De ingestraalde massa - een oefening

[Professor Puntje]

Juist omdat het een gedachte-experiment is mag de situatie geïdealiseerd voorgesteld worden. Idealiseren is iets anders dan zoveel verwaarlozingen toepassen dat alle interessante details uit het vraagstuk verdwijnen en er formules kunnen worden gebruikt (of eigenlijk misbruikt) die voor de gestelde opgave niet eens gelden. In de gestelde opgave is er geen re-emissie zoals ook duidelijk door wnvl1 die de opgave bedacht heeft, is bevestigd.

Ik zal vandaag als dat lukt mijn afleiding voortzetten tot een met het punt waarop de tijd t₂ - t₁ berekend kan worden. Dan hebben we iets om te vergelijken met de hier door anderen berekende resultaten.

Verder blijkt de allergie voor wiskunde bij sommigen hier (niet bij allen) duidelijk zodra mijn wiskundige bewijzen botsen met hun eigen vooroordelen of denkfouten. Dat worden de resultaten van mijn bewijzen simpelweg genegeerd, als men zich al in die bewijzen wenst te verdiepen. Ik gebruik in mijn bewijzen zelden of nooit wiskunde die boven het VWO niveau uitsteekt, dus dat zou ook het probleem niet moeten zijn.

[HansH]

het een gedachte-experiment is mag de situatie geïdealiseerd voorgesteld worden. Idealiseren is iets anders dan zoveel verwaarlozingen toepassen dat alle interessante details uit het vraagstuk verdwijnen en er formules kunnen worden gebruikt (of eigenlijk misbruikt) die voor de gestelde opgave niet eens gelden.

idealiseren mag bv als je een zonnezeil nodig hebt die niets reflecteert kun je die gewoon toepassen ookal bestaat die niet in werkelijkheid. verwaarlozingen doe je om ergens makkelijker aan te kunnen rekenen zonder dat je resultaten significant veranderen.
bv niet lineaire systemen lineariseren doen wij dagelijks op het werk, anders is er geen beginnen aan. Dus is geen misbruiken, maar handig gebruiken.

[HansH]

Verder blijkt de allergie voor wiskunde bij sommigen hier (niet bij allen) duidelijk zodra mijn wiskundige bewijzen botsen met hun eigen vooroordelen of denkfouten. Dat worden de resultaten van mijn bewijzen simpelweg genegeerd, als men zich al in die bewijzen wenst te verdiepen. Ik gebruik in mijn bewijzen zelden of nooit wiskunde die boven het VWO niveau uitsteekt, dus dat zou ook het probleem niet moeten zijn.

het probleem is inderdaad vaak niet de wiskunde, maar de denkstappen die wel in iemands hoofd zitten, maar niet op op papier staan. Dan haakt de lezer al snel af als die niet zoveel zin heeft in puzzelen en reverse engineering. dus het helpt als degene die wat post ook zijn denkstappen netjes erbij documenteert zodat de gedachtes erachter makkelijk te volgen zijn.

[Professor Puntje]

Kun je even wachten met spammen tot ik het vervolg van mijn afleiding geplaatst heb? Of is zelfs dat te veel gevraagd?

[Professor Puntje]

\( \frac{\gamma(t) }{v^2(t)} \mathrm{d} v = - \mathrm{K} \mathrm{d} t \)

Dus:

\( \int \frac{\gamma(t) }{v^2(t)} \mathrm{d} v = - \int \mathrm{K} \mathrm{d} t \)

(Zie eerdere post voor de linker integraal)

\( - \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2(t)}{c^2}}}{v(t)} + \mathrm{C} = - \mathrm{K} t \)

\( \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2(t)}{c^2}}}{v(t)} - \mathrm{C} = \mathrm{K} t \)

\( \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2(t)}{c^2}}}{v(t)} = \mathrm{K} t + \mathrm{C} \,\,\,\, (\dagger) \)

\( \frac{1 - \frac{v^2(t)}{c^2}}{v^2(t)} = (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 \)

\( \frac{c^2 - v^2(t)}{v^2(t)} = c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 \)

\( \frac{c^2}{v^2(t)} - 1 = c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 \)

\( \frac{c^2}{v^2(t)} = c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1 \)

\( \frac{v^2(t)}{c^2} = \frac{1}{c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1} \)

\( v^2(t) = \frac{c^2}{c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1} \)

Dus aangezien v positief is:

\( v(t) = \sqrt{\frac{c^2}{c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1}} \)

\( v(t) = \frac{c}{\sqrt{c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1}} \)

[Professor Puntje]

Voor t=t₁ moeten we hebben dat v(t₁) = v₁. Dus wegens \( (\dagger) \) :

\( \frac{\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}}}{v_1} = \mathrm{K} t_1 + \mathrm{C} \)

\( \frac{1}{\gamma_1 v_1} = \mathrm{K} t_1 + \mathrm{C} \)

\( \mathrm{C} = \frac{1}{\gamma_1 v_1} - \mathrm{K} t_1 \)

[Professor Puntje]

\( v(t) = \frac{c}{\sqrt{c^2 (\mathrm{K} t + \mathrm{C})^2 + 1}} \)

Het tijdstip t₂ waarop de snelheid v van v₁ tot v₂ is afgenomen kan dus berekend worden met:

\( v_2 = \frac{c}{\sqrt{c^2 (\mathrm{K} t_2 + \mathrm{C})^2 + 1}} \)

