Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[flappelap]

2. Door het uitwerken van de producten en het omwisselen van de volgorde van de partiële afgeleiden vallen alle termen tegen elkaar weg.

Ja, en dat zie je dus heel eenvoudig als je epsilonsymbolen gebruikt: je contraheert dan 2 antisymmetrische indices met 2 symmetrische indices, wat 0 oplevert.

[flappelap]

Het is verleidelijk om nu weer met de geometrische algebra verder te gaan, maar ik wil eerst het relativiteitsboek uit hebben. Daarna heb ik mijn handen weer vrij om iets anders aan te pakken.

Die GA laat je de relativiteitstheorie i.i.g. niet beter begrijpen.

[Professor Puntje]

Het is verleidelijk om nu weer met de geometrische algebra verder te gaan, maar ik wil eerst het relativiteitsboek uit hebben. Daarna heb ik mijn handen weer vrij om iets anders aan te pakken.

Die GA laat je de relativiteitstheorie i.i.g. niet beter begrijpen.

Dat denk ik ook niet, maar gegoochel met indices staat mij gigantisch tegen. Dat voelt als strafwerk. Die GA levert (als het goed is) een aansprekende geometrische interpretatie van de bewerkingen die je gaande je bewijs of afleiding uitvoert met de nodige Aha-erlebnissen onderweg. Voor mij is dit maar een hobby, dus het moet wel leuk blijven.

Ik wil in ieder geval één orthodox ART-boek helemaal begrijpen en dat is het boek waar ik nu mee bezig ben, dus voorlopig even geen GA.

[Professor Puntje]

3.

\( \nabla \times H = \frac{\partial}{\partial t} E \, + \, J \)

\( \nabla \bullet ( \nabla \times H) = \nabla \bullet (\frac{\partial}{\partial t} E \, + \, J) \)

\( 0 = \nabla \bullet \frac{\partial}{\partial t} E \, + \, \nabla \bullet J \)

\( 0 = \frac{\partial}{\partial t} ( \nabla \bullet E) \, + \, \nabla \bullet J \)

\( 0 = \frac{\partial}{\partial t} \rho \, + \, \nabla \bullet J \)

[Professor Puntje]

De laatste opgaven van hoofdstuk 1:

[flappelap]

Het is verleidelijk om nu weer met de geometrische algebra verder te gaan, maar ik wil eerst het relativiteitsboek uit hebben. Daarna heb ik mijn handen weer vrij om iets anders aan te pakken.

Die GA laat je de relativiteitstheorie i.i.g. niet beter begrijpen.

Dat denk ik ook niet, maar gegoochel met indices staat mij gigantisch tegen.

Ik snap nooit zo goed die fetish om alles coördinaatonafhankelijk te willen uitrekenen, maar goed, ik ben dan ook een natuurkundige en geen wiskundige. Zeker als dat "gegoochel" (zoveel wiskunde bevat een deel veredeld boekhouden) de zaak sterk vereenvoudigt. Waarom zou je een heel nieuw stuk wiskunde eigen willen maken voor zoiets simpels? En uiteindelijk komt het op hetzelfde neer.

[wnvl1]

Met AI:



$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

We kunnen deze identiteit herschrijven en analyseren met **geometrische algebra (GA)**, waarin vectoren, producten, en operatoren een meer verenigde algebraïsche structuur krijgen.

---

### 1. **Herinner het identiteitsdoel in vectoranalyse:**

De linkerkant bevat een dubbele rotatie (curl), en de rechterkant drukt dit uit in termen van divergentie en de Laplaciaan.

---

### 2. **Geometrische algebra: basisprincipes**

In 3D geometrische algebra (GA), gebruiken we:

* Het **geometrisch product** \(ab = a \cdot b + a \wedge b\), waar:

* \(a \cdot b\) is het scalair (binnen)product
* \(a \wedge b\) is het bivector (uitwendig) product

De nabla-operator \(\nabla\) werkt als een vector en kan dus ook betrokken worden in het geometrisch product.

