Gevloerde getallen

[Professor Puntje]

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) noemen we gehele gevloerde getallen. De verzameling van alle gehele gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{Z}_{\mathrm{F}} \) .

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) en \( a+b \geq 0 \) noemen we natuurlijke gevloerde getallen. De verzameling van alle natuurlijke gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{N}_{\mathrm{F}} \) .

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) en \( a+b > 0 \) noemen we positieve natuurlijke gevloerde getallen. De verzameling van alle positieve natuurlijke gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{N}_{\mathrm{F}}^+ \) .

[Professor Puntje]

Die gehele gevloerde getallen a+bh waarvoor a een even getal is en b nul of een noemen we standaard-getallen. De verzameling van alle standaard-getallen noteren we als \( \mathbb{S} \) .

[Professor Puntje]

De som g₁ + g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is steeds een standaard-getal.

BEWIJS:

Aangezien voor alle gehele gevloerde getallen g₁ = a+bh en g₂ = c+dh geldt dat:

\( (a + bh) + (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \)

mogen we ook schrijven:

\( (a + bh) + (c + dh) = e + fh \)

met:

\( e = 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

Het is duidelijk dat e een even geheel getal is.

Voor f vinden we:

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \frac{a+b+c+d}{2} - 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{a+b+c+d}{2} - \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \right ) \)

Als a+b+c+d even is dan is er een geheel getal n met a+b+c+d = 2n, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n - \mathrm{floor}(n) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n - n ) \)

\( f = 0 \)

Als a+b+c+d oneven is dan is er een geheel getal n met a+b+c+d = 2n+1, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n+1}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n+1}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n + \frac{1}{2} - \mathrm{floor}(n + \frac{1}{2} ) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n + \frac{1}{2} - n ) \)

\( f = 2 \cdot \frac{1}{2} \)

\( f = 1 \)

Dus f is steeds nul of een.


De som g₁ + g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is dus altijd een standaard-getal.

QED

[Professor Puntje]

Het product g₁ . g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is steeds een standaard-getal.

BEWIJS:

Aangezien voor alle gehele gevloerde getallen g₁ = a+bh en g₂ = c+dh geldt dat:

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}( (a+b) \cdot (c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b) \cdot (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) h \)

mogen we ook schrijven:

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = e + fh \)

met:

\( e = 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

Het is duidelijk dat e een even geheel getal is.

Voor f vinden we:

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2} \, - \, 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2} \, - \, \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \right ) \)

Als (a+b) . (c+d) even is dan is er een geheel getal n met (a+b) . (c+d) = 2n, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n - \mathrm{floor}(n) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n - n ) \)

\( f = 0 \)

Als (a+b) . (c+d) oneven is dan is er een geheel getal n met (a+b) . (c+d) = 2n+1, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n+1}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n+1}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n + \frac{1}{2} - \mathrm{floor}(n + \frac{1}{2} ) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n + \frac{1}{2} - n ) \)

\( f = 2 \cdot \frac{1}{2} \)

\( f = 1 \)

Dus f is steeds nul of een.


Het product g₁ . g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is dus altijd een standaard-getal.

QED

[Professor Puntje]

Hiermee is de basis gelegd. Het bijzondere van de standaard-getallen is dat het even of oneven zijn van die getallen expliciet in de structuur van die getallen is uitgedrukt. Wellicht kan dat van nut zijn voor het onderzoek van Collatz-rijen. De kans is klein, maar wie weet.

[Professor Puntje]

Graag wat reacties:
Ziet iemand fouten in voorgaande?
Zijn er tips over hoe verder?
Vragen?

[Professor Puntje]

Laat a+bh een standaard-getal zijn. Dan definiëren we de functie \( \mathrm{col} \) van \( \mathbb{S} \) naar \( \mathbb{Z_\mathrm{F}} \) als:

\( \mathrm{col}(a+bh) = \left ( \frac{a}{2} \cdot (1-b) + (3(a+1)+1) \cdot b \right ) \,\, + \,\, 0 h \).

