Gast schreef: ↑zo 14 sep 2025, 05:49
Dit lijkt mij het meest eenvoudige. Zeker om HansH zijn (oorspronkelijke) vraag over hoe het te berekenen vanuit een roterend (versnellend) frame te berekenen en niet vanuit één of een reeks Lorentz boosts, zoals via Thomas-precessie. Wat in het bericht van 13 sep 2025, 11:14 ook aangehaald wordt (wat niets te makenheeft met "oneindige grote versnellingen", maar goed).
De formules voor numerieke berekeningen, inclusief het benodigde Sagnac-effect in het roterende frame van p1 (of p2) zijn als volgt.
Hoeksnelheid:
\(\omega=\frac{v}{r}\)
Tijdsperiode voor 1 baan in het frame van p1:
\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
Eigentijd voor p_1 (stationair in roterend frame):
\(\tau_1=T (\times 100)\)
Eigentijd voor
\(p_2\) (bewegend ten opzichte van het roterende frame) met behulp van de "rotating frame metric":
\(ds^2 = -\left(1 - \frac{\omega^2 r^2}{c^2}\right) c^2 dt^2 + 2\omega r^2 d\phi dt + dr^2 + r^2 d\phi^2 + dz^2\)
(Je kunt de vlakke Minkowski-metriek (ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²) transformeren naar een roterend frame. Dit houdt in dat je de coördinaten aanpast aan de rotatie, wat resulteert in een nieuwe metriek die iets complexer is [1] [2].)
Met
\(\frac{d\phi}{dt}=\) relatieve hoeksnelheid van
\(p_2\),
Voor het berekenen van de eigentijd interval:
\(\tau_{p2} = \int \sqrt{ - \frac{ds^2}{c^2} } = \int \sqrt{\left(1 - \frac{\omega^2 r^2}{c^2}\right) dt^2 - 2 \frac{\omega r^2}{c^2} d\phi dt - \frac{r^2}{c^2} d\phi^2}\)
Integreer
\(d\tau_{p2}\) over de totale tijd
\(T (\times 100)\)
Vooral om het voor mezelf nog eens na te gaan en af te ronden (leuke uitdaging wel), en wie weet heeft iemand er ooit nog wat aan, al acht ik die kans .. nihil.
Ik gebruikte hier dus feitelijk Born-coördinaten. Maar dat betekent dat je de tijd niet zomaar in één keer kunt integreren over 100 omwentelingen en dus die allerlaatste stap niet @2up1down!
Want het coördinatensysteem is lokaal geldig met beperking
\(-\pi < \varphi < \pi\), dus slechts een beperkt gedeelte van de wereldlijn van p2 kan worden bestreken door Born-coördinaten waarin p1 in rust is.
Dat is een coördinaten issue, geen fysisch probleem.
Wat wél kan, is de formule voor de tijdratio tussen
\(\tau p_1\) en
\(\tau p_2\) gebruiken. Die geeft de juiste verhouding tussen eigentijden van de inertiale waarnemer en de roterende waarnemers.
De juiste manier is in
\(p_1\)’s Born chart de lokale verhoudingen
\(d\tau/dt\) te gebruiken ten opzichte van de coordinaattijd
\(t\):
\(\frac{d\tau_{1}}{dt}=\sqrt{1-\frac{\omega^2 r_1^2}{c^2}},
\qquad
\frac{d\tau_{2}}{dt}=\sqrt{1-\frac{(\omega+\tfrac{d\phi}{dt})^2 r_2^2}{c^2}}.\)
Daaruit volgt de constante tijdratio tussen de eigentijden van p1 en p2
\(\frac{d\tau_{2}}{d\tau_{1}}
=\sqrt{\frac{1-\frac{(\omega+\tfrac{d\phi}{dt})^2 r_2^2}{c^2}}{1-\frac{\omega^2 r_1^2}{c^2}}}.\)
Omdat deze verhouding constant is bij eenparige cirkelbeweging, geldt dezelfde verhouding ook voor de totale eigentijden
\(\tau_2/\tau_1\) over willekeurig veel omwentelingen (zonder dat je per omwenteling hoeft te “patchen”).
.
Bij het symmetrisch speciaal geval (zelfde omloopbanen, tegengestelde richtingen) wordt of blijft het dus onzinnig. Want dan geldt in
\(p_1\)’s Born chart
\(d\phi/dt = -2\omega\), zodat
\(\omega + d\phi/dt = -\omega\). Dus
\(\frac{d\tau_{2}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{\omega^2 r^2}{c^2}}
= \frac{d\tau_{1}}{dt}.\)
Met het gevolg dat
\(\tau_2 = \tau_1\) over dezelfde t-duur (dus ook over 100 rondes). Daarmee zie je waarom “exact dezelfde radii en snelheden” triviaal wordt. Pas bij verschillend
\(r\) of verschillend
\(|v|\) wordt het interessant.
Goed, heb ik dat ook eens (als het goed is juist) gedaan.
Puzzels