---

### 3. **Rewriting in geometrische algebra**

We herschrijven de identiteit in termen van het geometrisch product.

De rotatie (curl) wordt in GA vaak geschreven als het uitwendig product van \(\nabla\) met \(\mathbf{A}\):

$$
\nabla \wedge \mathbf{A}
$$

en de dubbele rotatie:

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) \quad \text{wordt} \quad \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - (\nabla \wedge (\nabla \wedge \mathbf{A}))^\ast
$$

*(met \(\ast\) de duale operator, zie onder)*

Maar in GA is er een nuttiger equivalent via het **geometrisch product**:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

Dus we schrijven:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A})
$$

waarbij \(\nabla \mathbf{A}\) het **geometrisch product** is van \(\nabla\) en \(\mathbf{A}\):

$$
\nabla \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \wedge \mathbf{A}
$$

en dan:

$$
\nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \nabla \cdot (\nabla \wedge \mathbf{A}) = \nabla^2 \mathbf{A}
$$

omdat \(\nabla \cdot (\nabla \wedge \mathbf{A}) = 0\)

---

### 4. **Conclusie in geometrische algebra**

In GA wordt de identiteit:

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

uitgedrukt als:

$$
- (\nabla \wedge (\nabla \wedge \mathbf{A}))^\ast = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A})
$$

Of met het volledige geometrisch product:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}))
$$

Deze afleiding toont hoe GA een krachtig, compact alternatief biedt voor klassieke vectoranalyse, waarbij divergentie, rotatie en Laplaciaan allemaal voortkomen uit het ene product \(\nabla \mathbf{A}\).

[wnvl1]

Of je iets hebt aan deze AI uitwerking betwijfel ik.

[Professor Puntje]

Die GA laat je de relativiteitstheorie i.i.g. niet beter begrijpen.

Dat denk ik ook niet, maar gegoochel met indices staat mij gigantisch tegen.

Ik snap nooit zo goed die fetish om alles coördinaatonafhankelijk te willen uitrekenen, maar goed, ik ben dan ook een natuurkundige en geen wiskundige. Zeker als dat "gegoochel" (zoveel wiskunde bevat een deel veredeld boekhouden) de zaak sterk vereenvoudigt. Waarom zou je een heel nieuw stuk wiskunde eigen willen maken voor zoiets simpels? En uiteindelijk komt het op hetzelfde neer.

Er is niet veel aan te snappen. Ik beleef simpelweg geen plezier aan mechanisch rekenwerk. Dingen begrijpen vind ik wel leuk, en creatieve oplossingen zoeken ook. En werken met voorstelbare begrippen waarvan de eigenschappen en bijpassende rekenregels inzichtelijk zijn. Praktisch nut interesseert mij volstrekt niet, dat is iets voor technici. Het gaat mij puur om het intellectuele plezier. Recreatieve natuurkunde dus eigenlijk. Recreatieve wiskunde is nog wel een bekende tak van sport, maar over recreatieve natuurkunde hoor je weinig meer...

[Professor Puntje]

@wnvl1 Om die geometrische algebra te gebruiken moeten we ons er eerst in verdiepen. Ik ben daar wel voor gemotiveerd maar wil nu eerst doorzetten met het relativiteitsboek. Het is zonde om dat laatste nu weer te onderbreken.

[Professor Puntje]

Opgave 4. Nagerekend en ik kom op hetzelfde, maar niet interessant genoeg om te posten.

[Professor Puntje]

Opgave 5. lijkt me niet te kloppen.

[Professor Puntje]

6.(a) Heb ik nagerekend en dat klopt.

[flappelap]

Dat denk ik ook niet, maar gegoochel met indices staat mij gigantisch tegen.

