Puzzels
Symbool: a^b, we zeggen a tot de macht b, a het grondtal (geen grondgetal) en b de exponent.
Hoe te begrijpen? Door ermee te werken volgens de RekenRegels (RR).
We beginnen met a reëel getal en b een telgetal. Bv:
\(2^3=2\cdot 2\cdot 2\)
dit is de definitie!
We zien dat de exponent 3 het aantal factoren 2 telt.
(Zie voor termen en factoren: Tutorials: Termen en Factoren.)
Vb:
\(\pi^2=\pi\cdot\pi\)
Als we deze betekenis aanhouden volgen de RR heel eenvoudig:
\(1.\; a^p\cdot a^q=a^{p+q}\)
\(2.\; \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
\(3.\; (a^p)^q=a^{pq}\)
Probeer deze RR te begrijpen met eenvoudige getallenvoorbeelden, bv:
\(2^3\cdot 2^5=2^{3+5}\)
immers: 2^3: 3 factoren 2, 2^5: 5 factoren 2. Bij vermenigvuldiging staan er 3+5 factoren 2.
Tot nu toe waren de exponenten telgetallen in feite tel je het aantal zelfde factoren.
We gaan nu deze RR uitbreiden voor exponent 0.
Wat zou a^0 voor betekenis hebben ( je kan moeilijk 0 factoren a gaan tellen(?))
We gaan uit van RR2:
\(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
en stellen q=p, dit geeft:
\(\frac{a^p}{a^p}=a^{p-p}=a^0\)
Maar de breuk:
\(\frac{a^p}{a^p}=1\)
Conclusie: per definitie is:
\(a^0=1\)
Verrassend, want kennelijk is dit onafhankelijk van het grondtal a. Op dit moment sluiten we a=0 uit.
Waarom zullen we q>p niet bekijken, dit betekent:
\(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
is per definitie geldig voor alle getallen p en q uit de verzameling Z.
En nu geldt dus ook:
\(a^{-p}=a^{0-p}=\frac{a^0}{a^p}=\frac 1 {a^p}\)
voor alle reële getallen a uitgezonderd a=0.
Na dit succes(!) gaan we verder met RR3 ...
We bekijken een welbekend vb:
\(\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)
Dit zou betekenen (pas RR3 toe):
\(\left(3^{1/2}\right)^2=3\)
Nu zien we opeens een breuk als exponent, algemeen:
\(\sqrt[q]{a^p}=a^{p/q}\)
Maar pas op a<0 is nu niet mogelijk (ga dat na!)
Tenslotte: per definitie stellen we deze RR geldig voor alle p en q uit Q, met de restrictie dat het grondtal a positief moet zijn.
De RR 1, 2 en 3 worden uitgebreid met:
\(4.\; a^{-p}=\frac 1 {a^p}\)
\(5.\;\sqrt[q]{a^p}=a^{p/q}\)
Kom zelf met vb ...
