Het bestaansrecht van het imaginaire getal i.

[Donkiesjot]

Door het gebruik van i, met de eenvoudige eigenschap i*i=-1 en dus ook √-1=i, vinden we een generalisatie tussen een vector in R2 en een rotatie-vermenigvuldiging in R2.
Schrijven we de vector (a,b) als a+i.b dan kan dat ook gezien worden als de rotatie over een hoek groot tan-1(b/a)
gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging groot √(a2+b2). Met i wordt het verschil tussen een vector en een rotatie weggenomen. Hiermee is de generalisatie een feit! Alle andere rekenregels blijven hetzelfde!
Deze zienswijze vergroot het effectief werken met complexe getallen, zoals zo'n generalisatie wordt genoemd!

Overweging: " bestaat er ook in R3 zo'n generalisatie? ".

Ik hoor graag van jullie of deze minicursus "complexe getallen" bruikbaar is!

[Donkiesjot]

Ipv. generalisatie kan men ook unificatie lezen!

[arno_sciencetalk]

Door het gebruik van i, met de eenvoudige eigenschap i*i=-1 en dus ook √-1=i, vinden we een generalisatie tussen een vector in R2 en een rotatie-vermenigvuldiging in R2.

Opmerking: het is gebruikelijk om i te definiëren aan de hand van de eigenschap i² = -1. Voor √-1 = a+bi geldt na kwadrateren dat a²-b² = -1 en a·b = 0, dus a = 0 of b = 0. Uit a = 0 volgt dat b² = 1, dus b = 1 of b = -1, dus √-1 = i of √-1 = -i. De wortel uit een negatief getal heeft dus blijkbaar geen eenduidige waarde.

Schrijven we de vector (a,b) als a+i.b dan kan dat ook gezien worden als de rotatie over een hoek groot tan-1(b/a)
gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging groot √(a2+b2).

Voor z = a+bi betekent dat dus dat |z|=\sqrt{a^2+b^2} en \arg z=\arctan\frac{b}{a}. Met |z| = r en arg z = φ kunnen we dus schrijven dat z = r(cos φ+i·sin φ). Volgens de stelling van De Moivre geldt dan ook dat z^n=r^n(\cos n\cdot\phi+i\cdot\sin n\cdot\phi).

Overweging: " bestaat er ook in R3 zo'n generalisatie? ".

Nee, het is wel mogelijk om in ℝ⁴ iets dergelijks tot stand te brengen door 3 getallen i, j en k in te voeren met de eigenschap dat i² = j² = k² = i·j·k = -1. Je kunt dan met behulp van 4 reële getallen a, b, c en d een quaternion q = a+bi+cj+dk definiëren. De verzameling quaternionen duiden we aan met ℍ. Vermenigvuldiging is in ℍ niet meer commutatief, maar wel associatief.

[Donkiesjot]

Hoi Arno,
Kan het kloppen dat er voor elke Rn, met n geen priemgetal, zo'n unificatie tussen vectoren en rotaties bestaat?
Heb jij voor mij hierover een goede referenties of kun je een goed wiskunde boek aanbevelen?
Alvast dank voor je inzet!
Walter

[arno_sciencetalk]

Hoi Arno,
Kan het kloppen dat er voor elke Rn, met n geen priemgetal, zo'n unificatie tussen vectoren en rotaties bestaat?

Als n een macht van 2 is wel. Voor de complexe getallen geldt: n = 2, voor de quaternionen geldt: n = 4. Voor een hogere macht van 2 komt naast de commutativiteit van de vemenigvuldiging ook de associativiteit van de vemenigvuldiging te vervallen.

Heb jij voor mij hierover een goede referenties of kun je een goed wiskunde boek aanbevelen?
Alvast dank voor je inzet!
Walter

Zoek op Wikipedia maar eens wat op over Cliffordalgebra's.