Probleem van de maand

[TrickyDickOnLSD]

Dag beste mede wiskundigen,
Elke maand zal ik een probleem van de maand posten.
Sommige zullen moeilijk zijn, maar de meeste vallen best mee.
succes!

hier is alvast de eerste:

In een land waar er veel mensen zijn van het mannelijk geslacht, zijn er n vrouwen. Om het aantal mannen en jongens te verminderen, spreken de vrouwen het volgende af: ze stoppen met kinderen krijgen zodra ze een zoon gekregen hebben. Als ze bevallen van een dochter, gaan ze voor een nieuwe zwangerschap.
Wat zal op lange termijn de verhouding tussen jongens en meisjes op het eiland zijn, als we veronderstellen dat de kans op de geboorte van een jongen 50% is en alle vrouwen zonder problemen kinderen krijgen?

[barto]

Kunnen de mensen sterven?

[TrickyDickOnLSD]

Neen, dat buiten beschouwing gelaten

[wnvl]

Mooi probleem!

Misschien kan Leslie helpen

[Sjoerd Job]

Dag beste mede wiskundigen,
Elke maand zal ik een probleem van de maand posten.
Sommige zullen moeilijk zijn, maar de meeste vallen best mee.
succes!

hier is alvast de eerste:

In een land waar er veel mensen zijn van het mannelijk geslacht, zijn er n vrouwen. Om het aantal mannen en jongens te verminderen, spreken de vrouwen het volgende af: ze stoppen met kinderen krijgen zodra ze een zoon gekregen hebben. Als ze bevallen van een dochter, gaan ze voor een nieuwe zwangerschap.
Wat zal op lange termijn de verhouding tussen jongens en meisjes op het eiland zijn, als we veronderstellen dat de kans op de geboorte van een jongen 50% is en alle vrouwen zonder problemen kinderen krijgen?

50% zal de verhouding blijven. (bewijs heb ik nu niet, jammer genoeg.) Bereken maar het verwachtte aantal meisjes voor 1 vrouw.

[Dux]

50% van de geboren kinderen zijn meisjes en 50% zijn jongens, ongeacht de afspraak van de vrouwen (want wat de vrouwen ook afspreken, ze hebben geen invloed op de kans dat een kind dat geboren wordt jongen of meisje is), dus de verhouding mannen/vrouwen zal op den duur 50% worden.

[tsagld]

Bewijs is als volgt:

Gegeven n vrouwen.
Deze baren gezamenlijk n zonen.

De helft baart uitsluitend een zoon.

Een kwart baart een dochter en een zoon
Een achtste baart twee dochters en een zoon
Een zestiende baart drie dochters en een zoon
...
Het verwachte aantal dochters is derhalve gelijk aan
n \sum_{k=1}^{n-2}\frac{k}{2^{k+1}}

Als n naar oneindig gaat, convergeert de sommatie naar 1 (gechecked met wolphramalpha), en het aantal dochters dus naar n.

[Sjoerd Job]

Bewijs is als volgt:

Gegeven n vrouwen.
Deze baren gezamenlijk n zonen.

De helft baart uitsluitend een zoon.

Een kwart baart een dochter en een zoon
Een achtste baart twee dochters en een zoon
Een zestiende baart drie dochters en een zoon
...
Het verwachte aantal dochters is derhalve gelijk aan
n \sum_{k=1}^{n-2}\frac{k}{2^{k+1}}

Als n naar oneindig gaat, convergeert de sommatie naar 1 (gechecked met wolphramalpha), en het aantal dochters dus naar n.

Uiteraard is dat wiskundig gezien een waarheid... praktisch gezien houden we geen rekening met een bovengrens aan het aantal kinderen dat een vrouw in totaal zal krijgen (1 vrouw met meer dan 50 kinderen heb ik nog nooit van gehoord), alsook meerlingen houden we geen rekening mee.

[tsagld]

http://en.wikipedia.org/wiki/Feodor_Vassilyev

[Sjoerd Job]

http://en.wikipedia.org/wiki/Feodor_Vassilyev

Ok, let me rephrase that: 1 vrouw met meer dan 5000 kinderen heb ik nog nooit van gehoord.