algebra som

[rvqx2]

x+x**0,5=7+7**0,5
Hoe los je deze vergelijking op? (Ik heb wel een idee over de uitkomst.). Anders geschreven:
x+Vx=7+V7

[RedCat]

\(x+\sqrt{x}=7+\sqrt{7}\)

Eerst x naar rechts brengen, vervolgens kwadrateren:

\(\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(-x+7+\sqrt{7}\right)^2\)

(vergeet na afloop niet je antwoorden te controleren, want kwadrateren kan valse oplossingen introduceren)

[ukster]

je ziet direct dat x=7
immers x+√x is dan 7+√7
of doe ik nu iets wat eigenlijk niet mag?

[RedCat]

Zo toon je aan dat x=7 een oplossing is, dat klopt.
Maar nu nog aantonen dat er geen andere oplossingen zijn.

Vergelijk:
\(x^3-x = 0.1^3 - 0.1\)
waarvoor x=0.1 een oplossing is.

[ukster]

Grafisch?

De analytische oplossing (x=13,2915025) voldoet niet!

[rvqx]

RedCat

(√x)2=(−x+7+√7)2

Dit is geen oplossing, maar een andere schrijfwijze van mijn probleem

[rvqx]

Beste Ukster
Dat x=7 een oplossing is, heb ik al aangegeven.Maar daar vraag ik niet naar, ik wil weten hoe je deze vergelijking oplost.

[rvqx]

De grafische oplossing is niet toereikend. Er zou een niet reele oplossing kunnen bestaan en die zie je grafisch niet.

[rvqx]

Zo toon je aan dat x=7 een oplossing is, dat klopt.
Maar nu nog aantonen dat er geen andere oplossingen zijn.

Accoord, maar toon dat nu eens aan.

[RedCat]

RedCat

(√x)2=(−x+7+√7)2

Dit is geen oplossing, maar een andere schrijfwijze van mijn probleem

Nee, dit is de eerste stap richting een oplossing: hier staat een 2e graads vergelijking die je met de abc-formule kan oplossen:

\(x = (x-(7+\sqrt{7}))^2\)

\(x^2 - 2(7+\sqrt{7})x+(7+\sqrt{7})^2 = x\)

\(x^2 - (15+2\sqrt{7})x+(7+\sqrt{7})^2 = 0\)

abc-formule:

\(x = \frac{1}{2}\left( 15+2\sqrt{7} \pm (1+2\sqrt{7}) \right) \)

waarbij \(x=7\) de juiste oplossing is en \(x = 8+2\sqrt{7}\) de onterecht geintroduceerde valse oplossing (zie ukster hierboven voor een benadering van deze waarde).

Het grafische bewijs van ukster is overigens een mooi bewijs zonder woorden.
In feite staat hier:
\(x=7\) is een oplossing,
voor geldige \(x\ge 0\) zijn \(y=x\) en \(y=\sqrt{x}\) continu stijgend,
dus \(y=x+\sqrt{x}\) is ook continu stijgend waarmee \(x=7\) de enige oplossing is.

[rvqx]

RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule? Ik gebruik de wortelformule en krijg dan:
x=0.5(15+2V7)+_ 0.5V(29+4V7)
en zie niet hoe x=7.

Veel vertrouwen heb ik niet in grafische oplossingen, want daarmee kun je aantonen dat
x²=-1 geen oplossingen heeft, terwijl x=i en x=-i oplossingen zijn. Voorts zijn de grafische oplossingen verre van nauwkeurig.

De hele opzet van mijn vraagstelling is aan te tonen dat een rekenmachine de beste of handigste oplossingen geeft, terwijl dat vaak bij opgaven niet getolereerd wordt. Verander in mijn opgave eens een 7 b.v. in een 6. Je kunt dan nauwelijks anders werken dan met de machine.

[ukster]

De grafische oplossing is niet toereikend. Er zou een niet reele oplossing kunnen bestaan en die zie je grafisch niet.

die kan met een trucje wel zichtbaar worden gemaakt
viewtopic.php?p=1074951#p1074951

[rvqx]

De grafische oplossing is niet toereikend. Er zou een niet reele oplossing kunnen bestaan en die zie je grafisch niet.

die kan met een trucje wel zichtbaar worden gemaakt
viewtopic.php?p=1074951#p1074951

Grappig.
Je moet dus dat trucje kennen. En bij andere dan kwadratische functies zal er wel een ander trucje nodig zijn. Lijkt me meer iets voor specialisten.

[wnvl1]

RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule?

Ik denk dat 'a, b, c formule' een Nederlandse term is. In België/Vlaanderen heb ik dat nog nooit gehoord. Ze bedoelen daarmee uitrekenen via de discriminant.

[RedCat]

RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule? Ik gebruik de wortelformule en krijg dan:
x=0.5(15+2V7)+_ 0.5V(29+4V7)
en zie niet hoe x=7.

abc formule = wortelformule met als resultaat:

\(x=\frac{1}{2}(15+2\sqrt{7}) \pm \frac{1}{2}\sqrt{29+4\sqrt{7}}\)

ofwel

\(2x=15+2\sqrt{7} \pm \sqrt{29+4\sqrt{7}}\)

Vereenvoudig de derde term rechts: kijk of \(29+4\sqrt{7}\) een kwadraat is:
als dat het een kwadraat van een getal is, dan zal dat getal de vorm \(A+B\sqrt{7}\) hebben (zo introduceren we de \(\sqrt{7}\) onder het wortelteken).

Dan moet dus \((A+B\sqrt{7})^2 = 29+4\sqrt{7}\)
ofwel
\(A^2+2AB\sqrt{7}+7B^2 = 29+4\sqrt{7}\)
waardoor
\(A^2 + 7B^2 = 29\)
en
\(2AB=4\)

Uit het laatste volgt \(B = \frac{2}{A}\)
invullen in de vergelijking daarboven:

\(A^2 + 7\frac{4}{A^2} = 29\)

\((A^2)^2 - 29A^2 + 28 = 0\)

\((A^2-1)(A^2-28)=0\)

\(A^2 = 1 \Rightarrow A = \pm 1\)
of
\(A^2 = 28 \Rightarrow A = \pm 2\sqrt{7}\)

Dit zijn 4 mogelijkheden voor A (met bijbehorende \(B = \frac{2}{A}\))

\(A=1, B=2\) levert in de oorspronkelijke vergelijking (zie bovenaan in deze post):

\(2x=15+2\sqrt{7} \pm (1+2\sqrt{7})\)

waarbij

\(2x=15+2\sqrt{7} - (1+2\sqrt{7})\)

de oplossing \(x=7\) levert.