Lotto en euro millions en het theorema van Bayes.

[HansH]

Dit geld natuurlijk niet als je mens erger je niet speelt, want na talloze malen geen zes gegooid te hebben voel ik dat mijn kansen keren om toch op het bord te komen

ook daar klopt dat gevoel toch gewoon met de wiskunde? als je 1 keer gooit is de kans dat je geen 6 gooit 5/6
als je 2 x gooit is de kans dat je in die 2 x geen 6 gooit (5/6)^2 =69% als je 10 x gooit is de kans dat je in die 10 x geen enkele keer 6 gooit
(5/6)^ 10=16%en bij 20 x gooien is het nog maar 2.6% en bij 1000 x gooien is het 5e-78 dat je in die 1000 x geen 6 gooit.

[wnvl1]

Ik heb hieronder met hulp van chat een keer wiskundig opgeschreven hoe het zit voor de proportie zessen bij het gooien met een dobbelsteen. Het is de wiskunde achter wat in dit topic eerder al door vijv en anderen in woorden is gezegd.




We gooien een eerlijke zeszijdige dobbelsteen ( n ) keer, en we zijn geïnteresseerd in de proportie zessen die we krijgen.

Noem:

* \( X_i\) = 1 als worp een zes is
* 0 anders

Dan:
\[
P(X_i = 1) = p = \frac{1}{6}, \quad P(X_i = 0) = 1 - p = \frac{5}{6}.
\]

De proportie zessen in ( n ) worpen is:
\[
\hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
\]

Omdat de ( X_i )’s onafhankelijk en identiek verdeeld zijn (iid):

\[
E[X_i] = p, \quad Var(X_i) = p(1-p)
\]

Dan geldt:

\[
Var(\hat{p}) = Var\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{p(1-p)}{n}
\]

Dus:

\[
\boxed{Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}}
\]

Ingevuld voor een dobbelsteen

\[
p = \frac{1}{6} \Rightarrow 1-p = \frac{5}{6}
\]

\[
Var(\hat{p}) = \frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}{n} = \frac{5}{36n}
\]

\[
\boxed{Var(\hat{p}) = \frac{5}{36n}}
\]

Volgens de centrale limietstelling geldt voor grote ( n ):

\[
\hat{p} \sim \mathcal{N}\left( p, \frac{p(1-p)}{n} \right)
\]

Dus:

\[
\hat{p} \approx \mathcal{N}\left( \frac{1}{6}, \frac{5}{36n} \right)
\]

Interpretatie

De variantie van de proportie zessen daalt omgekeerd evenredig met ( n ).
Dus bij verdubbeling van het aantal worpen halveert de variantie.

[flappelap]

Dit geld natuurlijk niet als je mens erger je niet speelt, want na talloze malen geen zes gegooid te hebben voel ik dat mijn kansen keren om toch op het bord te komen

ook daar klopt dat gevoel toch gewoon met de wiskunde? als je 1 keer gooit is de kans dat je geen 6 gooit 5/6
als je 2 x gooit is de kans dat je in die 2 x geen 6 gooit (5/6)^2 =69% als je 10 x gooit is de kans dat je in die 10 x geen enkele keer 6 gooit
(5/6)^ 10=16%en bij 20 x gooien is het nog maar 2.6% en bij 1000 x gooien is het 5e-78 dat je in die 1000 x geen 6 gooit.

En de kans dat je geen 6 gooit bij elke volgende worp blijft gewoon 5/6. Dus nee, dat gevoel klopt niet

[HansH]

precies. het gaat er dus om hoe je het bekijkt. De kans om op het bord te komen verandert niet per worp, maar de kans om op het bord te komen wordt gezien vanaf een bepaald worp nummer wel steeds groter als er steeds eren nieuwe worp bij komt.

[_Ron_]

precies. het gaat er dus om hoe je het bekijkt. De kans om op het bord te komen verandert niet per worp, maar de kans om op het bord te komen wordt gezien vanaf een bepaald worp nummer wel steeds groter als er steeds eren nieuwe worp bij komt.