Voor standaardgetallen a+bh is a een even geheel getal en dus a/2 een geheel getal en is b een of nul. Derhalve hebben we voor alle \( a+bh \in \mathbb{S} \) dat \( \left ( \frac{a}{2} \cdot (1-b) + (3(a+1)+1) \cdot b \right ) \in \mathbb{Z} \) . De functie \( \mathrm{col} \) gaat dus inderdaad van \( \mathbb{S} \) naar \( \mathbb{Z_\mathrm{F}} \) .

[vijv]

Als spin off van de discussie over het Collatz-vermoeden stel ik het volgende getallen-systeem voor:

Het systeem van de gevloerde getallen \( \mathbb{F} \) (floored numbers) bestaat uit de verzameling van alle formele uitdrukkingen van de vorm \( x + y h \) met \( x,y \in \mathbb{R} \) en de optelling en vermenigvuldiging:

\( (a + bh) + (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \)
\( (a + bh) \cdot (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \, \, + \,\, ((a+b) \cdot (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) h \)
(voor: \( \mathrm{split}(x) = \mathrm{floor}(\frac{x}{2}) \))

Verder definiëren we de lengte \( \mathcal{L}(g) \), het even deel \( \mathcal{E}(g) \) en de rest \( \mathcal{R}(g) \) van een gevloerd getal g = x+yh als:

\( \mathcal{L}(x+yh) = x+y \)
\( \mathcal{E}(x+yh) = x \)
\( \mathcal{R}(x+yh) = y \)


Lijkt dit ergens naar? En bestaat zo'n systeem wellicht allang?

PP,

Is er een reden waarom je optelling en vermenigvuldiging zo definieert?

[Professor Puntje]

Ja - bij pogingen het Collatz-vermoeden te bewijzen of te weerleggen stoot je op het probleem dat de stappen in de Collatz-rijen voor even en oneven getallen verschillend zijn, wat een hinderlijk element van quasi-toeval in het verloop van de Collatz-rijen introduceert. Maar de som en het product van twee gehele gevloerde getallen is altijd een standaard-getal, en voor standaard-getallen a+bh is het even of oneven zijn expliciet in b vastgelegd. Daarmee hoop ik het bewijzen van eigenschappen van Collatz-rijen binnen het systeem van de gevloerde getallen te vereenvoudigen.

[Professor Puntje]

Laat x = a+bh een standaard-getal zijn. Dan geldt:

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(a+bh) ) = \mathcal{L} \left ( \left ( \frac{a}{2} \cdot (1-b) + (3(a+1)+1) \cdot b \right ) \,\, + \,\, 0 h \right ) \)

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(a+bh) ) = \left ( \frac{a}{2} \cdot (1-b) + (3(a+1)+1) \cdot b \right ) \,\, + \,\, 0 \)

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(a+bh) ) = \frac{a}{2} \cdot (1-b) + (3(a+1)+1) \cdot b \)

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(a+bh) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{a}{2} & \mathrm{als} & b=0 \\ 3(a+1)+1 & \mathrm{als} & b=1 \end{array} \right . \)

Of anders geschreven:

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(x) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\mathcal{L}(x)}{2} & \mathrm{als} & b=0 \\ 3 \mathcal{L}(x) + 1 & \mathrm{als} & b=1 \end{array} \right . \)

\( \mathcal{L}(\mathrm{col}(x) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\mathcal{L}(x)}{2} & \mathrm{als} & \mathcal{L}(x) = even \\ 3 \mathcal{L}(x) + 1 & \mathrm{als} & \mathcal{L}(x) = oneven \end{array} \right . \)

[Professor Puntje]

Eerder bewezen we dat de som g₁ + g₂ en het product g₁ . g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ steeds standaard-getallen zijn. Dus geldt in het bijzonder voor alle standaard-getallen s en gehele gevloerde getallen g ook dat:

\( \mathrm{col}(s) + g \, \in \, \mathbb{S} \)

\( \mathrm{col}(s) \cdot g \, \in \, \mathbb{S} \)

Verder herinneren we eraan dat voor alle gevloerde getallen g en pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \) geldt dat:

\( \mathcal{L}(g + \tilde{0}) = \mathcal{L}(g) \)

En dat voor alle gevloerde getallen g en pseudo-eenheidselementen \( \tilde{1} \) geldt:

\( \mathcal{L}(g \cdot \tilde{1}) = \mathcal{L}(g) \)

[Gast]

Sorry, dit is waar ik aan denk iedere keer als ik de titel van dit topic lees

Maar laat je vooral niet afleiden door mijn brein-kronkels . Ik vrees dat ik aan het topic verder niet veel toe te voegen heb...

