Tweelingen (paradox ?) bij circulaire beweging

[wnvl1]

Ok, nu terug naar mijn vraag over kloksnelheid "X" en "Y", maar nu ietwat hypothetisch.
Klok "X" start op het aardoppervlak vanaf stand nul.
Klok "Y" start op hetzelfde ogenblik ( oei, probleem van gelijktijdigheid is daar weer) op een atoom in de gravitatieloze ruimte vanaf nul.
Op een bepaald ogenblik stopt men beide klokken, (gelijktijdig !!!) en brengt ze bij elkaar.
Wat is de verhouding van de verlopen tijd van beide klokken X /Y .

Ja, je gaat in je vraagstelling die gelijktijdigheid beter moeten definiëren. Kan je dat eerst eens proberen?

[Regor]

@wnvl1,

I try:
Niet roterende aarde.
Ik plaats een lichtbron halverwege de afstand tussen de twee klokken.
De klokken hebben een licht sensor die ze laat starten of stoppen.
De lichtbron wordt geactiveerd vanop een willekeurige plaats.

[wnvl1]

Ik veronderstel dat dat op hetzelfde neerkomt als Einstein synchronisatie?

---

Twee waarnemers, \(A\) en \(B\), staan stil ten opzichte van elkaar in een gegeven referentiestelsel. Ze willen hun klokken gelijkzetten.

1. \(A\) stuurt op zijn klok-tijd \(t_1\) een lichtsignaal naar \(B\).
2. \(B\) ontvangt dit signaal, noteert zijn ontvangsttijd (maar hoeft zijn klok nog niet bij te stellen), en stuurt onmiddellijk een reflectie of een eigen signaal terug naar \(A\).
3. \(A\) ontvangt dit terug op zijn klok-tijd \(t_3\).
4. \(A\) berekent dan het “synchrone” moment van ontvangst bij \(B\) als:

$$
t_B = \frac{t_1 + t_3}{2}.
$$

Met andere woorden: \(A\) neemt aan dat het licht er net zo lang over deed van \(A\) naar \(B\) als terug, dus dat het signaal halverwege in de tijd bij \(B\) was. Op dat tijdstip stelt \(B\) zijn klok gelijk.

[Professor Puntje]

Gaat het hier wel over klokken die stil staan ten opzichte van elkaar?

[wnvl1]

Ik veronderstel dat de hele situatie stationair is. Dus twee statische waarnemers op vaste radii en hoeken in de Schwarzschild-ruimte-tijd. Maar dat is aan regor om te specificeren.

[Professor Puntje]

Afgezien van het al dan niet bewegen van de waarnemers is het ook maar de vraag of de speciaal-relativistische synchronisatie van klokken binnen de Schwarzschild-metriek nog wel opgaat.

[wnvl1]

De berekening voor de verhouding van het tijdsverloop van de klokken zoals die uit chat komt, heb ik hieronder even geplakt. Die berekening snap ik uiteraard wel. Maar hoe je zoiets moet interpreteren als beide waarnemers niet samenkomen / samen vertrekken is mij eigenlijk ook niet helemaal duidelijk.



------------------------------------------------------------------------------------------

## 1. Schwarzschild-metriek (stationaire waarnemers)

De Schwarzschild-metriek in coördinaten \((t,r,\theta,\phi)\) is:

$$
ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2
$$

Voor een **stationaire waarnemer** (\(dr=d\theta=d\phi=0\)) geldt:

$$
ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)c^2 dt^2 = -c^2 d\tau^2
$$

Hieruit volgt de relatie tussen **eigen tijd** \(d\tau\) en **coördinaattijd** \(dt\):

$$
d\tau = \sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}} \, dt
$$

---

## 2. Vergelijking van twee waarnemers op \(r_1\) en \(r_2\)

Voor een waarnemer op radius \(r_1\):

$$
d\tau_1 = \sqrt{1-\frac{2GM}{r_1c^2}} \, dt
$$

Voor een waarnemer op radius \(r_2\):

$$
d\tau_2 = \sqrt{1-\frac{2GM}{r_2c^2}} \, dt
$$

De **verhouding van hun kloksnelheden** wordt:

$$
\frac{d\tau_1}{d\tau_2} = \frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{r_1c^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r_2c^2}}}
$$