Ik snap nooit zo goed die fetish om alles coördinaatonafhankelijk te willen uitrekenen, maar goed, ik ben dan ook een natuurkundige en geen wiskundige. Zeker als dat "gegoochel" (zoveel wiskunde bevat een deel veredeld boekhouden) de zaak sterk vereenvoudigt. Waarom zou je een heel nieuw stuk wiskunde eigen willen maken voor zoiets simpels? En uiteindelijk komt het op hetzelfde neer.

Er is niet veel aan te snappen. Ik beleef simpelweg geen plezier aan mechanisch rekenwerk. Dingen begrijpen vind ik wel leuk, en creatieve oplossingen zoeken ook. En werken met voorstelbare begrippen waarvan de eigenschappen en bijpassende rekenregels inzichtelijk zijn. Praktisch nut interesseert mij volstrekt niet, dat is iets voor technici. Het gaat mij puur om het intellectuele plezier. Recreatieve natuurkunde dus eigenlijk. Recreatieve wiskunde is nog wel een bekende tak van sport, maar over recreatieve natuurkunde hoor je weinig meer...

Ok, ik meende dat je primaire doel was om de algemene relativiteitstheorie beter te begrijpen.

[flappelap]

Met AI:



$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

We kunnen deze identiteit herschrijven en analyseren met **geometrische algebra (GA)**, waarin vectoren, producten, en operatoren een meer verenigde algebraïsche structuur krijgen.

---

### 1. **Herinner het identiteitsdoel in vectoranalyse:**

De linkerkant bevat een dubbele rotatie (curl), en de rechterkant drukt dit uit in termen van divergentie en de Laplaciaan.

---

### 2. **Geometrische algebra: basisprincipes**

In 3D geometrische algebra (GA), gebruiken we:

* Het **geometrisch product** \(ab = a \cdot b + a \wedge b\), waar:

* \(a \cdot b\) is het scalair (binnen)product
* \(a \wedge b\) is het bivector (uitwendig) product

De nabla-operator \(\nabla\) werkt als een vector en kan dus ook betrokken worden in het geometrisch product.

---

### 3. **Rewriting in geometrische algebra**

We herschrijven de identiteit in termen van het geometrisch product.

De rotatie (curl) wordt in GA vaak geschreven als het uitwendig product van \(\nabla\) met \(\mathbf{A}\):

$$
\nabla \wedge \mathbf{A}
$$

en de dubbele rotatie:

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) \quad \text{wordt} \quad \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - (\nabla \wedge (\nabla \wedge \mathbf{A}))^\ast
$$

*(met \(\ast\) de duale operator, zie onder)*

Maar in GA is er een nuttiger equivalent via het **geometrisch product**:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

Dus we schrijven:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A})
$$

waarbij \(\nabla \mathbf{A}\) het **geometrisch product** is van \(\nabla\) en \(\mathbf{A}\):

$$
\nabla \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \wedge \mathbf{A}
$$

en dan:

$$
\nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \nabla \cdot (\nabla \wedge \mathbf{A}) = \nabla^2 \mathbf{A}
$$

omdat \(\nabla \cdot (\nabla \wedge \mathbf{A}) = 0\)

---

### 4. **Conclusie in geometrische algebra**

In GA wordt de identiteit:

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

uitgedrukt als:

$$
- (\nabla \wedge (\nabla \wedge \mathbf{A}))^\ast = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot (\nabla \mathbf{A})
$$

Of met het volledige geometrisch product:

$$
\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot (\nabla \mathbf{A}))
$$

Deze afleiding toont hoe GA een krachtig, compact alternatief biedt voor klassieke vectoranalyse, waarbij divergentie, rotatie en Laplaciaan allemaal voortkomen uit het ene product \(\nabla \mathbf{A}\).

Ik zie hierin eigenlijk geen verschil met de gebruikelijke vectoranalyse-afleiding. Blijkbaar kun je in die geometrische algebra een betekenis geven aan de som van p-vormen met verschillende graden (dus b.v. de som van een scalair en een 1-vorm), maar wat er verder de grote voordelen van zijn ontgaat me nog.