x+1)=x^2+9x+x+9 = x^2+10x+9\)

(Ik weet niet zeker of dit helemaal klopt)
Dus:

\(3x^2+9x+x+3 = 3x(x+3)+(x+3)=(3x+1)(x+3)\)

Dit is natuurlijk een andere opgave voor ontbinding.

Ga uit van: (ax+p)(bx+q)
en werk terug.

[Johannes_sciencetalk]

\((ax+p)(bx+q)=abx^2+aqx+bpx+pq\)

[Safe]

Ok, en wat zijn de regels?

[Johannes_sciencetalk]

Kan ik het ook in deze vorm zetten:

\(3x(x+3)+(x+3)\)

vanuit

\((ax+p)(bx+q)\)

Wat bedoel je precies met wat zijn de regels?

[Safe]

Wat bedoel je precies met wat zijn de regels?

1. Vorm het product abpqx²
2. Is het product te splitsen in aqx en bpx?
Zo ja, ontbind: abx²+aqx+bpx+pq=ax(bx+q)+p(bx+q)=(ax+p)(bx+q)

[Johannes_sciencetalk]

Wat bedoel je precies met wat zijn de regels?

1. Vorm het product abpqx²
2. Is het product te splitsen in aqx en bpx?
Zo ja, ontbind: abx²+aqx+bpx+pq=ax(bx+q)+p(bx+q)=(ax+p)(bx+q)

Stom dat ik ax(bx+q)+p(bx+q) niet zag

[Safe]

Ik merkte op dat je terug moest werken, dat zie je nu ook?

[Johannes_sciencetalk]

Ja

\((ax+b)(bx+q)=abx^2+axq+bxp+pq=ax(bx+q)+p(bx+q)\)

Ik zat te klooien met die laatste stap. Bedankt voor je hulp!

[Safe]

OK, doe er je voordeel mee.

[Tijn van Vreeborg]

Om te begrijpen waarom de discriminant een geheel kwadraat moet zijn zou ik graag een formeel bewijs maken dat precies aangeeft wanneer er ontbonden kan worden in factoren en wanneer niet.

De stelling om te bewijzen zou dan zoiets worden:

Stelling: Laat y= kx^2 +mx +n en neem aan dat de discriminant D = m^2 - 4kn = d^2 een geheel kwadraat is.

Dan bestaan er termen T_1 en T_2 zdd:

T_1 * T_2 = knx^2 is van de vorm abpqx^2 en

T_1 + T_2 = mx is van de vorm (aq + bp)x en is

y= kx^2 +mx +n te schrijven als

y= abx^2 + (aq + bp)x + pq en dus te ontbinden in factoren als:

y= (ax + p)(bx + q).

Terwijl ik dit formeel probeer te bewijzen is mijn vraag aan het forum:
Is de stelling zo goed? Is dit inderdaad de bedoeling zo?

De andere kant op zou het er op neer komen dat, gegeven
y = (ax + p)(bx + q) = abx^2 + (aq + bp)x + pq

de discriminant D = (aq + bp)^2 - 4abpq een geheel kwadraat is. Dat zie ik nog niet.

Kan dit? Ben ik op de goede weg zo?
Heb ik alle voorwaarden van de stelling juist?

[Safe]

Als D een geheel kwadraat is met a, b en c geheel. Betekent dat de opl rationale getallen zijn. Conclusie de kwadratische functie is ontbindbaar. Klaar!

Verder is:
D = (aq + bp)^2 - 4abpq=(aq-bp)^2
Ga dat na.

[Tijn van Vreeborg]

Als D een geheel kwadraat is met a, b en c geheel. Betekent dat de opl rationale getallen zijn

Klopt, ik denk aan de abc-formule. Als D een geheel kwadraat is, dan krijg je bij invullen van de abc-formule een rationaal getal.

Conclusie de kwadratische functie is ontbindbaar. Klaar!

Zijn we er nu al? Kun je zeggen waarom expliciet? Ik zie het nog net niet.

Wat is de formele definitie van ontbindbaarheid? Eisen die gehele getallen, of alleen rationale getallen?

Verder is:
D = (aq + bp)^2 - 4abpq=(aq-bp)^2
Ga dat na.

Checked. Het is een merkwaardig product. Ok. Dus die kant op is klaar.

[Safe]

Stel je opl x=a/p of x=b/q (rationale getallen}
dus: pq(x-a/p)(x-b/q)=(px-a)(qx-b).