**Interpretatie:** Als \(r_1 < r_2\) (dichter bij het massamiddelpunt), dan geldt \(d\tau_1/d\tau_2 < 1\). Dat betekent dat de klok dichter bij het massamiddelpunt **langzamer tikt** ten opzichte van de buitenste klok.

[Regor]

@wnvl1,

Ik begrijp niet dat het een antwoord was / is op mijn vraag.
Want de plaats van de klok "X" is op het oppervlak van de niet roterende aarde.
De klok "Y" is op verre afstand (theoretisch willekeurig) op een gravitatieloze plaats.
De klokken worden in gang gezet door een lichtimpuls zoals eerder beschreven, en ook stopgezet.
Men brengt de stilgevallen klokken naar een willekeurige plaats waar een waarnemer / vaststeller vaststelt hoe ver de klokken "gedraaid" hebben.

Noemt de draaing van de klok "x" gewoon "X" en die van "Y" gewoon Y"
Welke is de verhouding van X/ Y ?

[Professor Puntje]

Ik plaats een lichtbron halverwege de afstand tussen de twee klokken.

Hoe bepaal je binnen de gekromde ruimtetijd wat halverwege is?

[Gast]

Die 2 filmpje had ik ooit al bekeken jaren terug, maar wist dat niet meer. 2e filmpje geeft inderdaad de basis voor versnelling en tijdsdilatatie. alleen nu nog hoe dat om te zetten naar een berekening voor mijn voorbeeld met stilstaande waarnemer en 2 centrifuges en het originele starter bericht van regor.

Nee, zo werkt dat niet. Het is een populair wetenschappelijk filmpje over het equivalentieprincipe, wat eerlijk gezegd de 'Clock Hypothesis' eigenlijk wat lijkt tegen te spreken, tenminste ik me voorstellen dat dit zo lijkt. En dat zegt juist immers, in essentie, dat er geen verband is tussen versnelling en tijddilatatie, dat versnelling niet zorgt voor tijddilatatie.

Vollediger is; het 'clock postulate' zegt: de eigentijd van een wereldlijn is de integraal

\(\tau = \int \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\, dt,\)

dus bepaald door de lengte van de wereldlijn in de Minkowski-ruimte. Of er onderweg versnelling optreedt, doet niets af aan die formule. Het kan de vorm van de wereldlijn veranderen, maar niet de manier waarop je de eigentijd berekent.

En daarmee volgt dus dat versnelling zelf geen tijddilatatie veroorzaakt, alleen het pad (de wereldlijn) dat door snelheid wordt bepaald.


Dus kun je daarmee nooit naar een berekening over eigentijd van wereldlijnen oid toewerken.



Verder, excuse me, maar probeer ik even te volgen waar het nu heen gaat in dit topic, wat kennelijk begon met:

Stel de klok op het aard oppervlak tikt als "X" .........de klok in de gravitatieloze ruimte tikt als "Y" ?
1. Wat is de relatie tussen "X" en "Y" ?
2. Is de waarde "Y" dan een soort kosmologische tijdverloop - constante ?

1. Gravitationele tijddilatatie.

2. Nou, nee. Het is simpelweg eigentijd. Als je een soort universele tijdsverloop of klok zou moten kiezen, zou je kunnen zeggen cosmic time/comoving time. Zoals eerder gezegd. Het dient als een universele tijdsparameter voor de geschiedenis van het heelal, waardoor consistente berekeningen van gebeurtenissen zoals de oerknal, baryogenese en nucleosynthese mogelijk zijn.

