Analytische meetkunde

[MDB_sciencetalk]

Kan iemand mij bij deze vraag helpen, want weet niet goed hoe ik eraan moet beginnen.

Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2,3) en die op een afstand van 3 ligt van de oorsprong.
Bij de uitkomst staat er dat het y=3 en 12x+5y-39 is.

Alvast bedankt.
MDB

[siep]

Noem de lijn die we zoeken l:
l: y=ax+b
Punt A = (2, 3) ligt op l, dan moet gelden:
3 = 2a + b
ofwel:
b=3 - 2a
We kunnen l nu dus ook schrijven als
l: y=ax - 2a + 3
Nu zoeken we alleen a nog maar (als we a hebben, dan weten we b = 3-2a ook).

Het tweede punt van l ligt op afstand 3 van de oorsprong.
Alle punten die een afstand 3 tot de oorsprong hebben liggen op cirkel C:
C: x^2 + y^2 = 3^2
Snij nu lijn l met deze cirkel C:
x^2 + (ax - 2a + 3)^2 = 3^2

Dit levert een tweedegraadsvergelijking in x.
- Als er 2 verschillende oplossingen zijn voor x, dan snijdt l de cirkel in 2 punten.
- Als er geen oplossingen zijn voor x, dan hebben l en C geen punten gemeenschappelijk.
- Als er 1 oplossing is voor x, dan raakt lijn l cirkel C, en in dat geval is de afstand van l tot het middelpunt van C (= de oorsprong) gelijk aan de straal van C = 3.

Gebruik de abc-formule en kijk wanneer er precies 1 oplossing bestaat voor x.
Dat zal je de mogelijke waarden van a gaan geven.

Kom je er zo uit?

[MDB_sciencetalk]

Waarom spreken we hier over een cirkel C ? Ben daar nog niet goed mee mee...

[siep]

Een cirkel wordt gevormd door alle punten die op een afstand r (= de straal) van middelpunt M liggen.
In bovenstaand plaatje is M = (3, 2) en is r = 5.
Als we kijken naar een (willekeurig) punt P op de cirkel, dan is
- de horizontale afstand van M tot P = | Px - Mx | = |MQ| = a in het plaatje, en is
- de verticale afstand van M tot P = | Py - My | = |PQ| = b.

Omdat a en b loodrecht op elkaar staan, is hoek MQP = 90°, en is MQP (geel) een rechthoekige driehoek.
Dan geldt volgens de stelling van Pythagoras:
a^2 + b^2 = r^2
ofwel (met bovenstaande resultaten):
(Px - Mx)^2 + (Py-My)^2 = r^2

Niet alleen voor P, maar voor alle punten (x, y) op de cirkel moet dus gelden:
(x - Mx)^2 + (y-My)^2 = r^2
en dit is de algemene vergelijking voor een cirkel met middelpunt M en straal r.

In jouw vraagstuk is M = de oorsprong = (0, 0) en is r = 3.
Dit geeft:
(x - 0)^2 + (y-0)^2 = 3^2
ofwel
x^2 + y^2 = 9
Alle punten met afstand 3 tot de oorsprong voldoen aan deze vergelijking,
en alle punten die aan deze vergelijking voldoen hebben afstand 3 tot de oorsprong.

De lijnen die we zoeken moeten dus raken aan deze cirkel.

[siep]

Hier nog een plaatje voor jouw probleem:
- de groene lijn snijdt cirkel C in 2 punten en heeft een afstand (loodrecht) tot de oorsprong < 3
- de paarse lijn heeft geen gemeenschappelijke punten met de cirkel, en heeft een afstand tot de oorsprong > 3
- de blauwe lijnen raken de cirkel en hebben daarom een afstand 3 tot de oorsprong.