Raaklijnen aan een grafiek door een punt buiten die grafiek.

[henkoegema]

f(x) = -x^2+4x+1
P=(3,5)

Hoe stel ik de vergelijking op van de raaklijnen aan f die door het punt P gaan?

[siep]

Neem l:\; y=ax+b
Als P = (3, 5) op l ligt, moet gelden:
5 = 3a + b
ofwel
b = 5-3a
waardoor
l:\; y=ax+5-3a
Dit had je waarschijnlijk zelf ook al gevonden.

Nu gaan we de grafiek van f snijden met lijn l:
Een punt Q op de grafiek van f heeft de vorm Q = (x, -x^2+4x+1)
Als Q ook op lijn l ligt, dan moet ook gelden (invullen in de vergelijking van l):
y_Q = a\cdot x_Q + 5 - 3a
ofwel
-x^2+4x+1 = a\cdot x + 5 - 3a

Als uit deze vergelijking 2 verschillende waarden voor x zouden komen, snijden l en f in 2 punten,
als uit deze vergelijking 1 unieke oplossing voor x volgt, dan snijden l en f in 1 punt = het raakpunt,
als er geen oplossingen zijn voor x, dan snijden l en f elkaar niet.

Wat moet dus gelden voor de discriminant van de laatste vergelijking?

Kom je hiermee verder?

[henkoegema]

Beste Arie
Bedankt voor je reactie.

Aan jouw oplossing heb ik totaal niet gedacht.
Die is verder niet moeilijk op te lossen.

Ik dacht in de richting van:
De richtingscoefficiënt van de raaklijnen aan f moet hetzelfde zijn als de richtingscoefficiënt van de lijnen die door P gaan.
Heb uiteindelijk toch de oplossing kunnen vinden. (dankzij jouw suggestie b=5-3a)
Ik struikelde op 2 vergelijking met 3 onbekenden (x en a en b)

f = g
f' = g'

f(x) = -x^2+4x+1
g(x) = ax +(5-3a)

f=g geeft -x^2+4x+1 = ax +(5-3a)
f'=g' geeft -2x+4=a

-x^2+4x+1 =(-2x+4)\cdot x +(5-3(-2x+4)) geeft x=4 of x=2
f(4)=1 geeft PQ: y=-2x+4
f(2)=5 geeft PB: y=5