Newtons polygoon

[op=op]

Functieonderzoeken zijn een geliefd onderwerp op middelbare scholen.
Telkens is de vraag, bepaal nulpunten, buigpunten, maxima en minima en asymptoten en teken de grafiek.
Impliciet gegeven functies komen de laatste tijd veel voor in onderwerpen op dit forum.
Ook van impliciet gegeven functies (algebraïsche krommen) bestaat er een plottheorie.
Het is een van de zeer vele toepassingen van Newton's polygonen.
Ik geef hier slecht een eenvoudig voorbeeldjes om een idee te geven van de werkwijze. Ik geef ook geen bewijzen.
Voorbeeld 1.
Teken de grafiek van

\(x^3+y^3=3axy\)

voor zekere

\(a>0\)

.
Werkwijze:
We kijken naar de exponenten van de termen.

\(x^3\)

levert punt (3,0),

\(y^3\)

levert punt (0,3) en

\(3axy\)

levert punt (1,1).
(Dus in het algemeen

\(cx^ay^b\)

levert punt (a,b)).
Teken de punten in het vlak en verbindt ze met elkaar (het Newton polygoon ABC, zie rechter figuur).


Elk lijnstuk in driehoek ABC stelt nu een tak van de grafiek voor.
De termen die met lijnstuk AB overeenkomen zien ze in:

\(x^3=3axy\)

ofwel

\(y = \frac{x^2}{3a}\)

.
(Merk op dat de oplossing x=0 wordt verwaarloosd. Dat gebeurt consequent).
Dit is de grafiek van een dalparabool die de x-as in de oorsprong raakt (zie eerste tekening).
Net zo leidt BC tot

\(y^3=3axy\)

ofwel

\(x=\frac{y^2}{3a}\)

.
Een parabool die in de oorsprong aan de y-as raakt.
Interessant is AC. AC heeft alle overige punten beneden de lijn AC en maakt een hoek van 135 graden met de x-as. Dat betekent dat AC een lineaire asymptoot vertegenwoordigt.
We kunnen dit controleren.
AC geeft

\(x^3+y^3=0\)

, dus

\(y=-x\)

.
Eerste substitutiestap:

\(x^3+y^3=3axy\)

.
Door gebruik te maken van

\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\)

krijgen we

\(y+x = \frac{3axy}{x^2-xy+y^2}\)

.
Substitueer

\(y=-x\)

in het rechter lid.

\(y+x = \frac{-3ax^2}{3x^2} = -a\)

zo dat de asymptoot is

\(y = -x-a\)

.
We kunnen de substitutiestap telkens herhalen om steeds betere benaderingen te vinden.
Als we

\(y = -x-a\)

weer substitueren in het rechter lid van

\(y+x = \frac{3axy}{x^2-xy+y^2}\)

vinden we

\(y = -x-a+\frac{a^3}{3x^2}\)

.
We hebben al genoeg om de grafiek te schetsen.
Zie wat het resultaat moet zijn:
http://en.wikipedia.org/wiki/Folium_of_Descartes

[op=op]

Voorbeeld 2:

\(4x^2+y^3-2xy^2=0\)

.


We beginnen bij het Newton polygoon bij AB.
Dat geeft de vergelijking

\(4x^2+y^3=0\)

ofwel

\(y=-\sqrt[3]{4}x^{\frac23}\)

(zie eerste tekening).
Lijnstuk BC heeft alle overige punten beneden zich en maakt een hoek van 135 graden met de x-as, dus hebben we te maken met een lineaire asymptoot.
BC geeft

\(y^3-2xy^2=0\)

ofwel

\(y=2x\)

.
Eerste substitutiestap:
We moeten de vergelijking weer omzetten in de vorm ax+by = ?.
Dat kan als volgt:

\(4x^2+y^3-2xy^2=0\)

ofwel

\(y^2(y-2x)=-4x^2\)

\(y-2x=\frac{-4x^2}{y^2}\)

Substitutie van

\(y=2x\)

in het rechter lid geeft:

\(y=2x-1\)

, en substitutie van

\(y=2x-1\)

geeft op zijn beurt

\(y=2x-1-\frac{1}{x}\)

(zie tweede tekeningetje).
AC heeft ook alle overige punten onder zich liggen, maar AC maakt geen hoek van 135 graden met de x-as.
Dat betekent dat AC wel een asymptoot is, maar geen lineaire.
AC geeft:

\(4x^2-2xy^2=0\)

ofwel

\(x=\frac12 y^2\)

(een parabolische asymptoot).
Nu is de grafiek te schetsen.