[Professor Puntje]

Dat is wel een aardig plaatje voor een boekomslag mocht hier ooit nog eens een boek over komen. Ik had ook serieuzer klinkende titels voor mijn getallen in gedachten maar die benamingen waren helaas al bezet. Er zijn in de loop der eeuwen al zo veel exotische soorten getallen verzonnen... De hier gekozen benaming "gevloerde getallen" verwijst naar het gebruik van de floor-functie in de optelling en vermenigvuldiging.

[Professor Puntje]

Hieronder kort samengevat een gestroomlijnde versie met nummering voor latere referentie van de basisdefinities en eigenschappen van de gevloerde getallen:



1. Het systeem van de gevloerde getallen.

1.1. DEFINITIE. Het systeem van de gevloerde getallen \( ( \mathbb{F} , + , . ) \) (floored numbers) bestaat uit de verzameling \( \mathbb{F} \) van alle formele uitdrukkingen van de vorm \( x + y h \) met \( x,y \in \mathbb{R} \) tezamen met de optelling "+" en de vermenigvuldiging "." :

\( (a + bh) + (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \)

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \, \, + \,\, ((a+b) \cdot (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) h \)

(voor: \( \mathrm{split}(x) = \mathrm{floor}(\frac{x}{2}) \))

Soms is het handig te werken met de functie \( \mathcal{F} \) van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{F} \) volgens:

\( \mathcal{F}(x) = (2 \cdot \mathrm{split}(x)) \,\, + \,\, ( x - 2 \cdot \mathrm{split}(x) ) h \) .

Gevloerde getallen g waarvoor er een reëel getal x is zodanig dat \( g = \mathcal{F}(x) \) noemen we eenvoudig en de verzameling van alle eenvoudige gevloerde getallen geven we aan als \( \mathbb{E} \).

Daarmee zijn de optelling en vermenigvuldiging voor gevloerde getallen in onderstaande eenvoudige vorm te schrijven:

\( (a + bh) + (c + dh) = \mathcal{F}((a+b) + (c+d)) \)

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = \mathcal{F}((a+b) \cdot (c+d)) \)

Twee gevloerde getallen a+bh en c+dh rekenen we als gelijk dan en slechts dan wanneer a=c en b=d. Gevloerde getallen "a+bh" dient men steeds als een geheel te beschouwen: de bestanddelen "a" en "bh" hebben (als gevloerde getallen) geen afzonderlijke betekenis!

Verder definiëren we de lengte \( \mathcal{L}(g) \), het even deel \( \mathcal{E}(g) \) en de rest \( \mathcal{R}(g) \) van een gevloerd getal g = x+yh als:

\( \mathcal{L}(x+yh) = x+y \)
\( \mathcal{E}(x+yh) = x \)
\( \mathcal{R}(x+yh) = y \)


1.2. LEMMA. Voor alle \( g_1 , g_2 \in \mathbb{E} \) geldt dat:

\( \mathcal{L}(g_1) = \mathcal{L}(g_2) \,\, \Rightarrow g_1 = g_2 \)


BEWIJS. Laat \( g_1 , g_2 \in \mathbb{E} \) zodat er reële getallen x en y zijn waarvoor:

\( g_1 = \mathcal{F}(x) \,\, \& \,\, g_2 = \mathcal{F}(y) \)

Dan hebben we:

\( \mathcal{L}(g_1) = \mathcal{L}(\mathcal{F}(x)) \,\, \& \,\, \mathcal{L}(g_2) = \mathcal{L}(\mathcal{F}(y)) \)

\( \mathcal{L}(g_1) = x \,\, \& \,\, \mathcal{L}(g_2) = y \)

Dus uit \( \mathcal{L}(g_1) = \mathcal{L}(g_2) \) volgt dan dat x=y, maar dan geldt ook g₁ = g₂. \( \Box \)


1.3. COROLLARIUM. Aangezien optellingen en vermenigvuldigingen van gevloerde getallen g₁, g₂, g₃ en g₄ per definitie elementen van \( \mathbb{E} \) tot uitkomst hebben geldt ook dat:

