Vragen over 'A First Course in General Relativity' van Bernard Schutz

[Professor Puntje]

Ik ga het hier eens mee proberen (komt uit het boek zelf):

hiermee 539 keer bekeken

En hier nog weer even het vraagstuk:

[Professor Puntje]

19.(a) Laat een frame \( \overline{O} \) met een constante viersnelheid \( \vec{U} \) ten opzichte van een frame \( O \) bewegen waarbij de oorsprongen van \( \overline{O} \) en \( O \) op de tijdstippen \( t = \overline{t} = 0 \) samenvallen. Neem verder aan dat het lichaam L zich bij het samenvallen van de oorsprongen van \( \overline{O} \) en \( O \) in die oorsprongen bevindt en over de x-assen van \( \overline{O} \) en \( O \) beweegt en dat \( \overline{O} \) op dat moment een MCRF voor het lichaam L is. Dan hebben we:

\( \vec{U} \, \xrightarrow{\overline{O}} \, (1,0,0,0)^T \)

Zodat vanuit \( \overline{O} \) bezien:

\( \vec{U} \cdot \vec{a} = (1,0,0,0)^T \cdot (a^{\overline{0}},a^{\overline{1}},a^{\overline{2}},a^{\overline{3}})^T \)

\( \vec{U} \cdot \vec{a} = - a^{\overline{0}} \)

Dus moet: \( a^{\overline{0}} = 0 \). Bijgevolg hebben we:

\( \vec{a} \, \xrightarrow{\overline{O}} \, (0,a^{\overline{1}},a^{\overline{2}},a^{\overline{3}})^T \)

Voor beweging van frame \( \overline{O} \) en lichaam L langs de x-as van \( O \) hebben we \( a^{\overline{2}} = 0 \) en \( a^{\overline{3}} = 0 \), dus:

\( \vec{a} \, \xrightarrow{\overline{O}} \, (0,a^{\overline{1}},0,0)^T \)

Zodat: \( ( \vec{a} )^2 = (a^{\overline{1}})^2 \) en dus:

\( \vec{a} \, \xrightarrow{\overline{O}} \, (0,\alpha,0,0)^T \)

Verder is de tijd \( \overline{t} \) in frame \( \overline{O} \) momentaan de eigentijd van het lichaam L dus komt \( \alpha \) overeen met de pre-relativistische klassieke versnelling van L.

[Professor Puntje]

19.(b) Laat een lichaam L met constante vier-versnelling \( \vec{a} \) in positieve richting langs de x-as van een inertiaalframe \( O \) bewegen. We nemen verder aan dat L op tijdstip \( t_0 = 0 \) en eigentijd \( \tau_0 = 0 \) vanuit rust uit de oorsprong van frame \( O \) vertrekt. Voor ieder tijdstip \( t \geq 0 \) en bijbehorende eigentijd \( \tau \geq 0 \) is er dan een MCRF \( \overline{O} \) met snelheid \( v \) ten opzichte van frame \( O \) waarin L momentaan stilstaat.

Op de eigentijd \( \tau \) en bijbehorende tijd \( t \) heeft L in het frame \( \overline{O} \) dus de rapidity \( 0 \). Even later op eigentijd \( \tau + \mathrm{d} \tau \) en bijbehorende tijd \( t + \mathrm{d} t \) heeft L in frame \( \overline{O} \) de rapidity \( \mathrm{d} W \) met: \( \mathrm{d} W = \mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) \).

Laat \( V \) de rapidity van L als bezien vanuit frame \( O \) zijn. Op de eigentijd \( \tau \) en bijbehorende tijd \( t \) heeft L een snelheid \( v \) ten opzichte van frame \( O \) dus dan hebben we voor de rapidity \( V = \mbox{artanh}(\frac{v}{c}) \). Even later op eigentijd \( \tau + \mathrm{d} \tau \) en bijbehorende tijd \( t + \mathrm{d} t \) geldt voor de rapidity \( V + \mathrm{d} V \) van L ten opzichte van \( O \) dat:

\( V + \mathrm{d} V = V + \mathrm{d} W \)

\( \mathrm{d} V = \mathrm{d} W \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{\mathrm{d} W }{ \mathrm{d} \tau } \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{\mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) }{ \mathrm{d} \tau } \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{ \alpha}{c} \frac{\mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) }{ \frac{\alpha \mathrm{d} \tau }{ c }} \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{ \alpha}{c} \)

\( \gamma \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} t} = \frac{ \alpha}{c} \)


Klopt het tot zover nog?

