Lotto en euro millions en het theorema van Bayes.

[wnvl1]

Dat heeft er vrijwel niets mee te maken. Dit is een uitweiding naar aanleiding van andere posts in dit topic die al van de originele vraag afweken.

[OOOVincentOOO]

Ik hoor enkele malen de centrale limiet stelling voorbij komen. Maar naar mijn smaak niet voldoende toegelicht.

Er worden wel voorbeelden geven wat de gevolgen zijn van de centrale limietstelling. Met enige ingewikkelde formules (wat ikzelf niet begrijp trouwens). Eerder een toepassing van van de gevolgen van centrale limietstelling maar niet daadwerkelijk "de" centrale limietstelling.

Hier een definitie:

De centrale limietstelling (CLT) stelt dat, als je herhaaldelijk voldoende grote steekproeven neemt uit een populatie, de verdeling van de gemiddelden van die steekproeven een normale verdeling zal volgen, ongeacht de oorspronkelijke verdeling van de populatie.

Dus dit betekend dat men de gemiddelde waarde steeds beter bepaald word. De standaard afwijking van het gemiddelde is afhankelijk van de variantie van de gegeven populatie en het aantal samples waarvan men het gemiddelde neemt. De verdeling waaruit men sampled hoeft niet normaal verdeeld te zijn. Een voorbeeld is muntworp: 0 of 1 of dobbelsteen worp bijvoorbeeld.

$$ \sigma_{\bar{x}}= \sigma / \sqrt{n}$$

Een voorbeeld is een dobbelsteen worp bepaal het gemiddelde van 60 worpen (verwacht = (1+2+3+4+5+6)/6=3.5). Iedere honderd worpen is natuurlijk niet precies 3.5 als gemiddelde. Doe dit 100.000 keer en maak een histogram. Dit levert een normaal verdeling op: dit is een voorbeeld van de centrale limiet stelling.

De onderstaande code kun je uitvoeren op:
https://trinket.io/python3/f79af42840

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set random seed for reproducibility
np.random.seed(42)

# Parameters
num_experiments = 100000  # number of repeated experiments
sample_sizes = [60]  # number of dice per experiment

plt.figure(figsize=(6, 6))

for i, n in enumerate(sample_sizes, 1):
    # Roll n dice num_experiments times
    rolls = np.random.randint(1, 7, size=(num_experiments, n))
    sample_means = rolls.mean(axis=1)
    
    # Plot histogram
    plt.hist(sample_means, bins=30, edgecolor='black', density=True)
    plt.title(f"{n} Dice per Experiment")
    plt.xlabel("Average Dice Value")
    plt.ylabel("Density")
    plt.xlim(2.5, 4.5)
    
plt.suptitle("Central Limit Theorem Demonstration — Dice Throws", fontsize=14)
plt.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.95])
plt.show()

[HansH]

Ik snap nog niet wat de variante van de proportie zessen te maken heeft met het het vb 100 keer NIET voorkomen van een zes, sorry, ik zit vast.

je doet iedere keer hetzelfde:
-100 x een dobbelsteen gooien
-het aantal keren dat je daarbij een 6 gooit noteren

de eerste serie gooi je bijvoorbeeld 10 zessen
de 2e keer gooit je 12 zessen
3e keer 15 zessen
na 3 x die serie heb je dan;
het getal
-10; 1x
-12: 1x
-15; 1x
dus bij die 3 worpen is de 10 dan 33% voor gekomen, idem voor de 12 en de 15. alle andere getallen zijn 0x voor gekomen

stel dat proces herhaal je 100000 keer.
dan heb je de kansen dat iets voor komt in de plaatjes hierboven. kans op voorkomen is eigenlijk voor te stellen als oppervlak onder de curve.
het gemiddelde is dan afgerond 17. dus 17 keer een 6 gooien in 100 x gooien komt het vaakste voor als je dat oneindig vaak herhaalt.
De variantie (spreiding; σ) geeft dan aan hoeveel de kans zakt als je op een bepaalde afstand van die 17 zit. als je het totale oppervlak onder de klok curve van voorgaande plaatje even schaalt naar 1 dan is een grens van + 1 sigma en -1 sigma vanaf het gemiddelde dus naar links en naar rechts een bepaald deel van het oppervlak nl 68.3% 2 sigma omvat 95.45 en 3 sigma omvat 99.7% van het oppervlak onder de curve. zie bv https://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80% ... 399.7_rule

daar zit de hele theorie achter van die 4 cm boek van jou, maar kort samengevat gaat het dus hierover.

