Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[wnvl1]

Ja, dat gevoel heb ik ook. Zo'n bewijzen dragen bij mij ook niet echt bij tot het inzicht.

[Professor Puntje]

Is dit een simpeler aanpak?



Hoe zou je de opgave via geometrische algebra oplossen? Kan AI dat?

[Professor Puntje]

1.(b) Ervan uitgaande dat je met operatoren mag rekenen alsof het vectoren in \( \mathbb{R}^3 \) zijn is deze opgave in tegenstelling tot 1.(a) dan weer een eenvoudige invuloefening.

[wnvl1]

b volgt inderdaad direct uit a.

[Professor Puntje]

Ken je geometrische algebra? Maakt dat de zaak eenvoudiger?

[flappelap]

Dat lijkt meer op boekhouden dan op wis- of natuurkunde. Hu! - dat wordt doorbijten. Zal het vanavond nog eens proberen of ik het stap voor stap kan volgen.

Mwah, ik betwijfel of andere afleidingen meer inzicht geven. In 3D heb je twee invariante tensoren onder SO(3), die geven 2 typen producten, en daar heb je relaties tussen die je vrij eenvoudig kunt nagaan met de asymmetrie van die epsilon tensor.

[wnvl1]

Hoe zou je de opgave via geometrische algebra oplossen? Kan AI dat?

Kan je misschien een specifiek moment aangeven in de film, want hij is best lang. Ik heb in elk geval geen weet van iets wat mij extra inzicht gaf.

[wnvl1]

Mwah, ik betwijfel of andere afleidingen meer inzicht geven.

Dat is dus ook het gevoel dat ik heb.

[flappelap]

Is dit een simpeler aanpak?



Hoe zou je de opgave via geometrische algebra oplossen? Kan AI dat?

Nee. En als je het voor ART wilt gebruiken, zul je hier niet zoveel aan hebben, gok ik.

[Professor Puntje]

Op internet lees ik er ook heel tegenstrijdige verhalen over. Sommige mensen zijn er lyrisch over en anderen vinden het oude wijn in nieuwe zakken oftewel niks bijzonders. Als test ben ik benieuwd hoe een oplossing van opgave 1.(a) er in geometrische algebra uit zou zien. Kan AI dat?

[Professor Puntje]

Dit zegt het AI-overzicht van Google:

Yes, geometric algebra simplifies calculations involving the cross product, particularly in higher dimensions and when dealing with rotations. In 3D, it provides a more elegant and unified approach than the traditional cross product, and its true power shines in higher dimensions where the cross product isn't even defined.
Here's why:

Unified framework:
Geometric algebra treats scalars, vectors, and higher-dimensional objects (like bivectors representing planes) as multivectors within a single system.
Geometric product:
The geometric product generalizes the dot and cross products. It allows for a single, consistent way to multiply vectors, unlike the separate dot and cross products in traditional vector algebra.
Bivectors and rotations:
In 3D, the cross product is often used to represent a rotation axis. However, the bivector in geometric algebra directly represents the plane of rotation, which is more natural and efficient for rotations in any dimension.
Higher dimensions:
The cross product is only defined for 3D vectors, while the geometric algebra approach extends naturally to higher dimensions.
Inversion:
The geometric product allows for vector division, which is crucial for many calculations involving rotations.

In essence, geometric algebra provides a more powerful and versatile tool for geometric computations than traditional vector algebra, especially when dealing with rotations and higher-dimensional spaces.

[Professor Puntje]

Gevonden:

Bron: https://peeterjoot.com/2016/09/29/geome ... -nutshell/

[Professor Puntje]

Het is verleidelijk om nu weer met de geometrische algebra verder te gaan, maar ik wil eerst het relativiteitsboek uit hebben. Daarna heb ik mijn handen weer vrij om iets anders aan te pakken.

[Professor Puntje]

Terug naar de opgaven:

[Professor Puntje]

2. Door het uitwerken van de producten en het omwisselen van de volgorde van de partiële afgeleiden vallen alle termen tegen elkaar weg.