Zoek de zijde van het vierkant

[Janosik]

Bovenstaande afbeelding bevat alle informatie.
Eens je de juiste driehoeken gevonden hebt, is de oplossing vrij eenvoudig.
Veel puzzelplezier...

[siep]

Via een \tan(\text{atan}+\text{atan})=1 constructie kom ik uit op 17+2\sqrt{39}
Leuk probleem!

[Janosik]

Hoi arie,
Jouw antwoord is helemaal juist

Mijn oplossing ziet er zo uit:



A^{2}+B^{2}=C^{2}+D^{2}
waarbij
A=Z-L_2+R_1
B=Z-L_1+R_2
C=R_2-R_1
D_1=Z-L_1
D_2=Z-L_2
D=D_1+D_2=2Z-L_1-L_2

Het vinden van D vond ik best wel pittig...

Alles invullen en uitwerken geeft een kwadratische vergelijking:
Z^{2}-34Z+133=0
met als oplossingen
Z_1=17+2\sqrt{39}\approx29.489996
en
Z_2=17-2\sqrt{39}\approx4.510004

Z_2 is kleiner dan elk van de gegeven parameters en is dus onmogelijk.

De juiste oplossing is dus: Z=17+2\sqrt{39}\approx29.489996

Nog een merkwaardige opmerking:
Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2

[siep]

Ik heb de route via de rode en de blauwe vlieger genomen:

2\alpha + 2\beta = 90^\circ

\alpha+\beta = 45^\circ

\tan (\alpha+\beta) = 1

\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}=1

\tan(\alpha)+\tan(\beta)=1-\tan(\alpha)\tan(\beta)

\frac{7}{z-6}+\frac{10}{z-11} = 1 - \frac{7}{z-6}\cdot \frac{10}{z-11}

7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70

en via de abc-formule naar de oplossing.

[Janosik]

Zeer elegante oplossing

[siep]

Nog een merkwaardige opmerking:
Z_1+Z_2=34=L_1+L_2+R_1+R_2

Klopt:

7(z-11) + 10(z-6) = (z-6)(z-11)-70

uitgedrukt in de oorspronkelijke variabelen:

R_1(z-L_2) + R_2(z-L_1) = (z-L_1)(z-L_2)-R_1R_2

levert

z^2 - (L_1+L_2+R_1+R_2)z + (L_1L_2+ R_1L_2+ R_2L_1- R_1R_2) = 0

En in elke tweedegraadsvergelijking az^2+bz+c=0 geldt:

z_1+z_2 = \frac{-b}{a}

z_1\cdot z_2 = \frac{c}{a}