bewijzen en redeneren

[LC02]

zij f: X -> Y een functie (X, Y verzamelingen)
TB: a) f^-1 definieert een functie tussen P(Y) en P(X)
b) f^-1: P(Y) -> P(X) is surjectief <=> f is injectief

Hallo, kan iemand me helpen? Notaties zijn heel belangrijk voor dit vak

[vijv]

Wat bedoel je met P(X) en P(Y)?

[LC02]

P(X) is notatie voor machtsverzameling

->
https://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverzameling

[vijv]

Sorry,

Mij is de vraag nog niet helemaal duidelijk.
Je hebt dus een willekeurige functie f van de set X naar de set Y f: X->Y

Wat moet je nu in a) aantonen? Dat deze functie f op één of andere manier een inverse functie f^-1 van P(Y) naar P(X) definieert


b) is duidelijk voor mij.

[Bart23]

a) Neem \(A\subset Y\). Dan is \(f^{-1}(A)=\{x\in X\vert f(x) \in A\}\subset X\). Deze verzameling is eenduidig bepaald.
b)
\(\Rightarrow\):
Te bewijzen: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)
Aangezien \(f^{-1}\) surjectief is, bestaan er \(B_1\) en \(B_2\) zó dat \(f^{-1}(B_1)=\{x_1\}\) en \(f^{-1}(B_2)=\{x_2\}\)
Als \( x_1\neq x_2\) zou dit willen zeggen dat \(B_1\cap B_2=\emptyset\), maar dat kan niet, want \( f(x_1)\in B_1 \wedge f(x_2)\in B_2\), maar \(f(x_1)=f(x_2)\), contradictie!. Dus \(x_1=x_2\)
\(\Leftarrow\):
We bewijzen \(f^{-1}(f(A))=A\). Dan volgt dat A het beeld is van f(A) onder \(f^{-1}\)
\(f^{-1}(f(A))\supset A\) is triviaal.
\(f^{-1}(f(A))\subset A\):
\(x\in f^{-1}(f(A))\Rightarrow f(x)\in f(A)\Rightarrow f(x)=f(a) (\textrm{voor zekere } a\in A)\Rightarrow x=a \in A(\textrm{want f is injectief})\)