Differentiëren i.p.v groeifactor (?)

[henkoegema]

Deze opgave komt uit het boek "Moderne Wiskunde ed. 12.1 FLEX vwo wiskunde B deel 2", blz, 40 Opgave T2 :

Een koud voorwerp, bijvoorbeeld een blikje frisdrank dat in de
koelkast heeft gestaan, zal langzamerhand opwarmen.
Ga uit van een blikje met temperatuur van 5 ∘C ,terwijl de
omgevingstemperatuur 25 ∘C is.
Het temperatuurverschil neemt per minuut met 7,5% af.
a. Bereken de temperatuurvan het blikje na 1 minuut, na
5 minuten en na 10 minuten.
b. Stel een formule op voor de temperatuur T in ∘C na
t minuten.
c. Na hoeveel minuten is de temperatuur van 10 ∘C bereikt?

Is zo'n opgave ook te berekenen m.b.v. differentiëren, i.p.v groeifactor?

(p.s. Ik ben geen vwo leerling, maar gewoon een wiskunde hobbyist. )

[henkoegema]

Ik heb een soort gelijk probleem weleens gezien op YouTube van Professor Leonard, maar kan het niet meer vinden.

[siep]

Het kan met differentiaalvergelijkingen, zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_ ... erste_orde.
In dit probleem:
Noem V_t = het temperatuurverschil op tijdstip t.
Per tijdseenheid neemt dit verschil met een constant percentage af,
dwz: de verandering per tijdseenheid is een constante (noem deze a) maal het verschil op dat moment:
\frac{dV_t}{dt} = a\cdot V_t
of anders genoteerd:
V'_t = a\cdot V_t

Dit geeft:
\frac{V'_t}{V_t} = a
Integreer naar t:
\int \frac{V'_t}{V_t} dt = \int a \; dt
\ln |V_t| = at + C_1
(C_1 is de integratieconstante)
|V_t| = e^{at + C_1}
herschrijf:
|V_t| = C_2\cdot e^{at}
(waarbij C_2 een constante)
ofwel:
V_t = c\cdot e^{at}
Voor te bepalen constanten a en c.

Gegeven V_0 = 20 geeft met deze formule:
20 = c \cdot e^{a\cdot 0} = c

en V_1 = 0.925\cdot 20 = 18.5 levert vervolgens:
18.5 = 20\cdot e^{a\cdot 1}
waardoor
a = \ln \frac{18.5}{20} = -0.07796154...

Dus:
V_t = 20 \cdot e^{-0.07796154\cdot t}
en dit kunnen we herschrijven als
V_t = 20 \cdot \left( e^{-0.07796154}\right) ^ t = 20\cdot 0.925^t
waarbij we weer op de formule met de groeifactor uitkomen.

[henkoegema]

Bij deze mijn dank Arie.
Dit is precies waarna ik op zoek was.