behoud van impuls bij gravitatie in het algemeen

[HansH]

om het topic van professor puntje niet te vervuilen maar even een afgeleid topic gemaakt afgeleid van
viewtopic.php?p=1264110#p1264110\

Bij Newton zijn de krachten ogenblikkelijk werkzaam over afstand. In het kader van de ART wordt impulsbehoud echter uitgedrukt door de covariante divergentie van de impuls-energietensor die nul is. Hierdoor doet het probleem dat jij beschrijft - van een vertraging in de impulsoverdracht bij grote afstanden - zich niet voor.

maar er is dus wel een vertraging. dus ik snap je antwoord niet goed. kun je het begrip 'covariante divergentie van de impuls-energietensor die nul is' vertalen naar iet wat voor niet ingewijden te volgen is?

het komt een beetje op mij over als een veer waar je aan de ene kant impuls in stop die er dan vertraagt aan de andere kant weer uit komt.
kan ik de ruimtetijd ook als zo'n soort veer zien?

[wnvl1]

Wat de impuls energie tensor is, is al uitgelegd in andere topics op dit forum. Maar hopelijk maakt volgend beeld het concept covariante divergentie wat duidelijker:

Stel je een landschap voor waar water over stroomt. Als het landschap vlak is, kun je makkelijk bepalen of er ergens water “verdwijnt” of “bij komt” door te kijken of er meer water uit een gebied stroomt dan erin.

Maar als het landschap heuvelachtig is, moet je rekening houden met de hellingen, krommingen en bochten. Het lijkt dan soms alsof er water bij komt of verdwijnt, maar dat is gezichtsbedrog: het volgt gewoon het terrein. In dat geval heb je een aangepaste manier van meten nodig, die rekening houdt met de kromming van het landschap.

In de ART is ruimte-tijd geen vlak vlak, maar een gekromde vierdimensionale structuur. Energie en impuls ‘stromen’ daarin rond zoals water over een heuvelachtig landschap. De covariante divergentie is de aangepaste manier om te meten of er iets “verdwijnt” of “bij komt” in die gekromde ruimte.

Dus: de covariante divergentie van de impuls-energietensor is nul” betekent: er gaat nergens energie of impuls verloren, ook niet in gekromde ruimtetijd. Net zoals water dat perfect over een glooiend landschap stroomt zonder ergens te lekken of op magische wijze te verschijnen.

[vijv]

Is het de (co)divergentie van de impulsenergie tensor die in elk punt nul moet zijn of is de integraal van die divergentie over het volume van een gesloten systeem?

[flappelap]

Op verzoek van HansH:

Alleen de totale impuls van appel en aarde samen zijn behouden. Op de middelbare school stellen we dan dat de derde wet van Newton opgaat voor het krachtenpaar {zwaartekracht van aarde op appel, zwaartekracht van appel op aarde}.

blijkbaar geldt dat dan niet meer voor lange afstanden, immers als ik de zon 1000km verderop zou zetten dan zou je er op de aarde pas 8 minunten later wat van merken, dus dan wijst de aantrekkingskracht van de aarde 8 munuten lang in een richting die niet meer die van de zon is. dus hoe zit het daar dan met impulsbehoud?

Daar geldt ook impulsbehoud, alleen moet je het dan in termen van relativistische velden formuleren waarin relativistische causaliteit speelt in de vorm van golfvergelijkingen waarin de golfsnelheid maximaal de lichtsnelheid is.

[wnvl1]

Is het de (co)divergentie van de impulsenergie tensor die in elk punt nul moet zijn of is de integraal van die divergentie over het volume van een gesloten systeem?

Je hebt lokaal én globaal behoud.

Lokaal behoud: er is geen creatie of vernietiging van energie of impuls op een oneindig klein volume — dit wordt uitgedrukt door de (co)divergentie van de tensor:

$$
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0
$$

Globaal behoud: dit is de integrale vorm over een volume, in de vorm:

$$
\frac{d}{dt} \int_V T^{0\nu} \, d^3x = - \int_{\partial V} T^{i\nu} n_i \, dS
$$

Deze volgt rechtstreeks uit de lokale wet via de stelling van Gauss.

