Punten in de ruimte

[barto]

VWO 95-96 ronde 2 vraag 28.
Drie punten in R³ liggen niet op een rechte. Hoeveel verschillende rechten bestaan er waarvoor geldt dat de drie punten op dezelfde afstand liggen van die rechte?
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) oneindig veel

Er is er al zeker 1: de loodlijn op het vlak door de drie punten die door het middelpunt van hun omgeschreven cirkel gaat.
Als er nog meerdere zijn, dan is dat aantal deelbaar door 3 wegens symmetrie. Dus enkel A, C en E zijn mogelijk.
Als we een rechte spiegelen om het vlak door de drie punten, dan voldoet die ook. Het aantal is dus oneven, blijft nog over A en E. Intuïtief zeg ik E: oneindig veel, want dat lijkt er toch op na wat schetsen te maken.

Klopt dat?

[toonijn]

Ik zou zeggen A.
Het middelloodvlak van 2 punten is de verzameling van punten die even ver liggen van Die 2 punten. Bij het zetten van 2 zo een vlakken bij een verschillend duo, leer je dat die 2 vlakken slechts 1 snijlijn hebben. Waardoor dat dan de verzameling is van punten die even ver liggen van pak weg A en B maar ook even ver van B en C. Waardoor ook A een C even ver liggen van die rechte.
Ik zou zeggen A.

[siep]

Het gaat om de afstand van de 3 punten tot een lijn.
Kijk ook eens naar cilinders met de as door 2 van die punten en wisselende straal r.
Kan de afstand van het derde punt tot rechte lijnen op de cilinder ook gelijk aan r worden?

[barto]

Het gaat om de afstand van de 3 punten tot een lijn.
Kijk ook eens naar cilinders met de as door 2 van die punten en wisselende straal r.
Kan de afstand van het derde punt tot rechte lijnen op de cilinder ook gelijk aan r worden?

Jazeker. Zo vindt je nog 3 rechten die in het vlak liggen, maar er zijn er oneindig veel evenwijdig met de rechte door 2 van de 3 punten.

Ik zou zeggen A.
Het middelloodvlak van 2 punten is de verzameling van punten die even ver liggen van Die 2 punten. Bij het zetten van 2 zo een vlakken bij een verschillend duo, leer je dat die 2 vlakken slechts 1 snijlijn hebben. Waardoor dat dan de verzameling is van punten die even ver liggen van pak weg A en B maar ook even ver van B en C. Waardoor ook A een C even ver liggen van die rechte.
Ik zou zeggen A.

Het gaat niet om punten in een vlak maar om rechten in een ruimte. Dat is helemaal niet hetzelfde.
Je hebt die loodlijn op het middelpunt maar ook elke rechte die in een middenparallel vlak ligt en evenwijdig is aan de overeenkomstige middenparallelle rechte.

[op=op]

Hint: Wat kun je zeggen van de lijnen die op afstand 1 van 1 punt liggen.

[barto]

Hint: Wat kun je zeggen van de lijnen die op afstand 1 van 1 punt liggen.

Ze raken aan de bol met straal 1 en met middelpunt dat punt.

Als je dan bollen neemt waarvan de straal groot genoeg is zodat ze tesamen de hele driehoek bevatten, kun je een rechte laten vallen op dat oppervlak. Wegens de zwaartekracht zal onze rechte een stabiele positie innemen, en raken aan de 3 bollen. Omdat er zo oneindig veel stralen zijn, zijn er oneindig veel zo'n rechten.

[siep]

Het gaat om de afstand van de 3 punten tot een lijn.
Kijk ook eens naar cilinders met de as door 2 van die punten en wisselende straal r.
Kan de afstand van het derde punt tot rechte lijnen op de cilinder ook gelijk aan r worden?

Jazeker. Zo vindt je nog 3 rechten die in het vlak liggen, maar er zijn er oneindig veel evenwijdig met de rechte door 2 van de 3 punten.

Jij gebruikt hier alleen de minimale r.
Maar kijk eens naar wisselende r, dus ook naar (r + delta).

[barto]

Het gaat om de afstand van de 3 punten tot een lijn.
Kijk ook eens naar cilinders met de as door 2 van die punten en wisselende straal r.
Kan de afstand van het derde punt tot rechte lijnen op de cilinder ook gelijk aan r worden?

Jazeker. Zo vindt je nog 3 rechten die in het vlak liggen, maar er zijn er oneindig veel evenwijdig met de rechte door 2 van de 3 punten.

Jij gebruikt hier alleen de minimale r.
Maar kijk eens naar wisselende r, dus ook naar (r + delta).

Je bedoelt misschien om door het derde punt een bol te tekenen met straal r, en dan de raaklijn aan de bol tekenen in het punt waar die snijdt met de cilinder.
Of bedoel je nog iets anders?

[siep]

Als alle afstanden gelijk zijn aan de minimale r, dan krijg je je lijn in het vlak V opgespannen door de drie punten.
Nu laat je r groter worden, je krijgt dan lijnparen nog steeds evenwijdig aan de cilinder-as, allemaal in een vlak loodrecht op V en parallel aan je eerste lijn. Dit geldt voor elke grotere r (noemde ik hierboven (r+delta)), dus zijn er oneindig veel: antwoord E.

Je kan deze constructie ook mbv 2 cilinders zien:
- kies de as van de 1e cilinder door 2 van de 3 punten
- kies de as van de 2e door het derde punt, in V, parallel aan de eerste as.
- kies de straal van beide cilinders gelijk
- zodra de straal groot genoeg wordt ontstaan snijlijnen van de 2 cilinders die allemaal voldoen, dus antwoord E.

[Sjoerd Job]

Mijn gekozen antwoord zou E zijn: oneindig veel.

beschouw eerst het vlak opgespannen door die drie punten (het vlak waar alle drie punten in liggen).

teken door twee punten een lijn L, en bereken voor het derde punt het dichtste punt op de lijn. Teken nu een parallel P halverwege het derde punt en lijn L. Deze heeft gelijke afstand tot elk van de drie punten. Wanneer we nu loodrecht op het vlak lijn P heen-en-weer bewegen blijven we lijnen hebben met dezelfde eigenschap.

[barto]

teken door twee punten een lijn L, en bereken voor het derde punt het dichtste punt op de lijn. Teken nu een parallel P halverwege het derde punt en lijn L. Deze heeft gelijke afstand tot elk van de drie punten. Wanneer we nu loodrecht op het vlak lijn P heen-en-weer bewegen blijven we lijnen hebben met dezelfde eigenschap.

Ja, dat is wat ik probeerde te zeggen met

... elke rechte die in een middenparallel vlak ligt en evenwijdig is aan de overeenkomstige middenparallelle rechte.

En het komt ook op hetzelfde neer als arie's cilindermethode.