Limiet met arc sin/tan

[vormfout]

Ik kom niet uit de volgende limieten:

\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{\arctan x}

En

\lim_{x \to -1}\frac{\sin (2\pi x)}{\tan (3\pi x)}

L'Hospital's regel mag niet gebruikt worden.

Ik heb al wat dingen geprobeerd maar loop telkens dood.

[Safe]

Ik kom niet uit de volgende limieten:

\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{\arctan x}

En

\lim_{x \to -1}\frac{\sin (2\pi x)}{\tan (3\pi x)}

L'Hospital's regel mag niet gebruikt worden.

Ik heb al wat dingen geprobeerd maar loop telkens dood.

Ken je standaardlimieten met sin en tan als x -> 0 gaat?

Stel bij de tweede limiet x+1=t, waarom eigenlijk?

[vormfout]

De tweede limiet heb ik gevonden.

\lim_{x \to -1 }=\frac{\sin 2\pi x}{\tan 3\pi x}
Met y=x+1
\lim_{y \to 0 }=\frac{\sin (2\pi -2\pi y) }{\tan (3\pi -3\pi y)}=\frac{2}{3} \lim_{y \to 0 }(\frac{\sin 2\pi y}{2\pi y} \cdot \frac{3\pi y}{\tan 3 \pi y})=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot 1=\frac{2}{3}

[Safe]

Mooi!

Bij de eerste:
arcsin en arctan en x zijn voor |x| zeer klein gelijk maar dat is niet erg 'wiskundig' ...
Splits dus (waarom mag dat?):

\(\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{x}\cdot\frac x {\arctan(x)}=...\)

Je stelt arcsin(x)=y

[vormfout]

Dan x = sin y
en stel z = arctan(sin y) -> sin y = tan z
dan ook z -> 0

dus \lim_{y \to0}(\frac{\sin y}{y})^{-1}\cdot \lim_{z \to0}(\frac{\tan z}{z})=1^{-1}\cdot 1=1

Bedankt voor het opstapje Safex.

[Safe]

Mooi!
Succes verder.