[vijv]

Klopt het dat in ART er enkel behoud van energie en impuls is als we ook het gravitatieveld in de energy momentum tensor opnemen?

[wnvl1]

\(T_{\mu\nu}\) bevat niet het zwaartekrachtsveld zelf — het zwaartekrachtveld wordt apart behandeld in de algemene relativiteitstheorie.

De tensor \(T_{\mu\nu}\) beschrijft de materiële inhoud van de ruimte-tijd, dus zaken als:

* Massa-energie van stof, vloeistoffen, straling
* Druk en spanning (bijvoorbeeld binnen een ster)
* Elektromagnetische velden
* Andere materie- of energievormen

Het zwaartekrachtveld zelf — of beter gezegd, de kromming van de ruimte-tijd die de zwaartekracht voorstelt — zit niet in \(T_{\mu\nu}\). In plaats daarvan komt die tot uitdrukking in de Einstein-tensor \(G_{\mu\nu}\), die afhangt van de metriek \(g_{\mu\nu}\) en zijn afgeleiden (de kromming van ruimte-tijd).

In tegenstelling tot andere krachten (zoals elektromagnetisme), heeft zwaartekracht geen "veldenergie" die in een tensor zit.

[HansH]

Daar geldt ook impulsbehoud, alleen moet je het dan in termen van relativistische velden formuleren waarin relativistische causaliteit speelt in de vorm van golfvergelijkingen waarin de golfsnelheid maximaal de lichtsnelheid is.

voortplantuing waarin relativistische causaliteit speelt in de vorm van golfvergelijkingen waarin de golfsnelheid maximaal de lichtsnelheid is doet me wel erg denken aan transport van impuls, dus moet die impuls dan ergens opgeslagen worden zou ik denken tussen het moment van uitzenden (de ster die ik ineens 1km verderop zet) en het ontvangen (de aarde die dat pas 8 minuten later merkt)
dat moet dan toch wel in de ruimtetijd zelf opgeslagen worden (waar anders?)

[wnvl1]

Impuls wordt getransporteerd via het veld, maar de ART verbiedt wel een lokale energiedichtheid voor het zwaartekrachtsveld. Er is geen energie-impuls-tensor voor het zwaartekrachtveld zelf. Alleen een "pseudo-tensor" (zoals die van Landau-Lifshitz), maar die is afhankelijk van de gekozen coördinaten — dus fysisch ambigu.

[HansH]

Impuls wordt getransporteerd via het veld, maar de ART verbiedt wel een lokale energiedichtheid voor het zwaartekrachtsveld.

maar we weten ook dat impuls met de beperkte lichtsnelheid wordt overgedragen. dus als er nergens een vorm van opslag kan zijn waar blijft die impuls dan in de tussentijd als die behouden moet blijven of in ieder geval gerepresenteerd moet worden door iets.

[wnvl1]

Geef eens een fysisch voorbeeld. Dan kunnen we het voor een concreet geval uitzoeken.

[HansH]

neem onze zon+aarde en de situatie waarbij de zon ineens weggenomen zou worden. dat zal praktisch lastig worden, maar theoretisch zou het kunnen

[wnvl1]

De zon ineens wegnemen en ergens anders zetten is juist in tegenstrijd met de behoudswetten. Dat is geen goed voorbeeld denk ik.

[Gast]

HansH, je vroeg: "Waar blijft de impuls in de tussentijd als die behouden moet blijven?" en ook iets in de trant van "geldt behoud dan nog wel als het effect pas later merkbaar is?" Je raakt hier iets aan dat in de algemene relativiteit inderdaad wat subtieler is dan in Newtoniaanse mechanica.

(Wederom is hier een duidelijke systeemdefinitie erg belangrijk om te bepalen wát precies behouden blijft en onder welke voorwaarden.)

Zoals wnvl1 uitlegde, geldt in de algemene relativiteitstheorie het lokale behoud van energie en impuls via de vergelijking:

\(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\)

In grote lijnen betekent dit: in elk infinitesimaal volume verdwijnen energie en impuls niet zomaar. Er is geen lokale creatie of vernietiging van energie of impuls in de materievelden.

