limiet

[Jackshirak]

Kan iemand deze definitie alstublieft uitleggen met behulp van een grafiek? alvast bedankt

Eigenlijke limiet in +∞
lim x→+∞ f(x) =b⇔∀ε∈R+0,∃P∈R+0 : x>P⇒|f(x)−b|<ε

[siep]

Voor alle positieve \epsilon, hoe klein dan ook, moet er een P te vinden zijn, zodanig dat voor alle x > P de afstand van f(x) tot b kleiner is dan \epsilon:
| f(x) - b | < \epsilon

Let op: \epsilon mag niet nul zijn, want een afstand kan nooit kleiner dan nul zijn.

Voorbeeld:

f(x) = 1 + \frac{2}{x}

Als x naar oneindig gaat, dan gaat de breuk \frac{2}{x} naar nul en f(x) naar 1.
Dus de limiet b = 1.

We moeten via de definitie nu gaan aantonen dat voor alle positieve \epsilon, hoe klein dan ook,
er een P te vinden is, zodanig dat voor alle x > P geldt:

| f(x) - 1 | < \epsilon

Dus de vraag is: voor welke waarden van x geldt dit?

We kijken voor x naar oneindig, dus we mogen stellen x > 0.
Omdat voor x > 0 geldt dat \frac{2}{x} > 0 is f(x) = 1 + \frac{2}{x} > 1
Dat betekent dat voor x > 0 geldt dat f(x)-1 > 0 en we de absoluut strepen kunnen weglaten:
er moet gelden:

f(x) - 1 < \epsilon

ofwel:

1 + \frac{2}{x} - 1 < \epsilon

\frac{2}{x} < \epsilon

x > \frac{2}{\epsilon}

Dus voor alle x > \frac{2}{\epsilon} geldt dat | f(x) - 1 | < \epsilon.
Als we nu P gelijk stellen aan \frac{2}{\epsilon} zijn we klaar met ons bewijs.

We hebben nu aangetoond:
voor alle positieve \epsilon, hoe klein dan ook, bestaat er een P = \frac{2}{\epsilon}, zodanig dat voor alle x > P de afstand van f(x) tot 1 kleiner is dan \epsilon:
| f(x) - 1 | < \epsilon


Neem bijvoorbeeld \epsilon = 2, dan krijgen we dit plaatje:



De blauwe kromme is f(x): y = 1 + 2/x
De groene lijn is y = b = 1
De rode lijnen zijn
y = b + \epsilon = 1 + 2 = 3
en
y = b - \epsilon = 1 - 2 = -1
De punten op deze 2 rode lijnen hebben een afstand van precies \epsilon = 2 tot b.
De punten tussen deze 2 rode lijnen (lichtrood) hebben een afstand kleiner dan 2 tot b.

Neem P = \frac{2}{\epsilon} = 1, dan ligt de grafiek van f(x) voor x > P, dus x > 1 volledig in het lichtrode gebied:
voor alle x > 1 geldt: | f(x) - 1 | < 2

Voor \epsilon = 2 hebben we nu dus een P gevonden, namelijk: P = 1
(Merk op: elke grotere waarde voor P, bv P=6, voldoet ook, maar het gaat er om dat we ten minste 1 waarde voor P hebben kunnen vinden).


Nu kunnen we hetzelfde doen voor een kleinere \epsilon > 0, bijvoorbeeld \epsilon = 1:
P = \frac{2}{1} = 2



Voor alle x > 2 is | f(x) - 1 | < 1
ofwel:
Voor alle x > 2 ligt de grafiek van f(x) in het lichtrode gebied.


En hetzelfde voor nog kleinere \epsilon > 0, bijvoorbeeld \epsilon = \frac{1}{2}:
P = \frac{2}{1/2} = 4



Voor alle x > 4 is | f(x) - 1 | < \frac{1}{2}

Enzovoorts voor alle steeds kleinere positieve \epsilon


Wordt het hiermee wat duidelijker?

[Jackshirak]

Ja, zeer bedankt.