Volledige inductie

[Kwintendr]

Hallo,

Wij hebben een tijdje geleden het begrip volledige inductie gezien bij matrices. Toen begreep ik er niet veel van, en nu nog veel minder. Als je het zoekt in google wordt je ook al niet wijs. Kan iemand het me even uitleggen?

Groeten,

Kwinten

Wow, dit toppic staat er een paar keer op. Hoe dat komt weet ik niet. In ieder geval sorry.

[Safe]

Kom maar met een opgave die je moet maken, die wel of niet lukt. En vertel dan je probeem.

[Kwintendr]

Oke, Ik begrijp het totaal niet. Maar hier is een oefening:

A= [2 1 3]

[0 2 4]

[0 0 2]

Aⁿ= [2 n n*(n+2)]

[0 2 4n]

[0 0 2]

Toon met volledige inductie aan dat deze formule juist is.

Wat we eerst moeten doen is de formule bewijzen voor n=1

en daarna voor n+1.

Ik kan dit wel allemaal, maar waarom doe je doe stappen?

[Siron]

Oke, Ik begrijp het totaal niet. Maar hier is een oefening:

A= [2 1 3]

[0 2 4]

[0 0 2]

Aⁿ= [2 n n*(n+2)]

[0 2 4n]

[0 0 2]

Toon met volledige inductie aan dat deze formule juist is.

Wat we eerst moeten doen is de formule bewijzen voor n=1

en daarna voor n+1.

Ik kan dit wel allemaal, maar waarom doe je doe stappen?

Als je het kunt is er toch niet echt een probleem?

Volledige inductie is een handige bewijsmethode.

Het is altijd standaard:

Bewijs voor n=1

Bewijs voor n+1

Het bewijs moet dus ook gelden voor alle n

[Kwintendr]

oke, hoe doe je dit dan?

Gegeven:

A=[-2 -9]

[1 4]

Toon aan dat dit voor alle n element van natuurlijke getallen zonder 0 van de gedaante is.

Aⁿ = [1-B_n -9B_n]

[B_n 1+3B_n]

Hier zit ik dus mee in de knoop. Ik weet zelfs niet hoe ik hier met aan beginnen...

[Safe]

Dat is niet helemaal juist.

Begin met n=1 (of de kleinste toegelaten waarde van n)

Neem dan aan: dat de formule juist is voor n=k (inductieveronderstelling).

Toon mbv deze aanname dat de formule juist is voor n=k+1.

Klaar.

Dus start maar (je kan wel matrices vermenigvuldigen?) ...

[Fernand]

Een introductie op volledige inductie-bewijs

Simpel voorbeeld om de methode te tonen

Te bewijzen :

1+2+3+4+5+...+n = (1+n)n/2

Bewijs

Eerste stap : de formule is geldig voor n=1

we maken n= 1 in de bovenstaande formule : 1 = (1+1).1/2

en het klopt !!!

Tweede stap

Onderstel dat de formule geldt voor n=k. Dus geldt:

Gegeven : 1+2+3+4+5+...+k = (1+k)k/2

we steunen daarop en bewijzen dat de formule geldt voor n= k+1, dus

Te bewijzen: 1+2+3+4+5+...+k+(k+1) = (1+(k+1)).(k+1)/2

Bewijs:

We berekenen eerst het linkerlid steunend op het gegeven



linkerlid = (1+2+3+4+5+...+k)+ (k+1) = (1+k).k/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2

en nu het rechterlid

rechterlid = (1+(k+1)).(k+1)/2 = (2+k)(k+1)/2

En alles klopt. Dus als het waar is voor n= k dan is het waar voor n= k+1.

Besluit :

Daar het waar is voor n= 1 is het waar voor n=2

Daar het waar is voor n= 2 is het waar voor n=3

Daar het waar is voor n= 3 is het waar voor n=4

Daar het waar is voor n= 4 is het waar voor n=5 enzovoort

dus de eigenschap is bewezen voor alle n

[Fernand]

Meer uitleg over de werkwijze zelf

Het komt veel voor dat men moet aantonen dat een eigenschap geldt voor alle natuurlijke getallen

vanaf een zeker rangnummer. Dat rangnummer is veelal 0 of 1. Neem verder aan dat dit rangnummer 1 is.

Noem V de verzameling gehele getallen waarvoor de eigenschap geldt.

We bewijzen de eigenschap voor n=1. Als dat klaar is, weten we dat 1 zeker tot V behoort.

Dan tonen we dan aan dat:

Als de eigenschap geldt voor n = k, dan geldt ze ook voor n= k+1.

Als dat ook bewezen is weten we : Als k in V zit, dan zit (k+1) ook in V.

Maar 1 zit in V, dus zit 2 in V, dus zit 3 in V , ...

V is ={ 1,2,3,4,....}

We hebben bewezen dat de eigenschap geldt voor alle natuurlijke getallen vanaf 1.

[Safe]

Waar blijft (na dit bombardement(!)) de TS?

[Fernand]

Waar blijft (na dit bombardement(!)) de TS?

De vraag van Kwintendr was hier niet 'hulp bij een oefening' maar wat is de filosofie achter

"bewijs daar volledige inductie".

Bovendien weet Kwintendr blijkbaar wel hoe de procedure werkt, maar was er geen inzicht in de achtergrond.

De vraag was dus eigelijk: " WAAROM is die werkwijze een echt bewijs?"

Vragen van die aard worden, volgens mij, niet met kleine stapjes beantwoord.

Daarom vond ik het in dit geval gepast de achtergrond te schetsen met als doel

te laten inzien waarom die procedure een 'echt bewijs' geeft van de eigenschap.

Ik hoop dat Kwintendr nu beter begrijpt wat er gebeurt als hij die methode toepast,

waar hij vroeger de techniek uitvoerde, zonder begrijpen, alleen maar 'omdat het zo gedaan wordt'.

[Safe]

@Fernand,

Je hebt je aangesproken gevoeld.

Hoe weet je dat de TS dit nodig heeft, tenzij de TS z'n syllabus/boek niet bekijkt z'n vb niet naloopt ... .

Hij heeft een opgave, waar hij niet uitkomt.

@...

oke, hoe doe je dit dan?

Gegeven:

A=[-2 -9]

[1 4]

Toon aan dat dit voor alle n element van natuurlijke getallen zonder 0 van de gedaante is.

Aⁿ = [1-B_n -9B_n]

[B_n 1+3B_n]

Hier zit ik dus mee in de knoop. Ik weet zelfs niet hoe ik hier met aan beginnen...

Begin eens met:

A² en A³ te berekenen.

[Fernand]

@safe

Hoe weet je dat de TS dit nodig heeft,

TS schrijft (onder andere) ook

"Wij hebben een tijdje geleden het begrip volledige inductie gezien bij matrices.

Als je het zoekt in google wordt je ook al niet wijs. Kan iemand het me even uitleggen?"

en verder

"Ik kan dit wel allemaal, maar waarom doe je die stappen? "

Vandaar mijn reactie

Hij heeft een opgave, waar hij niet uitkomt.

Je hebt ook gelijk, de vraag van TS is dus tweevoudig.

[Kwintendr]

Ik heb de uitleg van Fernad eens goed gelezen en nu weet ik ten minste wat en waarom je dat doet. Dankje

De andere oefening is nu ook geen probleem ](*,)

[Safe]

Zijn beide oefeningen gelukt?

[Kwintendr]

Ja, Alles komt mooi uit + het klopt ook met de uitkomst achterin het boek.