Er is dus nooit sprake van een 'plotseling' impulsverlies of -creatie op een plaats. Maar dat wil niet zeggen dat actie-reactie tegelijk hoeft te zijn: het effect van een oorzaak verspreidt zich met de lichtsnelheid, dus de reactie komt pas later, precies zoals bij de zon die verdwijnt en de aarde dat pas 8 minuten later merkt. Zoals Flappelap opmerkt zou dat causaliteit overschrijden, waarvan we allemaal weten dat dat niet kan. En je kunt zwaartekrachtsvelden eigenlijk een beetje als golven beschouwen. Niet elke trage veldverandering is natuurlijk een zwaartekrachtsgolf, maar het geheel van zwaartekrachtsinvloed door het universum heen draagt in zekere zin wel een golfachtig karakter.

Impuls wordt tussen oorzaak en gevolg niet ergens ‘opgeslagen’, maar getransporteerd via het veld (ruimtetijdkromming in de ART, of elektromagnetisch veld in EM). In vlakke ruimtetijd zie je dat mooi bij elektromagnetisme: daar zie je dat het veld zelf impuls draagt (bijvoorbeeld straling met stralingsdruk).

Bij ruimtetijdkromming ligt dat subtieler: je kunt niet spreken van een lokale impulsdichtheid van het zwaartekrachtsveld, maar de veldkromming zorgt wél voor het causale transport van impuls tussen verschillende delen van de materie. Het veld "représenteert" de overdracht, zij het niet als een soort opslag of energiereservoir, maar als een meetkundig mechanisme dat de overdracht structureel mogelijk maakt.

Het wordt dus niet ergens opgeslagen, maar causaal doorgegeven via het veld, ook al kunnen we daar geen lokale impulsvector aan toekennen zoals bij EM.


Alleen begrijp ik eerlijk gezegd niet goed waarom het voorbeeld met de vallende niet appel voldoende is:

Je vergelijking met een lift klopt aardig: in een vrij vallend referentiestelsel merk je geen zwaartekracht. Je ziet daar dus geen versnelling of kracht, en de beweging is daar gewoon traagheidsbeweging. In dat frame blijft de impuls van een vallend object dus gelijk. Alleen kun je in dat frame dan ook niet zeggen: “de appel versnelt”, dat is dan niet waar gezien vanuit het stelsel in vrije val.

Misschien helpt het ook om het onderscheid tussen energiebehoud en impulsbehoud nog even scherp te maken.

Je zei ergens dat er bij een vallende appel energiebehoud geldt: van potentieel naar kinetisch. Helemaal juist (voor waarnemers die stilstaan op de grond).
Zodra de appel echter de grond raakt en stilvalt, wordt zijn kinetische energie nul. Die energie is dan omgezet in vervorming, warmte, geluid enzovoorts, maar de appel zelf heeft dan geen kinetische energie meer. Voor impuls geldt dat op de grond er een reactiekracht op de appel komt, en daardoor wordt zijn impuls nul. Hij ligt immers stil.

Maar je verbindt dan ten onrechte aan impulsbehoud van de appel zelf. Die versnelt immers en dus verandert zijn impuls verandert. Alleen voor de appel als afzonderlijk object geldt impulsbehoud dan niet, zijn impuls verandert immers.

Wat wél behouden blijft, is de impuls van het gehele systeem (appel + aarde). De aarde krijgt ook een (verwaarloosbare) tegenimpuls omhoog, zodat de totale impuls constant blijft. Impulsbehoud geldt altijd, maar alleen voor gesloten systemen.

En dat sluit mooi aan bij het equivalentieprincipe: zowel een waarnemer op aarde als een met de appel meevallende waarnemer mogen hun frame gebruiken, en in beide wordt het impulsverloop begrepen zonder dat er "iets" extra’s nodig is om het te representeren. Ik meen dat dit al op een paar manieren is toegelicht, maar ik hoop dat deze vorm het wat helderder maakt. En dus waarom dan nog doen alsof er een soort ‘accu’ nodig is die de impuls ‘vasthoudt’? Er is geen noodzaak voor het idee dat de impuls 'ergens moet worden opgeslagen' tussen oorzaak en gevolg.