\( \mathcal{L}(g_1+g_2) = \mathcal{L}(g_3+g_4) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, g_1+g_2 = g_3+g_4 \)
\( \mathcal{L}(g_1+g_2) = \mathcal{L}(g_3 \cdot g_4) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, g_1+g_2 = g_3 \cdot g_4 \)
\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(g_3 + g_4) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, g_1 \cdot g_2 = g_3 + g_4 \)
\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(g_3 \cdot g_4) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, g_1 \cdot g_2 = g_3 \cdot g_4 \)


1.4. DEFINITIE. Voor het gemak introduceren we ook nog een parallelle vermenigvuldiging "\( \odot \)"

\( (a+bh) \odot (c+dh) = (a \cdot c) + (b \cdot d)h \) .


1.5. COROLLARIUM. We zien voor alle \( a,b \in \mathbb{R} \) direct dat:

\( (a+bh) \odot (1+0h) = a+0h \)
\( (a+bh) \odot (0+1h) = 0+bh \)
\( \mathcal{L}((a+bh) \odot (1+0h)) = a \)
\( \mathcal{L}((a+bh) \odot (0+1h)) = b \)
\( \mathcal{E}((a+bh) \odot (1+0h)) = a \)
\( \mathcal{E}((a+bh) \odot (0+1h)) = 0 \)
\( \mathcal{R}((a+bh) \odot (1+0h)) = 0 \)
\( \mathcal{R}((a+bh) \odot (0+1h)) = b \)


1.6. DEFINITIE. De verdere onderverdeling van de gevloerde getallen is als volgt:

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) noemen we gehele gevloerde getallen. De verzameling van alle gehele gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{Z}_{\mathrm{F}} \) .

Die gehele gevloerde getallen a+bh waarvoor a een even getal is en b nul of een noemen we standaard-getallen. De verzameling van alle standaard-getallen noteren we als \( \mathbb{S} \) .

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) en \( a+b \geq 0 \) noemen we natuurlijke gevloerde getallen. De verzameling van alle natuurlijke gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{N}_{\mathrm{F}} \) .

Die gevloerde getallen a+bh waarvoor \( a,b \in \mathbb{Z} \) en \( a+b > 0 \) noemen we positieve natuurlijke gevloerde getallen. De verzameling van alle positieve natuurlijke gevloerde getallen noteren we als \( \mathbb{N}_{\mathrm{F}}^+ \) .


1.7. STELLING. De som g₁ + g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is steeds een standaard-getal.

BEWIJS. Aangezien voor alle gehele gevloerde getallen g₁ = a+bh en g₂ = c+dh geldt dat:

\( (a + bh) + (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \)

mogen we ook schrijven:

\( (a + bh) + (c + dh) = e + fh \)

met:

\( e = 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

Het is duidelijk dat e een even geheel getal is.

Voor f vinden we:

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) \)

\( f = (a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \frac{a+b+c+d}{2} - 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{a+b+c+d}{2} - \mathrm{floor}( \frac{a+b+c+d}{2}) \right ) \)

Als a+b+c+d even is dan is er een geheel getal n met a+b+c+d = 2n, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n - \mathrm{floor}(n) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n - n ) \)

\( f = 0 \)

Als a+b+c+d oneven is dan is er een geheel getal n met a+b+c+d = 2n+1, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n+1}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n+1}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n + \frac{1}{2} - \mathrm{floor}(n + \frac{1}{2} ) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n + \frac{1}{2} - n ) \)

\( f = 2 \cdot \frac{1}{2} \)

\( f = 1 \)

Dus f is steeds nul of een.

De som g₁ + g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is dus altijd een standaard-getal. \( \Box \)


1.8. STELLING. Het product g₁ . g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is steeds een standaard-getal.

BEWIJS. Aangezien voor alle gehele gevloerde getallen g₁ = a+bh en g₂ = c+dh geldt dat:

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}( (a+b) \cdot (c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b) \cdot (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) h \)

mogen we ook schrijven:

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = e + fh \)

met:

\( e = 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

Het is duidelijk dat e een even geheel getal is.

