oneindig, maar begrensd heelal

[wnvl1]

Bij negatieve kromming niet.

[wnvl1]

Een constente waarde voor een functie is een symmetrie. Dat impliceert geen constante waarde voor de integraal van die functie. Daar heb ik weinig problemen met. Je kan dat evt. linken aan de randvoorwaarden.

Het probleem met de Newtoniaanse benadering is voor mij dat je een integraal hebt voor de potentiaal die niet convergeert.


\[
\Phi = -4\pi G \rho \int_0^\infty r \, dr \to \infty
\]

Het probleem dat je dan krijgt is voor mij vergelijkbaar met het berekenen van een integraal van het type

\[
\int_{-2}^{2}\frac{1}{x}dx
\]

dewelke divergeert.

[HansH]

\[
\Phi = -4\pi G \rho \int_0^\infty r \, dr \to \infty
\]

maar bij een ruimte met vaste massadichtheid is er helemaal geen potentiaal volgens mij, immers een voorwerp wat je daarin loslaat blijft gewoon op zijn plek zoals ik al eerder aangaf, dus dan klopt die integraal zowizo niet.

[flappelap]

Het is een goede vraag, en ik denk dat de oplossing uiteindelijk ligt in randvoorwaarden.

De Einstein- of Poissonvergelijking is een tweede-orde differentiaalvergelijking, die dus tot en met tweede orde afgeleiden relateert aan (energie/massa/impuls)dichtheden. Dus laten we es naar een heel simpele analogie kijken: de tweede orde differentiaalvergelijking

\(
f''(x) = C
\)

met C een constante. Henkie zou nu kunnen redeneren: elk punt x is gelijk, dus op basis van symmetrie zou Henkie verwachten dat de functie zelf ook overal hetzelfde is en dus ook constant. Maar dat klopt uiteraard niet: de algemene oplossing is een tweede orde polynoom, en je hebt vervolgens randcondities nodig om de specifieke oplossing vast te leggen. Die randcondities zullen vervolgens (een deel van je) symmetrie verbreken. Normaliter leggen we randvoorwaarden op waarbij de zwaartekrachtspotentiaal naar nul gaat "op het oneindige".

Een andere manier om hier tegenaan te kijken, is om geodeten te bekijken op een lichaam met constante kromming zoals een bol. Deze geodeten zullen elkaar i.h.a. benaderen of verwijderen.

Nog een laatste manier om hier naar te kijken is om de Poissonvergelijking te schrijven als

\(
\nabla \cdot \nabla \phi = \nabla \cdot g = 4 \pi G \rho
\)

Als je deze vergelijking over het hele universum (met volume V) integreert, dan krijg je

\(
\int_V \nabla \cdot g dV = 4 \pi G M_{tot}
\)

Gauss zegt dat dit een oppervlakte-integraal wordt, waarbij A = dV de rand van het volume V is:

\(
\int_{dV} g \cdot dA = 4 \pi G M_{tot}
\)

Als je de massadichtheid rho als een constante ongelijk aan nul kiest, dan krijg je dus een flux van g, en bestaat de oplossing g = 0 niet.

ik weet niet of ik de link met zwaartekracht kan volgen, maar begrijp ik het goed dat je hier integreert over een volume? punt is denk ik dat bij een contante massadichtheid verdeeld over een oneindig groot volume niet kunt spreken over waar de rand van dat volume is terwijl je die rand hier wel gebruikt.

Ja, ik denk bij nader inzien dat dat laatste argument inderdaad niet opgaat bij gebrek aan een rand inderdaad.

[HansH]

maar als dat waar is dan staat kromming tgv expansie of krimpen van de ruimtetijd dus los van deze eigenschap van constante massa dichtheid in het heelal als het inderdaad onbegrensd is. Maar de vraag was eigenlijk ook want anders, namelijk of het wiskundig mogelijk is om zo'n heelal met constante massadichtheid als een begrensde structuur te beschrijven wearbij je dus feitlijk een rondje kunt maken als je rechtdoor gaat en dan uiteindelijk weer op hetzelfde punt uitkomt.

[wnvl1]

In principe is de stelling van Gauss niet meer van toepassing. Voor het toepassen van de stelling van Gauss als je het domein laat groeien naar oneindig, moet \(\vec{F}\) voldoende snel naar nul gaan bij \(|x| \to \infty\), zodat de oppervlakte-integraal over de bol op oneindig verdwijnt.

[HansH]

Ik weet niet of de natuur de stelling van Gauss moet raadplegen om zich af te vragen of het kan wat de natuur doet of dat het andersom is, nl dat soms onze theorie te kort schiet. lijkt mij het 2e.

[Regor]

Aan wnvl1,

1. Wat moet ik mij voorstellen bij krommingen van -2 of +2 in de formule die U gaf in verband met de vorm van het heelal ?
Of is dat zinloos?
2. Kan de vorm van het heelal ook een torus zijn met een binnendiameter nul ?
Welk is de kromming in dit geval?
3. Kan de vorm van het heelal ook een parabolide zijn ?
Welk is de kromming in dit geval ?

