Densiteitsoperatoren

[wnvl1]

Ik blijf het lastig vinden om densiteitsoperatoren te begrijpen. Waarvan is \(\lvert m\rangle\) hier eigenlijk een basis?

https://web.pa.msu.edu/people/mmoore/Le ... erator.pdf

[flappelap]

Van je Hilbertruimte, lijkt me. Wat anders?

[wnvl1]

Probleem is wat is in deze afleiding het verschil in rol tussen die \(\lvert m\rangle\) en die \(\lvert a_n\rangle\).
Is die \(\lvert a_n\rangle\) dan ook al geen basis?

[flappelap]

Zoals ik het lees op blz 4 zijn die |a_n> de eigenvectoren van de operator A. Ze worden verondersteld volledig te zijn, dus ja, ze vormen ook een basis voor je Hilbertruimte. De |m> zijn dan een algemene basis volgens mij.

Maar ik twijfel nu ook. Zal er morgen even beter naar kijken, vind het zelf ook niet helemaal duidelijk.

[wnvl1]

Zoals ik het lees op blz 4 zijn die |a_n> de eigenvectoren van de operator A. Ze worden verondersteld volledig te zijn, dus ja, ze vormen ook een basis voor je Hilbertruimte. De |m> zijn dan een algemene basis volgens mij.

Dat zal wel juist zijn wat je hier schrijft. Je zou het bewijs ook kunnen formuleren, denk ik, door ipv met die |m> te vermenigvuldigen met |a_i> waarbij je dan die i over alle eigenvectoren laat lopen. Dat is ook een volledige basis.

Die dichtheidsoperatoren vind ik echt lastig. Ik heb het al meerdere keren bestudeerd, maar telkens als ik er een paar maanden niet naar kijk, verlies ik weer helemaal de feeling ervoor.

[wnvl1]

Je kunt het spoor van een operator altijd berekenen door hem te “projecteren” op een orthonormale basis van willekeurige eigenvectoren, niet per se de eigenvectoren van de operator zelf. Ja, dan is het duidelijk.