Dit is wat het dichtst in de buurt komt van een klok in een vlakke ruimtetijd of met de universele jlok uit Newtons tijd.

Dark energie veroorzaakt blijkbaar de toename van de ruimte ......waarom gebeurt de toename van de ruimte niet door de waarde van "Y" ?

Bij de uitdijing van het heelal is er enkel sprake van kromming mbt ruimtelijke componenten. De waarde van "Y" wordt dus bepaald door een lokaal zwaartekrachtsveld, niet de kromming, uitdijing, van het gehele heelal. Met donkere energie of niet.

(Al is er wel sprake van gravitationele tijddilatatie en daardoor bijvoorbeeld kosmologische roodverschuiving, zoals o.a. uitgelegd wordt in Weinberg, S. (1972) Gravitation and Cosmology, Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Maar meestal wordt dit zo niet behandeld, is niet conventioneel.)


Uhrr. (Reading.)

Nou ja, iig als twee wereldlijnen geen gemeenschappelijke gebeurtenissen hebben, is er geen objectief moment om hun klokken “naast elkaar te leggen”.

Eigentijd is altijd lokaal: een klok tikt gewoon zijn eigen seconden langs zijn eigen wereldlijn.

(Coördinatietijd daarentegen is een gekozen tijdsparameter in een specifiek referentiestelsel die het mogelijk maakt gebeurtenissen op afstand te vergelijken. Als twee klokken geen gezamenlijke gebeurtenissen hebben, is een vergelijking van hun eigentijd via coördinatietijd arbitrair, het resultaat hangt volledig af van welk coördinatenstelsel je kiest. Het verschil is dus niet fysiek, maar conventioneel.)

Pas wanneer je twee klokken samenkomen (zoals bij het tweelingsparadox) kun je de totale eigentijd vergelijken.


Je kunt alleen via een gekozen coördinatenstelsel een soort fictieve vergelijking maken, maar dat is conventie, geen fysisch verschil.

En dus is er idd ook geen natuurlijke manier om een “halverwege”-moment in tijd van een Schwartzschild-ruimte te definiëren.


Oftewel, op de vraag ‘wat is X/Y (als ze op afstand starten en stoppen)?’ is zonder extra conventie of samenkomst geen objectief antwoord mogelijk; PP’s opmerking over ‘halverwege bepalen’ illustreert precies waarom: in gekromde ruimtetijd is een halverwege-locatie geen fysiek invariant begrip.

[HansH]

Nee, zo werkt dat niet. Het is een populair wetenschappelijk filmpje over het equivalentieprincipe, wat eerlijk gezegd de 'Clock Hypothesis' eigenlijk wat lijkt tegen te spreken, tenminste ik me voorstellen dat dit zo lijkt. En dat zegt juist immers, in essentie, dat er geen verband is tussen versnelling en tijddilatatie, dat versnelling niet zorgt voor tijddilatatie.

Vollediger is; het 'clock postulate' zegt: de eigentijd van een wereldlijn is de integraal

\(\tau = \int \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\, dt,\)

dus bepaald door de lengte van de wereldlijn in de Minkowski-ruimte. Of er onderweg versnelling optreedt, doet niets af aan die formule. Het kan de vorm van de wereldlijn veranderen, maar niet de manier waarop je de eigentijd berekent.

Nou ja, iig als twee wereldlijnen geen gemeenschappelijke gebeurtenissen hebben, is er geen objectief moment om hun klokken “naast elkaar te leggen”.

Eigentijd is altijd lokaal: een klok tikt gewoon zijn eigen seconden langs zijn eigen wereldlijn.

(Coördinatietijd daarentegen is een gekozen tijdsparameter in een specifiek referentiestelsel die het mogelijk maakt gebeurtenissen op afstand te vergelijken. Als twee klokken geen gezamenlijke gebeurtenissen hebben, is een vergelijking van hun eigentijd via coördinatietijd arbitrair, het resultaat hangt volledig af van welk coördinatenstelsel je kiest. Het verschil is dus niet fysiek, maar conventioneel.)

