Tweelingen (paradox ?) bij circulaire beweging

[Regor]

Na mij wat verdiep te te hebben in de "tweelingen paradox" ... die er blijkbaar geen is....... vraag ik mij af als de mindere veroudering van persoon P2 gelijk is in beide gevallen A en B.
Blijkbaar is de mindere veroudering onafhankelijk van de gevolgde weg.
Is daar een algemene formule voor die dat bewijst ?

[WillemB]

Het bewijs is heel dichtbij, de atoom klokken in de GPS satellieten, hebben dat effect al.

[Regor]

@WillemB,

1. Welk bewijs ?
2. Bij de gps satellieten is de hoofdzaak van de mindere veroudering hoofdzakelijk te wijten aan het gravitatieveld van de aarde.
Ik heb dus helaas niet veel aan uw reactie.

[Nesciyolo]

Is daar een algemene formule voor die dat bewijst ?

Volgens de theorie is de tijdvertraging afhankelijk van de snelheid van P2 en niet van de richting. Dus of hij/zij in een cirkel beweegt of een rechte lijn maakt niet uit.

Een formule van de vertraging kan je vinden op https://nl.wikipedia.org/wiki/Tijddilatatie onder het kopje "Grootte van het effect"

[Regor]

@Nes,

Zo eenvoudig is het niet. denk ik.

1. U verwijst naar tijd - dilataie ...... maar niet naar het probleem van de tweelingen paradox.
2. Is de cirkelvormige baan wel mogelijk zonder gravitatie ?
3. Ik zie geen formule in uw link die "bewijst" dat de gevolgde weg .... geen rol speelt.

[Professor Puntje]

https://en.wikipedia.org/wiki/Time_dila ... hypothesis

[Nesciyolo]

2. Is de cirkelvormige baan wel mogelijk zonder gravitatie ?

Natuurlijk kan dat. Een bewijs? Stap op de fiets en rijd een rondje.
Je kan een gewicht aan een touwtje rondslingeren. Een tol draait. Allemaal cirkelvormige bewegingen die niet veroorzaakt worden door gravitatie.
Die satellieten die om de aarde draaien doen dat natuurlijk wel onder invloed van gravitatie.

[Regor]

@PP,
Dank U ,
Morgen lezen, lijkt / is interessant.

@Nes,

Beetje kort door de bocht hoor !.
De eenvoudige zaken die U schrijft zijn mij ook bekend hoor.
Het gaat erom om effen dieper na te denken over de TLP (TweeLingen Paradox).
Natuurlijk kan je op aarde en in de ruimte in een rondje draaien ....... maar niet zonder gravitatie - kracht of compensatie van de centrifugale kracht ....... wat je bij rechtlijnige bewegingen (idealiter) niet hebt.

Begrijpt U dan waarom ik de vraag stel als de vermindering van veroudering gelijk is in de situatie A dan in de situatie B ?
Als gravitatie ook meespeelt in de tijds dilatatie ...... spelen centripetale krachten dan ook mee in de tijd-dilatatie ...... met als gevolg een verschil van veroudering tussen situatie A en situatie B ?

[Nesciyolo]

1. U verwijst naar tijd - dilataie ...... maar niet naar het probleem van de tweelingen paradox.

De tweelingen paradox is een theoretisch voorbeeld dat gaat over tijddilatatie. Zonder tijddilatatie is er geen paradox. Er is nooit echt een tweeling geweest die dergelijke reizen ondernam. Het is allemaal verzonnen op basis van de theorie.

3. Ik zie geen formule in uw link die "bewijst" dat de gevolgde weg .... geen rol speelt.

Ik heb die formule niet gemaakt. De gevolgde weg staat er niet in. Als jij kan aantonen dat de gevolgde weg toch invloed heeft op de formule dan moet je dat maar eens uitleggen. Misschien is er tijddilatatie door andere oorzaken. Misschien ging de klok onderweg kapot. Misschien at een van hen te veel hamburgers. Heeft allemaal niets met de tweelingenparadox te maken omdat dat een verzonnen theoretisch geval is.

[Professor Puntje]

Ik heb die formule niet gemaakt. De gevolgde weg staat er niet in.

Welke formule? Let wel dat de beweging langs een cirkelbaan geen eenparig rechtlijnige beweging is...

[Nesciyolo]

Ik heb die formule niet gemaakt. De gevolgde weg staat er niet in.

Welke formule? Let wel dat de beweging langs een cirkelbaan geen eenparig rechtlijnige beweging is...

De formule van de Lorentz transformatie zoals op Wikipedia wordt genoemd op de pagina die ik linkte.
Wie zegt dat de beweging eenparig rechtlijnig moet zijn? Ook als een beweging niet eenparig rechtlijnig is, is er op ieder moment een snelheid en een daarmee corresponderende dilatatie.
Let even op dat de tweelingparadox niet gaat over klokken van satellieten. Dat zijn twee totaal verschillende gevallen. Die satellieten ondervinden allerlei invloeden waar de tweelingparadox als theoretisch voorbeeld helemaal niet over gaat. Zoals zwaartekracht, maar misschien nog heel andere dingen waar we met zijn allen nog helemaal niet aan gedacht hebben.