[Regor]

Graag stoppen over kansrekening en centrale limiet stelling aub ...... is off topic.

Ik werp 1000000 maal met de teerling ..... en er valt nooit 6
Beschouw dan die situatie aub en laat er jullie kennis van de kansberekening maar op los.
En schrijf aub niet dat de situatie die ik schets niet kan.
Gegeven is dat het zich zo voordoet !
Natuurlijk is de wiskundige kans 1/6 dat er bij de volgende worp 6 komt ...... maar bij al de worpen voordien ook, maar het gebeurt niet !

Gezien bij een zeer groot aantal worpen statistisch elk cijfer 1,2,3,4,5,6 even veel (moeten ?) voorkomen .......
maar dat in de door mij geschetste niet het geval is ..... verwacht ik een soort gefundeerde of ongefundeerde theorie
die de menselijke verwachting weerspiegeld, bizar .......... maar dan is mar zo hé.

[Regor]

Als jullie niet kunnen of willen ingaan op de situatie die ik schets die ik schetste / schets .... maar verzeild geraken in de centrale limiet stelling ...... stel ik voor dat jullie er een aparte topic van maken.

[HansH]

Ik werp 1000000 maal met de teerling ..... en er valt nooit 6
Beschouw dan die situatie aub en laat er jullie kennis van de kansberekening maar op los.

Natuurlijk is de wiskundige kans 1/6 dat er bij de volgende worp 6 komt ...... maar bij al de worpen voordien ook, maar het gebeurt niet !

Gezien bij een zeer groot aantal worpen statistisch elk cijfer 1,2,3,4,5,6 even veel (moeten ?) voorkomen .......
maar dat in de door mij geschetste niet het geval is ..... verwacht ik een soort gefundeerde of ongefundeerde theorie
die de menselijke verwachting weerspiegeld, bizar .......... maar dan is mar zo hé.

de theorie is heel simpel en dat is ook de praktijk: als je 100000 x achter elkaar geen 6 hebt gegooit dan is de kans dat je nu weer geen 6 gooit 5/6 en de kans dat je wel een 6 gooit is 1/6. als je denk dat dat niet de praktijk is (je zegt 'maar het gebeurt niet ') dan moet er een boven natruurlijke macht zijn die jouw dobbelsteen beinvloedt zoals bv telekinese. dat zou kunnen, maar is een andere discussie.

[Regor]

@HansH,

Jou antwoord is al menigmaal gegeven en is wiskundig correct...... maar dan ook niet meer en niet minder !
En was dus geheel overbodig.
Bijgeloof is aan mij helemaal niet besteed hoor, nooit geweest.

Ik vraag mij gewoon af als jij als mens, en niet als wiskundige creatie na 1000 keer geen 6 ...... geld zou inzetten op "weer geen zes".
(Alhoewel dat ik in jou plaats zou vermoeden dat er iets aan de hand is met de dobbelsteen)

[OOOVincentOOO]

.... maar verzeild geraken in de centrale limiet stelling ...... stel ik voor dat jullie er een aparte topic van maken.

Het begrip centrale limiet stelling is zeer belangrijk te begrijpen.