[Professor Puntje]

Deze heb je voor de berekening ook nog nodig:

\( \mathrm{K} = \frac{\mathrm{I} \mathrm{A}_0}{ \gamma_1 m_1 v_1 c^2 } \)

[Professor Puntje]

Laten we het onszelf gemakkelijk maken en t₁=0s kiezen, dan heb je als tijdsduur Δt tussen t₁ en t₂ dat: Δt = t₂ - t₁ = t₂ . Dit levert:

\( \mathrm{C} = \frac{1}{\gamma_1 v_1} - \mathrm{K} \cdot 0 \)

\( \mathrm{C} = \frac{1}{\gamma_1 v_1} \)

En:

\( v_2 = \frac{c}{\sqrt{c^2 (\mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1})^2 + 1}} \)

\( (v_2)^2 = \frac{c^2}{c^2 (\mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1})^2 + 1} \)

\( c^2 (\mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1})^2 + 1 = \frac{c^2}{ (v_2)^2 } \)

\( c^2 (\mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1})^2 = \frac{c^2}{ (v_2)^2 } - 1 \)

\( c (\mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1}) = \sqrt{\frac{c^2}{ (v_2)^2 } - 1} \)

\( \mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1} = \sqrt{\frac{1}{ (v_2)^2 } - \frac{1}{c^2} } \)

\( \mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1} = \sqrt{ \frac{1}{ (v_2)^2 } \cdot ( 1 - \frac{(v_2)^2}{c^2} ) } \)

\( \mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1} = \frac{1}{ v_2 } \sqrt{ 1 - \frac{(v_2)^2}{c^2} } \)

\( \mathrm{K} \Delta t + \frac{1}{\gamma_1 v_1} = \frac{1}{ \gamma_2 v_2} \)

\( \mathrm{K} \Delta t = \frac{1}{ \gamma_2 v_2 } - \frac{1}{\gamma_1 v_1}\)

\( \Delta t = \frac{1}{ \mathrm{K} } \cdot ( \frac{1}{ \gamma_2 v_2 } - \frac{1}{\gamma_1 v_1} ) \)

K invullen geeft:

\( \Delta t = \frac{ \gamma_1 m_1 v_1 c^2 }{ \mathrm{I} \mathrm{A}_0 } \cdot ( \frac{1}{ \gamma_2 v_2 } - \frac{1}{\gamma_1 v_1} ) \)

\( \Delta t = \frac{ m_1 c^2 }{ \mathrm{I} \mathrm{A}_0 } \cdot ( \frac{ \gamma_1 v_1 }{ \gamma_2 v_2 } - 1 ) \)

[Professor Puntje]

Even de opgave terug halen voor de gegevens:

Om te oefenen...

Een massa van 1kg beweegt over een wrijvingsloze vloer met een snelheid van 10m/s. De massa heeft een bovenoppervlak van 1m². De vloer wordt loodrecht bestraald met een intensiteit van 1W/m². Hoe lang duurt het eer de snelheid is teruggevallen tot 1m/s?

[Professor Puntje]

Dus:

m₁ = 1 kg
c = 299.792.458 m/s
I = 1 W/m²
A₀ = 1 m²
v₁ = 10 m/s
v₂ = 1 m/s

(Daarbij ben ik ervan uit gegaan dat de gegeven massa de rustmassa aan het begin is, en het gegeven bovenoppervalk het bovenoppervlak in rust is.)

[Professor Puntje]

Een precieze berekening is op mijn rekenmachientje niet mogelijk, maar ik kom voor Δt ongeveer op: 8,09 . 10¹⁷ s.

[HansH]

Een precieze berekening is op mijn rekenmachientje niet mogelijk, maar ik kom voor Δt ongeveer op: 8,09 . 10¹⁷ s.

dat is ca 8 x meer dan wat ik eerder kreeg. en die uitkomst klopte ook met het impulsbehoud.

[Professor Puntje]

We hebben verschillende dingen berekend. Ik heb mij gehouden aan de gestelde opdracht. Zie de openingspost die ik pas nog weer eens geciteerd heb. Het verbaast mij dan ook niets dat jullie een afwijkende uitkomst gevonden hebben. Het gaat hier niet over een stofdeeltje in een baan om een astronomische lichtbron en er is ook geen re-emissie. Dus het Poynting-Robertson effect is niet aan de orde. En een lichtzeil is het ook niet. Als je je ondanks dat uiteindelijk toch wel aan de gestelde opgave gehouden hebt moet er iemand een fout gemaakt hebben. Ik ga ervan uit dat de volledige lichtimpuls door de massa wordt doorgegeven aan de gladde ondergrond waarover de massa glijdt want de massa verandert niet van richting, dus bij mij is er ook impulsbehoud.

[wnvl1]

Absorptie alleen zorgt voor impuls-overdracht loodrecht op het invallende licht. Maar de remkracht ontstaat pas bij isotrope re-emissie.

Ik ben in het algemeen wel akkoord met alles wat je schrijft in dit topic, maar deze stelling snap ik toch niet.

Door absorptie wordt de massa toch groter. Behoud van impuls impliceert dan toch dat er een vertraging ontstaat?

En dan heb je ook nog die relativistische aberratie. Waardoor dat als de straling loodrecht op de vloer staat, ze niet loodrecht staat op de bewegende massa uit de de opgave.