Ben benieuwd, hopelijk zijn mijn vragen niet te zinloos.

[wnvl1]

Ik weet niet of de natuur de stelling van Gauss moet raadplegen om zich af te vragen of het kan wat de natuur doet of dat het andersom is, nl dat soms onze theorie te kort schiet. lijkt mij het 2e.

De wiskunde laat zien dat Newton hier tekort schiet. Je krijgt een divergente integraal. Anderzijds is het natuurlijk ook maar een hypothetische iets dat je modelleert.

[wnvl1]

1. Wat moet ik mij voorstellen bij krommingen van -2 of +2 in de formule die U gaf in verband met de vorm van het heelal ?
Of is dat zinloos?
2. Kan de vorm van het heelal ook een torus zijn met een binnendiameter nul ?
Welk is de kromming in dit geval?
3. Kan de vorm van het heelal ook een parabolide zijn ?
Welk is de kromming in dit geval ?

Als het universum isotroop en homogeen is, dan kom je op de metriek die ik eerder hier plaatste en zijn er geen andere opties. Als je van die voorwaarden abstractie maakt, dan kan je natuurlijk veel andere metrieken gaan verzinnen.

[HansH]

De wiskunde laat zien dat Newton hier tekort schiet. Je krijgt een divergente integraal. Anderzijds is het natuurlijk ook maar een hypothetische iets dat je modelleert.

waarom zou Newton tekort moeten schieten? je kunt toch gewoon de bijdrage aan de g kracht uitrekenen door de sommatie van bijdragen in alle punten ? via G.M/r^2 met M de massabijdragen van elk punt. vanwege symmetrie in alle richtingen kom je dan op 0.

[wnvl1]

Daarom verwees ik naar de integraal
\[
\int_{-2}^{2}\frac{1}{x}dx
\]
als voorbeeld.

Bij die integraal zou je toch ook kunnen zeggen dat links en rechts wegvalt? Toch noemen we die integraal divergent.

In geval van Newton gaat het probleem zijn dat de kracht als je oneindig naar links integreert dat de kracht oneindig groot is. Als je oneindig naar rechts integreert is de kracht ook oneindig. Die twee oneindigen gaan niet zomaar wegvallen en nul worden.

[HansH]

Daarom verwees ik naar de integraal
\[
\int_{-2}^{2}\frac{1}{x}dx
\]
als voorbeeld.

Bij die integraal zou je toch ook kunnen zeggen dat links en rechts wegvalt? Toch noemen we die integraal divergent.

In geval van Newton gaat het probleem zijn dat de kracht als je oneindig naar links integreert dat de kracht oneindig groot is. Als je oneindig naar rechts integreert is de kracht ook oneindig. Die twee oneindigen gaan niet zomaar wegvallen en nul worden.

het effect van 2 massa's op gelijke maar tegenovergestelde afstand zal elkaar precies compenseren qua zwaartekrachtsveld, dus door die symmetrie hou je netto nul over. dus ik weet even niet waar die 1/x bij jou vandaan komt, maar klopt niet volgens mij. Newton werkt toch met 1/x^2 ? plus een richtingsvector?

[flappelap]

Daarom verwees ik naar de integraal
\[
\int_{-2}^{2}\frac{1}{x}dx
\]
als voorbeeld.

Bij die integraal zou je toch ook kunnen zeggen dat links en rechts wegvalt? Toch noemen we die integraal divergent.

In geval van Newton gaat het probleem zijn dat de kracht als je oneindig naar links integreert dat de kracht oneindig groot is. Als je oneindig naar rechts integreert is de kracht ook oneindig. Die twee oneindigen gaan niet zomaar wegvallen en nul worden.

het effect van 2 massa's op gelijke maar tegenovergestelde afstand zal elkaar precies compenseren qua zwaartekrachtsveld, dus door die symmetrie hou je netto nul over. dus ik weet even niet waar die 1/x bij jou vandaan komt, maar klopt niet volgens mij. Newton werkt toch met 1/x^2 ? plus een richtingsvector?

Hetzelfde geldt als je 1/x vervangt door 1/x^2, en in bolsymmetrische gevallen kun je de hoeken eenvoudig uit integreren.

Ik denk dat deze uitleg van wnvl1 heel mooi gekozen is: het laat zien wat voor subtiliteiten je krijgt als je met divergente uitdrukkingen gaat rekenen.

[HansH]

Hetzelfde geldt als je 1/x vervangt door 1/x^2, en in bolsymmetrische gevallen kun je de hoeken eenvoudig uit integreren.

Ik denk dat deze uitleg van wnvl1 heel mooi gekozen is: het laat zien wat voor subtiliteiten je krijgt als je met divergente uitdrukkingen gaat rekenen.

mooie uitleg, maar de reden waarom de integraal niet convergeert is omdat het rond x=0 naar oneindig gaat. maar in de praktijk convergeert de zwaartekracht prima rond afstand 0. immers in elk voorwerp gebeurt dat. maar de discussie gaat ook niet over o, maar over oneindige afstand. Dus wat heeft deze integraal te maken met het topic?