Gevloerde getallen

[Professor Puntje]

Misschien hebben we hier iets aan: \( \mathrm{coll}(x,\delta) = (2 + \delta)^{-1 + 2 \delta} \cdot x + \delta \)

Dan hebben we:

\( \mathrm{coll}(x,0) = (2 + 0)^{-1 + 2 \cdot 0} \cdot x + 0 = \frac{x}{2} \)
\( \mathrm{coll}(x,1) = (2 + 1)^{-1 + 2 \cdot 1} \cdot x + 1 = 3x + 1 \)

[Professor Puntje]

Omgekeerd genereert ook ieder positief natuurlijk getal een rij nullen en enen afhankelijk van of er op de n-de stap van de Collatz-rij door twee gedeeld moet worden of met drie vermenigvuldigd en een opgeteld moet worden. Voorbeeld:

5 (1) -> 16 (0) -> 8 (0) -> 4 (0) -> 2 (0) -> 1 (1) -> 4 (0) -> ...

Nu kun je je ook afvragen of er bij een rij nullen en enen steeds een begingetal voor een Collatz-rij kan worden gevonden dat een corresponderende rij nullen en enen oplevert. Het lijkt niet dat dat altijd gaat, maar het moet uiteraard soms wel lukken.

[Professor Puntje]

Een alternatieve aanpak is om even getallen n als n+0h te schrijven, en oneven getallen n als 0+nh. Dat leidt vermoedelijk tot een vereenvoudiging van het systeem, maar de bottleneck zit hem daarin dat het voor even getallen g in een Collatz-rij zonder dat expliciet uit te rekenen lastig te zeggen is of het volgende getal g/2 in de Collatz-rij een even of oneven getal gaat worden. Dat quasi-random gedrag wordt door de gevloerde getallen niet getackeld.