Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[wnvl1]

Ik heb eens aan chatgpt gevraagd waar eigenvectoren gebuikt worden in de ART. Haar antwoord was;

In de algemene relativiteitstheorie spelen eigenvectoren een belangrijke rol bij het analyseren van de geometrie van ruimtetijd en de verdeling van materie en energie. Zo kun je bijvoorbeeld de energiemomentumtensor beschouwen als een lineaire transformatie. De eigenvectoren van deze tensor hebben vaak een directe fysieke betekenis: een tijdachtige eigenvector kan overeenkomen met de viervelociteit van een perfect fluïdum, terwijl ruimtelijke eigenvectoren de richtingen van hoofdspanningen of energieflux aangeven. Ook bij de Petrov-classificatie van de Weyl-tensor, die de vrije kromming en zwaartekrachtgolven beschrijft, worden eigenvectoren gebruikt. In dat geval gaat het om speciale nul-eigenvectoren, de zogenaamde principal null directions, die helpen om oplossingen zoals Schwarzschild of Kerr te identificeren. Verder spelen eigenvectoren een rol bij het vinden van karakteristieke richtingen in de ruimtetijd via de Ricci-tensor, bijvoorbeeld in anisotrope kosmologische modellen waar ze de hoofdrichtingen van expansie aangeven. Bij de analyse van zwaartekrachtgolven helpen de eigenvectoren van de ruimtelijke projectie van de golfamplitude om de transversale polarisaties vast te leggen. Tot slot komen ze voor in de geodetische deviatievergelijking, waar de eigenvectoren van de zogeheten Jacobi-operator aangeven in welke richtingen de grootste getijde-effecten optreden. Kortom, eigenvectoren zijn in de algemene relativiteitstheorie onmisbaar om de wiskundige structuren van de theorie te vertalen naar fysisch betekenisvolle richtingen en effecten in de ruimtetijd.

Dus volgens mij niet zo fundamenteel in eerste instantie.

[Professor Puntje]

Wat daar vermeld wordt vind ik toch niet gering. De focus van het boek is ook op de geometrie van de ruimtetijd, dus het zal verderop in het boek waarschijnlijk wel nuttig gebruikt worden...

[wnvl1]

Misschien leuk om eens te kijken naar toepassingen van eigenvectoren in ART. Maar ik zal dat in een ander topic doen.

[Professor Puntje]

Het rood onderstreepte deel van de opgave lukt mij niet. Iemand een tip?

[wnvl1]

Je kan voor

$$
M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]b&d\end{pmatrix}
$$

de karakteristieke veelterm uitrekenen en opleggen dat de discriminant nul is omdat je een dubbel nulpunt moet hebben. Dat legt een verband tussen de coëfficiënten.

Er zijn mooiere bewijzen, maar dat is het simpelste.

[Professor Puntje]

Ah - nu zie ik het, daaruit volgt: a=d en b=0.

Hoe zie je dat allemaal? Ervaring, AI, of nog iets anders?

[wnvl1]

De eenvoudige bewijsjes zoals de deze zie ik zo. AI lost quasi alles op, dus dat kan je ook altijd gebruiken.

Alternatief is trouwens dat je ervan gebruik maakt dat een symmetrische matrix diagonaliseerbaar, dus er bestaat een orthonormale basis van eigenvectoren. Als de twee eigenwaarden gelijk zijn: \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\), dan is de matrix \(M\) diagonaaliseerbaar naar

$$
D = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I
$$


$$
M = Q D Q^T = Q (\lambda I) Q^T = \lambda (Q Q^T) = \lambda I
$$

[Professor Puntje]

Op hoop van zegen dan maar de volgende opgaven:

[Professor Puntje]

5.

\( \mathrm{F} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Wegens de geometrische betekenis van de flip-matrix vermoed ik:

\( \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Eens zien:

\( \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = 1 \cdot \mathrm{X}_1 \)


\( \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)

\( \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = -1 \cdot \mathrm{X}_2 \)

[Professor Puntje]

6. Hebben we al bewezen.

[Professor Puntje]

7. Laat M een inverteerbare 2x2-matrix zijn met eigenvectoren X_i en bijbehorende eigenwaarden λ_i. En laat Y_j de eigenvectoren van M^-1 zijn en μ_j de bijbehorende eigenwaarden. Veronderstel verder nog dat de eigenwaarden μ_j ongelijk nul zijn. Dan hebben we:

\( \mathrm{M} \, \mathrm{M}^{-1} = \mathrm{I} \)

\( \mathrm{M} \, \mathrm{M}^{-1} \mathrm{Y}_j = \mathrm{I} \, \mathrm{Y}_j \)

\( \mathrm{M} \, \mu_j \mathrm{Y}_j = \mathrm{Y}_j \)

\( \mu_j \, \mathrm{M} \,\mathrm{Y}_j = \mathrm{Y}_j \)

\( \mathrm{M} \,\mathrm{Y}_j = \mu_j^{-1} \, \mathrm{Y}_j \)

Dus M en M^-1 hebben dezelfde eigenvectoren en de eigenwaarden van M zijn de omgekeerden van die van M^-1.

[Professor Puntje]

Ik vrees dat ik met dit boek nu toch weer op een dwaalspoor zit. Mooie wiskunde allemaal. Maar het lijkt wel of het boek een maximale omweg naar de Einsteinvergelijking kiest. En tensoren zijn nog niet eens langs gekomen. Dit is alweer de volgende lading opgaven:

Heb je dat echt nodig? Ik heb dat allemaal ook al in andere meer gespecialiseerde wiskundeboeken.

[wnvl1]

Nee, dat heeft niet speciaal iets met relativiteit te maken. Je kan dat overslagen.

[Professor Puntje]

Ik ga verder met onderstaande boek:

https://www.bol.com/nl/nl/f/a-first-cou ... /30196575/

Dat boek heb ik al, en dat lijkt mij efficiënter.

[wnvl1]

Dat boek heb ik ook. Is heel goed.