[wnvl1]

Ik kan het niet zo goed volgen eigenlijk. Die (b) oefening komt er eigenlijk op neer dat je de basisformules voor Rindler-beweging af te leiden of gewoon te gebruiken afhankelijk van hoe ver je wil gaan. De formules staan op zich staan op wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates

[Professor Puntje]

Ik denk dat je ze moet afleiden, want in het boek zijn ze niet gegeven. Er zitten inmiddels opgaven tussen waar ik dagen mee bezig ben en die duidelijk uitgaan boven de reeds in het boek behandelde stof...

Dit schrijft de auteur over de opgaven:

[wnvl1]

Deze oefening kan je ook perfect in AI stoppen en passief begrijpen. Ik snap wel dat om te kunnen stellen dat je het goed beheerst dat je zelfstandig zo'n oefening moet kunnen oplossen van een wit blad papier, maar dan geraak je maar heel langzaam tot het einde van het boek. Zelf heb ik ongeveer heel Schutz gelezen zonder oefening te maken. Rindler speelt in de rest van het boek niet zo veel rol als ik mij goed herinner.

[Professor Puntje]

19.(b) Laat een lichaam L met constante vier-versnelling \( \vec{a} \) in positieve richting langs de x-as van een inertiaalframe \( O \) bewegen. We nemen verder aan dat L op tijdstip \( t_0 = 0 \) en eigentijd \( \tau_0 = 0 \) vanuit rust uit de oorsprong van frame \( O \) vertrekt. Voor ieder tijdstip \( t \geq 0 \) en bijbehorende eigentijd \( \tau \geq 0 \) is er dan een MCRF \( \overline{O} \) met snelheid \( v \) ten opzichte van frame \( O \) waarin L momentaan stilstaat.

Op de eigentijd \( \tau \) en bijbehorende tijd \( t \) heeft L in het frame \( \overline{O} \) dus de rapidity \( 0 \). Even later op eigentijd \( \tau + \mathrm{d} \tau \) en bijbehorende tijd \( t + \mathrm{d} t \) heeft L in frame \( \overline{O} \) de rapidity \( \mathrm{d} W \) met: \( \mathrm{d} W = \mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) \).

Laat \( V \) de rapidity van L als bezien vanuit frame \( O \) zijn. Op de eigentijd \( \tau \) en bijbehorende tijd \( t \) heeft L een snelheid \( v \) ten opzichte van frame \( O \) dus dan hebben we voor de rapidity \( V = \mbox{artanh}(\frac{v}{c}) \). Even later op eigentijd \( \tau + \mathrm{d} \tau \) en bijbehorende tijd \( t + \mathrm{d} t \) geldt voor de rapidity \( V + \mathrm{d} V \) van L ten opzichte van \( O \) dat:

\( V + \mathrm{d} V = V + \mathrm{d} W \)

\( \mathrm{d} V = \mathrm{d} W \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{\mathrm{d} W }{ \mathrm{d} \tau } \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{\mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) }{ \mathrm{d} \tau } \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{ \alpha}{c} \frac{\mbox{artanh}( \frac{ \alpha \mathrm{d} \tau }{ c } ) }{ \frac{\alpha \mathrm{d} \tau }{ c }} \)

\( \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} \tau } = \frac{ \alpha}{c} \)

\( \gamma \frac{\mathrm{d} V}{ \mathrm{d} t} = \frac{ \alpha}{c} \)

Verder maar weer:

\( \gamma \frac{\mathrm{d} \, \mbox{artanh}(\frac{v}{c}) }{ \mathrm{d} t} = \frac{ \alpha}{c} \)

\( \gamma \frac{1}{1 - ( \frac{v}{c})^2} \frac{1}{c} \, \frac{\mathrm{d} v }{ \mathrm{d} t} = \frac{ \alpha}{c} \)

\( \gamma^3 \frac{1}{c} \, \frac{\mathrm{d} v }{ \mathrm{d} t} = \frac{ \alpha}{c} \)