Ik denk dat je het goed bedoelt maar ongelukkig formuleert. De kans wordt niet groter, de kans blijft 1/6.

Maar de kans is wel groter.

[HansH]

precies. het gaat er dus om hoe je het bekijkt. De kans om op het bord te komen verandert niet per worp, maar de kans om op het bord te komen wordt gezien vanaf een bepaald worp nummer wel steeds groter als er steeds eren nieuwe worp bij komt.

Ik denk dat je het goed bedoelt maar ongelukkig formuleert. De kans wordt niet groter, de kans blijft 1/6.

Maar de kans is wel groter.

ik weet niet wat het nut is van een discussie over 'wordt' of 'is' ? 'is' heeft volgens mij betrekking op iets wat al vastligt en 'wordt' heeft betrekking op iets waar nog een keuze is en als resultaat van die keuze dan iets 'wordt' in dit geval heb je de keuze of je een worp gaat doen of niet en daar hangt het resultaat dan vanaf. vandaar dat ik het 'wordt' noem. maar ik vind het dan een beetje mierenge... worden.

[Gast]

[_Ron_]

worden duidt naar mijn aanvoelen op verandering, iets is het ene en wordt het andere. Maar de kans verandert niet, deze blijft 1/6, maar hij is wel hoger bij meerdere worpen.

Het nut van een zorgvuldige woordkeuze is dus om te vermijden dat we terug verzanden in een discussie over de foutieve aanname dat de kans afhankelijk is van eerdere worpen.

[HansH]

Het nut van een zorgvuldige woordkeuze is dus om te vermijden dat we terug verzanden in een discussie over de foutieve aanname dat de kans afhankelijk is van eerdere worpen.

de zin 'De kans om op het bord te komen verandert niet per worp' lijkt me toch volledig duidelijk.

[wnvl1]

Dit geld natuurlijk niet als je mens erger je niet speelt, want na talloze malen geen zes gegooid te hebben voel ik dat mijn kansen keren om toch op het bord te komen

ook daar klopt dat gevoel toch gewoon met de wiskunde? als je 1 keer gooit is de kans dat je geen 6 gooit 5/6
als je 2 x gooit is de kans dat je in die 2 x geen 6 gooit (5/6)^2 =69% als je 10 x gooit is de kans dat je in die 10 x geen enkele keer 6 gooit
(5/6)^ 10=16%en bij 20 x gooien is het nog maar 2.6% en bij 1000 x gooien is het 5e-78 dat je in die 1000 x geen 6 gooit.

En de kans dat je geen 6 gooit bij elke volgende worp blijft gewoon 5/6. Dus nee, dat gevoel klopt niet

Ik denk dat dit bedoeld was als een grapje van vijv dat letterlijk is opgenomen.

[vijv]

Inderdaad was een grapje van mij. Eens een dobbelsteen geworpen is de kans een realiteit geworden. Dus wat je daarvoor ook gesmeten hebt, je kans om (niet) op het bord te komen blijft telkens even groot.

[HansH]

Wel een grapje dan om iemand nog eens nadrukkelijk op zijn ongelukkig taalgebruik te wijzen dan. In die zin dan toch niet echt een grapje.

[vijv]

Neen sloeg zeker niet op jou. Maar wel op het gevoel dat iedereen tijdens een spel wel eens heeft dat na een reeks ongelukken je denkt dat het nu jou kans wel moet zijn.

[HansH]

Neen sloeg zeker niet op jou.

Het was een opmerking van _Ron_ die aan mij gericht was over mijn woordgebruik.

[Regor]

@wnvl1

U schreef:

"Interpretatie
De variantie van de proportie zessen daalt omgekeerd evenredig met ( n ).
Dus bij verdubbeling van het aantal worpen halveert de variantie."

Wat is "variantie" ...; stel U voor !