Pas wanneer je twee klokken samenkomen (zoals bij het tweelingsparadox) kun je de totale eigentijd vergelijken.


Je kunt alleen via een gekozen coördinatenstelsel een soort fictieve vergelijking maken, maar dat is conventie, geen fysisch verschil.

En dus is er idd ook geen natuurlijke manier om een “halverwege”-moment in tijd van een Schwartzschild-ruimte te definiëren.


Oftewel, op de vraag ‘wat is X/Y (als ze op afstand starten en stoppen)?’ is zonder extra conventie of samenkomst geen objectief antwoord mogelijk; PP’s opmerking over ‘halverwege bepalen’ illustreert precies waarom: in gekromde ruimtetijd is een halverwege-locatie geen fysiek invariant begrip.

ik denk dat ik toch maar een eigen topic hierover ga openen, want er loopt nu zoveel door elkaar aan verschillende zaken dat het te veel leeswerk wordt om dat allemaal uit elkaar te houden.

[HansH]

dit bericht was om de een of andere reden dubbel gepost, maar kan ik zelf niet weggooien

[Regor]

@wnvl1,

Dank U,
Uw eindformule is goed begrijpbaar.
Ik neem dus aan dat U uitgaat van het oneindig groot gravitatieveld (hoe zwak uiteindelijk ook) van de niet roterende aarde,
waarbij U de kloksnelheid vergelijkt op de plaats van "X" en van "Y" ........ in feite nog altijd in het gravitatieveld,
de ene op afstand r1, de andere op afstand r2.
Klopt dat ?
Gevolg is dat er praktisch (misschien wel theoretisch) geen plaats in het universum is zonder gravitatie (hoe klein ook) ..... zelfs als er maar één massa zou zijn zoals in mijn vraag.
DUS is mijn vraag niet op te lossen ...... omdat de plaats van klok "Y " nooit gravitatieloos kan zijn.
Klopt dat ?

[Regor]

@PP,

U schrijft:

"Hoe bepaal je binnen de gekromde ruimtetijd wat halverwege is ?"
Dat ik het verdorie niet weet !
Misschien dat het in mijn hypothetische situatie wel kan ....... zie mijn antwoord aan 2up1down.

[Regor]

@2up1down,

Dank U,
Hierbij nog even herinneren dat het om een vraag ging / gaat van een "hypothetische" situatie ... wat ik denk, nog altijd kan / mag.
Ik stelde één (1) massa, de niet draaiende aarde .... en niet de werkelijke situatie in het universum.
DUS :
De afstand (geodeet) tussen de twee klokken is een rechte lijn ...... denk ik...... dus kan de halve afstand bepaald worden.
Als het geen rechte lijn is, is de lengte wellicht berekenbaar ...... en dus ook de halve lengte.
(En als ook dat niet zou kunnen ....... dan kan men volgens de ART nooit " een halve lengte" bepalen / berekenen ... klopt dat ?)

Verder starten en stoppen de klokken gelijktijdig door het reeds verduidelijkte systeem.
Eénmaal dat ze stilstaan..... mag men ze naar een willekeurig punt brengen, waar en bij wie dan ook om ze te vergelijken.
(Deze verplaatsing verandert de "wijzerstand" van de klokken niet meer).

Wat mij bedoeling was was om via de kloksnelheid op een massa ....... de kloksnelheid te kunnen bepalen / berekenen op een oneindige afstand waar de gravitatie nagenoeg nul is.
Deze kloksnelheid "Y" dacht ik dan te mogen beschouwen als een universele kloksnelheid in elk gravitatieloze plaats in het universum ...... wat blijkbaar niet bestaat (zie mijn post aan wnvl1).
(Hopelijk zitten er niet te veel ongerijmdheden in mijn post).