\( \gamma^3 \, \frac{\mathrm{d} v }{ \mathrm{d} t} = \alpha \)

\( \gamma^3 \, \mathrm{d} v = \alpha \, \mathrm{d} t \)

\( \int_{v_0}^{v_1} \gamma^3 \, \mathrm{d} v = \int_{t_0}^{t_1} \alpha \, \mathrm{d} t \)

\( [v \cdot \gamma ]_{v_0}^{v_1} = [ \alpha t ]_{t_0}^{t_1} \)

\( v_1 \cdot \gamma_1 - v_0 \cdot \gamma_0 = \alpha t_1 - \alpha t_0 \)

\( v \cdot \gamma - 0 \cdot 1 = \alpha \cdot t - \alpha \cdot 0 \)

\( v \cdot \gamma = \alpha \cdot t \)


Later verder...

[Gast]

Even tussendoor, maar zou iets als dit:

https://www.vaia.com/en-us/explanations ... elativity/

niet veel beter zijn voor je zelfstudie mbt de ART? En de benodigde wiskunde e.d. al weet ik niet hoe diep dit gaat, maar vast voldoende voor bijvoorbeeld tensoren, differentiaalmeetkunde e.d.

Het lijkt mij veel beter voor eigen notities en oefeningen met feedback (Al welliswaar maar toch. Nu enkel van wnvl1 waar hij kan, wat natuurlijk heel mooi en aardig is van hem. Dat valt natuurlijk niet mee (als soort van persoonlijke docent fungeren), met eigen werk en vanalles en zeker niet als je hetzelfde boek niet hebt. En, tja, het blijft een zelfstudie met nu weer dit boek.
En het is betaalbaar.

Een echte online studie met docenten ipv AI feedback zou natuurlijk nog beter zijn, maar ook duur.

Iig zou je het eens kunnen proberen dacht ik, er staat een free trial bij, dus waarom niet?

[Professor Puntje]

Ik twijfel nog wat te doen. Ik was van plan er een half jaar maximaal voor uit te trekken om een basiskennis van de ART te verwerven, maar het boek van Schutz met een overkill aan oefeningen waarvan er sommige ook nog eens ver voorbij de stof gaan die in het boek zelf behandeld wordt gaat véél langer duren, meerdere jaren vermoedelijk. Dat ga ik zo goed als zeker niet volhouden...

Wat je link inhoudt kan ik niet inzien zonder me al in te schrijven, wat ik liever niet doe.

Er bestaat zoals ik gisteren ontdekte nog wel een hulp-boek voor bij Schutz: https://www.bol.com/nl/nl/f/a-student-s ... 058933150/ Maar daar worden weer niet alle opgaven in behandeld.

[Professor Puntje]

Wat ik eigenlijk zoek is een boek dat en diepgaand is, en beknopt, en dat afsluit met een grondige behandeling van de Einstein-vergelijking in fysische en wiskundige zin. En dat alles liefst in zo rond de tweehonderd bladzijden. Niets meer en niets minder.

[wnvl1]

Je kan de hoofdstukken over gravitatie golven en cosmologie in Schutz overslaan. Dan kom je dichter in de buurt van 200blz. Ikzelf heb vroeger Schutz, Ryder en General Relativity Demystified in parallel gelezen. Dat is een techniek die ik nu ook toepas voor QFT, daarvoor heb ik ook meerdere boeken die ik in parallel lees.

Daarnaast is al die oefeningen maken m.i. niet nodig in eerste instantie. Probeer gewoon de tekst te snappen. Die oefeningen over Rindler oplossen vanaf een wit blad papier, is niet nodig om de rest van het boek te snappen. Of je kan ook een aantal van die oefeningen in chatgpt stoppen en passief begrijpen. Als je te veel tijd stopt in die oefeningen geraak je er nooit.

[Gast]

Inderdaad niet elk klein detail per se willen begrijpen en alle oefeningen zijn echt niet nodig.

Weet je, net als bij opleidingen waarna je een bepaalde functie kiest om op te solliciteren, pas dan leer je het echt. Want je krijgt ervaring.

Zo'n vergelijking, vind ik, kun je hier ook trekken.

Er is geen mens die in alles van Gravitation MWT thuis is.