Voor f vinden we:

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) \)

\( f = (a+b) \cdot (c+d) \, - \, 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2} \, - \, 2 \cdot \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \)

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2} \, - \, \mathrm{floor}( \frac{(a+b) \cdot (c+d)}{2}) \right ) \)

Als (a+b) . (c+d) even is dan is er een geheel getal n met (a+b) . (c+d) = 2n, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n - \mathrm{floor}(n) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n - n ) \)

\( f = 0 \)

Als (a+b) . (c+d) oneven is dan is er een geheel getal n met (a+b) . (c+d) = 2n+1, dus dan:

\( f = 2 \cdot \left ( \frac{2n+1}{2} - \mathrm{floor}( \frac{2n+1}{2}) \right ) \)

\( f = 2 \cdot \left ( n + \frac{1}{2} - \mathrm{floor}(n + \frac{1}{2} ) \right ) \)

\( f = 2 \cdot ( n + \frac{1}{2} - n ) \)

\( f = 2 \cdot \frac{1}{2} \)

\( f = 1 \)

Dus f is steeds nul of een.

Het product g₁ . g₂ van twee gehele gevloerde getallen g₁ en g₂ is dus altijd een standaard-getal. \( \Box \)


1.9. LEMMA. Voor alle gevloerde getallen \( g_1 , g_2 \in \mathbb{F} \) geldt:

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}(g_1) + \mathcal{L}(g_2) \)


BEWIJS. Laat \( g_1 = a+bh \) en \( g_2 = c+dh \). Dan hebben we:

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}((a+bh) + (c+dh)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}( \, ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \, ) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = a+b+c+d \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = (a+b) + (c+d) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}(a+bh) + \mathcal{L}(c+dh) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}(g_1) + \mathcal{L}(g_2) \)

\( \Box \)


1.10. LEMMA. Voor alle gevloerde getallen \( g_1 , g_2 \in \mathbb{F} \) geldt:

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2) \)


BEWIJS. Laat opnieuw \( g_1 = a+bh \) en \( g_2 = c+dh \). Dan vinden we ook:

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}((a+bh) \cdot (c+dh)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}( \, ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((a+b) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) h \, ) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((a+b) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = (a+b) \cdot (c+d) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(a+bh) \cdot \mathcal{L}(c+dh) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2) \)

\( \Box \)


1.11. STELLING. Het systeem van de gevloerde getallen heeft geen nul-element.

BEWIJS. Heeft het systeem van de gevloerde getallen een nul-element? Als dat zo is dan moet er in ieder geval een gevloerd getal c+dh bestaan zodat (1+0h) + (c+dh) = 1+0h. Laten we dat bekijken:

\( (1+0h) + (c+dh) = 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}(1+0+c+d) ) \,\, + \,\, ((1+0+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+0+c+d)) h \, = \, 1+0h \)

\( 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) = 1 \,\,\,\, \& \,\,\,\, (1+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) \, = \, 0 \)

\( \mathrm{split}(1+c+d) = \frac{1}{2} \,\,\,\, \& \,\,\,\, (1+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) \, = \, 0 \)

Er bestaan geen reële getallen c en d die daaraan voldoen, en dus heeft het systeem van de gevloerde getallen geen nul-element. \( \Box \)


1.12. COROLLARIUM. Omdat het systeem van de gevloerde getallen geen nul-element "0" heeft bestaan er voor gevloerde getallen g ook ook geen tegengestelde elementen -g zodanig dat g + -g = "0".


1.13. STELLING. Het systeem van de gevloerde getallen heeft geen eenheidselement.

BEWIJS. Heeft het systeem van de gevloerde getallen dan wel een eenheidselement? Als dat zo is dan moet er in ieder geval een gevloerd getal c+dh bestaan zodat (1+0h) . (c+dh) = 1+0h. Laten we dat bekijken:

\( (1+0h) \cdot (c+dh) = 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((1+0) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (c+d))) h \, = \, 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) ) \,\, + \,\, ((c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d)) h \, = \, 1+0h \)

\( 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) = 1 \,\,\,\, \& \,\,\,\, (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) \, = \, 0 \)

\( \mathrm{split}(c+d) = \frac{1}{2} \,\,\,\, \& \,\,\,\, (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) \, = \, 0 \)

Er bestaan geen reële getallen c en d die daaraan voldoen, en dus heeft het systeem van de gevloerde getallen ook geen eenheidselement. \( \Box \)


1.14. COROLLARIUM. Omdat het systeem van de gevloerde getallen geen eenheidselement "1" heeft bestaan er voor gevloerde getallen g ook geen omgekeerde elementen 1/g zodanig dat g . 1/g = "1".