Verder even een aanvulling op lokaal vs globaal behoud in de algemene relativiteit:

Wnvl1 legt het goed uit. Maar het is wel belangrijk om te benoemen dat in de algemene relativiteit energie en impuls vaak niet globaal gedefinieerd zijn, of zelfs niet behouden in de klassieke zin.

In ART is zwaartekracht geen krachtveld met eigen energie-inhoud, maar een eigenschap van de ruimtetijd zelf (kromming). Er bestaat dus geen echte energie-impuls-tensor voor het zwaartekrachtsveld, alleen voor materie en andere niet-gravitationele velden. Daardoor geldt de lokale behoudsvergelijking \(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0,\) die het lokale behoud van energie en impuls van materie en niet-gravitationele velden uitdrukt. Deze vergelijking zegt echter niets over het totale energie-impulsbudget van het volledige systeem, inclusief de zwaartekracht zelf.

Of er ook sprake kan zijn van globaal behoud, bijvoorbeeld in de vorm

\(\frac{d}{dt} \int_V T^{0\nu} \, d^3x = - \int_{\partial V} T^{i\nu} n_i \, dS,\)

hangt sterk af van de structuur van de ruimtetijd. Alleen wanneer de ruimtetijd asymptotisch vlak is, zoals bij geïsoleerde systemen die ver verwijderd zijn van andere massa’s en velden en die op grote afstand steeds meer op de vlakke ruimtetijd van de speciale relativiteit lijken, kunnen dergelijke globale grootheden op een eenduidige manier worden gedefinieerd.

In vlakke ruimtetijd van de SRT kun je lokaal en globaal behoud aan elkaar koppelen zonder problemen. Er geldt dan eigenlijk globaal is hetzelfde als lokaal en werkt het precies zoals in de klassieke mechanica.

Maar in het algemeen, zoals in kosmologische modellen met een uitdijend heelal, is er geen globale energiedefinitie en dus ook geen klassiek energiebehoud. Bekend voorbeeld: fotonen verliezen energie door roodverschuiving, maar er is nergens een veld of object dat die energie “ontvangt”.

Dus lokaal geldt dat er geen impuls of energie uit materievelden, maar globaal kun je dat alleen zeggen als de ruimtetijd het toelaat en dat is lang niet altijd zo.


Het is lastig om een eenduidige overkoepelende reactie te geven, vandaar dat het wat langer is geworden.

Edit: wel erg lang!

Maar goed. Hopelijk draagt dit bij aan wat meer nuance rondom het begrip “behoud van energie en impuls” in de algemene relativiteitstheorie.

(Ik kan dat chitchat gebeuren niet goed.)

[Gast]

Daar geldt ook impulsbehoud, alleen moet je het dan in termen van relativistische velden formuleren waarin relativistische causaliteit speelt in de vorm van golfvergelijkingen waarin de golfsnelheid maximaal de lichtsnelheid is.

voortplantuing waarin relativistische causaliteit speelt in de vorm van golfvergelijkingen waarin de golfsnelheid maximaal de lichtsnelheid is doet me wel erg denken aan transport van impuls, dus moet die impuls dan ergens opgeslagen worden zou ik denken tussen het moment van uitzenden (de ster die ik ineens 1km verderop zet) en het ontvangen (de aarde die dat pas 8 minuten later merkt)
dat moet dan toch wel in de ruimtetijd zelf opgeslagen worden (waar anders?)

Volgens mij is dit een geval van overdenken en overcompliceren.

Over waarom in Newton's gravitatiewet een instantane verandering zou zijn bij het plotseling verdwijnen van een zwaartekrachtsbron is simpelweg omdat de speciale relativiteitstheorie nog niet ontwikkeld en aangenomen was waaruit blijkt dat niets, informatie niet, sneller kan dan de lokale lichtsnelheid in vacuüm c.

Waarbij we nu gewoon zeggen dan wordt causaliteit overschreden.

Of ben ik nu aan het oversimplificeren?