Wat betreft zwaartekracht moeten we trouwens in de gaten houden dat we op aarde ook door een zwaartekrachtveld bewegen. De zwaartekracht van de zon, van de maan, de planeten, van het melkwegstelsel en van alle materie in het heelal. Zwaartekracht is overal.
.

[Professor Puntje]

De lorentztransformatie geldt tussen inertiaalstelsels en inertiaalstelsels bewegen eenparig rechtlijnig ten opzichte van elkaar. Wil je ook iets kunnen zeggen over de eigentijd van een versneld bewegende klok zoals een klok die in een cirkelbaan beweegt dan heb je als extra postulaat de klokhypothese nodig.

Die tweelingen in de tweelingenparadox zijn er enkel maar bij gesleept om de paradox wat sprekender te maken. Het enige waar men werkelijk aan rekent zijn de standen van de klokken die de tweelingen met zich mee voeren.

[Regor]

Ok, beide situaties A en B in afwezigheid van massa / zwaartekracht.

[Nesciyolo]

De lorentztransformatie geldt tussen inertiaalstelsels en inertiaalstelsels bewegen eenparig rechtlijnig ten opzichte van elkaar. Wil je ook iets kunnen zeggen over de eigentijd van een versneld bewegende klok zoals een klok die in een cirkelbaan beweegt dan heb je als extra postulaat de klokhypothese nodig.

Wikipedia schrijft op de pagina over tijddilatatie:

Tijddilatatie kan berekend worden aan de hand van de grootte van de snelheid in de loop van de reizen. Versnellingen hebben geen apart effect. Voor een reis in een rechte lijn heen en in een rechte lijn terug geldt dus dezelfde tijddilatatie ten opzichte van de tijd op de thuisbasis als het beschrijven van cirkelbanen met dezelfde snelheidsgrootte.

Klopt dat niet?

Regor's P1 bevindt zich in één inertiaalstelsel op een vast punt.
P2 bevindt zich op elk moment in een inertiaalstelsel. Op elk verschillend moment beweegt P2 met een verschillend inertiaalstelsel totdat hij/zij zijn/haar rondje heeft gemaakt. We kunnen gaan differentiëren en bepalen welke invloed welk inertiaalstelsel op welk moment heeft, maar dat hoeft niet. Als P2 met constante snelheid beweegt dan is elk inertiaalstelsel equivalent in de zin dat ze allemaal met dezelfde eenparige snelheid bewegen ten opzichte van het inertiaalstelsel van P1. Alleen de richting verschilt. We kunnen dus gewoon doorrekenen met de snelheid die P2 heeft in welke richting ook.

Ik noemde de Lorentztransformatie omdat dezelfde Wikipedia-pagina zegt:

De tijddilatatie kan rechtstreeks worden afgeleid uit de formules voor de lorentztransformatie. Uit de lorentztransformatie volgt voor de relatie tussen de tijdsduur Δt′ die, volgens de waarnemer, door het bewegende object ervaren wordt en de tijdsduur Δt die de waarnemer ervaart:

[Gast]

Er is een algemene formule voor ja.
De formule voor (kinematische) tijddilatatie voor dit "SR paradox" (wat inderdaad niet echt een paradox is aangezien het allang opgelost is, maar dat geldt voor alle "SR paradoxen" op misschien het Erhenfest Paradox na), is niet voldoende.

Het zijn overigens wel prima oefeningen voor basis SRT.

Wat bij dit "paradox" van belang is, is het vergelijken van verschillende eigentijden van twee wereldlijnen (die mekaar twee maal kruisen anders kun je dit niet vergelijken). Oftewel twee invariante eigentijdintervallen tussen twee gebeurtenissen vergelijken, zie eventueel:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proper_time

Op de vraag of er voor P(ersoon)2 evenveel eigentijd verstrijkt tov P1, tussen het bij P1 "there en back again" reizen in situatie A en het langs P1 rondgeslingerd worden van P2 in situatie B is het antwoord: ja.

In beide gevallen geldt:

\(\tau = T \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

Met T de totale tijd in het inertiaalstelsel van P1.

Omdat in beide gevallen de afgelegde lengte \(2l\) is en de snelheid \(v\) gelijk is, geldt:

\(T = \frac{2L}{v}.\)

Dus in beide scenario’s:

\(\tau = \frac{2L}{v}\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.\)

De eigen­tijd van de reiziger is dus identiek in beide gevallen.

Het enige verschil is geometrisch (rechte baan met keerpunt versus cirkelbaan), maar zolang de snelheid overal gelijk is, maakt dat voor de eigen­tijd niet uit.

De algemene formule is trouwens:

\(\tau = \int \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} \, dt,\)

Bij GPS en in realistische scenario's speelt gravitationele tijddilatatie een rol, wat, als dat het paradox was, een stuk ingewikkelder zou maken.