1.15. STELLING. De optelling binnen het systeem van de gevloerde getallen is commutatief.

BEWIJS. Laat a+bh en c+dh gevloerde getallen zijn. Dan hebben we:

\( (a + bh) + (c + dh) = \mathcal{F}((a+b) + (c+d)) \)

\( (a + bh) + (c + dh) = \mathcal{F}((c+d) + (a+b)) \)

\( (a + bh) + (c + dh) = (c + dh) + (a + bh) \)

\( \Box \)


1.16. STELLING. De vermenigvuldiging binnen het systeem van de gevloerde getallen is commutatief.

BEWIJS. Laat a+bh en c+dh gevloerde getallen zijn. Dan hebben we:

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = \mathcal{F}((a+b) \cdot (c+d)) \)

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = \mathcal{F}((c+d) \cdot (a+b)) \)

\( (a + bh) \cdot (c + dh) = (c + dh) \cdot (a + bh) \)

\( \Box \)


1.17. STELLING. De optelling binnen het systeem van de gevloerde getallen is associatief.

BEWIJS. Laat g₁, g₂ en g₃ gevloerde getallen zijn. Dan geeft toepassing van 1.9 dat:

\( \mathcal{L}((g_1 + g_2) + g_3) = \mathcal{L}(g_1 + g_2) + \mathcal{L}(g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 + g_2) + g_3) = \mathcal{L}(g_1) + \mathcal{L}(g_2) + \mathcal{L}(g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 + g_2) + g_3) = \mathcal{L}(g_1) + ( \mathcal{L}(g_2) + \mathcal{L}(g_3) ) \)

\( \mathcal{L}((g_1 + g_2) + g_3) = \mathcal{L}(g_1) + \mathcal{L}(g_2 + g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 + g_2) + g_3) = \mathcal{L}(g_1 + (g_2 + g_3)) \)

Op basis van 1.3 concluderen we dan tot: \( (g_1 + g_2) + g_3 = g_1 + (g_2 + g_3) \) . \( \Box \)


1.18. STELLING. De vermenigvuldiging binnen het systeem van de gevloerde getallen is associatief.

BEWIJS. Laat g₁, g₂ en g₃ gevloerde getallen zijn. Dan geeft toepassing van 1.10 dat:

\( \mathcal{L}((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) = \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) \cdot \mathcal{L}(g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2) \cdot \mathcal{L}(g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) = \mathcal{L}(g_1) \cdot ( \mathcal{L}(g_2) \cdot \mathcal{L}(g_3) ) \)

\( \mathcal{L}((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2 \cdot g_3) \)

\( \mathcal{L}((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) = \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 \cdot g_3)) \)

Op basis van 1.3 concluderen we dan tot: \( (g_1 \cdot g_2) \cdot g_3 = g_1 \cdot (g_2 \cdot g_3) \) . \( \Box \)


1.19. STELLING. Vermenigvuldigen is binnen het systeem van de gevloerde getallen distributief over optellen.

BEWIJS. Laat g₁, g₂ en g₃ gevloerde getallen zijn. Dan geeft toepassing van 1.9 en 1.10 dat:

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2 + g_3) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = \mathcal{L}(g_1) \cdot ( \mathcal{L}(g_2) + \mathcal{L}(g_3)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2) + \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_3) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) + \mathcal{L}(g_1 \cdot g_3) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2 + g_1 \cdot g_3) \)

Op basis van 1.3 concluderen we dan tot: \( g_1 \cdot (g_2 + g_3)) = g_1 \cdot g_2 + g_1 \cdot g_3 \). \( \Box \)

[Professor Puntje]

Wat is nu een slimme manier om de Collatz-rijen voor positieve natuurlijke gevloerde getallen (of meer bepaald standaard-getallen) te definiëren?