De kans om zes te gooien is:

$$ p= 1/6$$

De standaard deviatie voor een Bernoulli verdeling is: Bernoulli-verdeling:

$$\sigma = \sqrt{p(p-1)}=\sqrt{5}/6=0.372$$

Stel ik werp steeds 100 keer. De kans om zes te gooien is dan:

$$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_{populatie}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{100}}= \frac{\sqrt{5}}{60} = 0.037268... $$

De kans om zes te gooien voor 100 worpen ligt dan tussen voor \(95 \% \) van de gevallen tussen:

$$\frac{1}{6}- \frac{2\sqrt{5}}{60} \leq \frac{1}{6} \leq \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{5}}{60}$$

Dit is slechts theorie nu toetsen aan de werkelijkheid. Met een eerlijke dobbelsteen:

De theorie blijkt nog steeds te kloppen. Het is aan TS om zijn ideeen beter uit te leggen. Want het is vaak meteen bijten en blaffen.Als je de resultaten voor een oneerlijke dobbelsteen wil hebben dat is ook mogelijk laat maar weten.

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)

num_experiments = 100000
sample_sizes = [100]

plt.figure(figsize=(6, 6))

for i, n in enumerate(sample_sizes, 1):
    rolls = np.random.choice([0, 0, 0, 0, 0, 1], size=(num_experiments, n))
    sample_means = rolls.mean(axis=1)

    bins = np.linspace(0, 0.35, 35)
    plt.hist(sample_means, bins=bins, color='cornflowerblue', edgecolor='black', density=True, rwidth=0.95)

    plt.title(f"{n} Dice per Experiment")
    plt.xlabel("Average (fraction of sixes)")
    plt.ylabel("Density")
    plt.axvline(1 / 6, color='limegreen', linestyle='-', linewidth=3, label='mean: 1/6')
    plt.axvline(np.sqrt(5)/60 + 1/6, color='black', linestyle='-', linewidth=3, label='stdev: $\sqrt{5}/60$')
    plt.axvline((2*np.sqrt(5)/60 + 1/6), color='red', linestyle='-', linewidth=3, label='95%: $\pm 2\sqrt{5}/60$')
    plt.axvline((1/6 - 2*np.sqrt(5)/60), color='red', linestyle='-', linewidth=3)
    plt.legend()

plt.suptitle("Central Limit Theorem Demonstration \n Probability of Rolling Sixes", fontsize=14)
plt.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.95])
plt.show()

Probeer code hier:
https://trinket.io/python3/f79af42840

[OOOVincentOOO]

Stel ik werp steeds 100 keer. De kans om zes te gooien is dan:

Schrijfout de standaard deviatie om zes te gooien bij 100 worpen.

Regor kan aan de hand dit voorbeeld zijn eige getallen invullen.

[vijv]

Gezien bij een zeer groot aantal worpen statistisch elk cijfer 1,2,3,4,5,6 even veel (moeten ?) voorkomen .......
maar dat in de door mij geschetste niet het geval is ..... verwacht ik een soort gefundeerde of ongefundeerde theorie
die de menselijke verwachting weerspiegeld, bizar .......... maar dan is mar zo hé.

Eigenlijk moet je schrijven: Bij een groot aantal worpen is de kans groter dat de cijfers 1,2,3,4,5,6 even veel moeten voorkomen dan dat niet zo is. Er is echter nog altijd de kans dat het allemaal zessen zullen zijn.
De menselijke verwachting hierin is gebaseerd op een illusie en de theory waar jij op zoek naar bent is eerder te vinden in de psychologie dan in de statistiek. Maar ik denk dat je dat zelf al wist.

[Regor]

@vijv,

Natuurlijk wist / weet ik dat....... ik heb er al meer dan genoeg keer allusie op gemaakt hoor !
Maar ja, leest men altijd alles ?
De psychologische - kans lijkt mij een nog niet zo slechte benaming van de .....Log P op basis x
P staat voor het aantal keer dat achtereenvolgens "y" niet geworpen wordt .. en "x" het aantal mogelijkheden
x is 2 bij kop of munt, x is 6 bij een zesvlakkige dobbelsteen (want er bestaan er andere).
Men hoeft zich n iet te beperken tot kop of munt of dobbelsteen of lotto ..... men kan het altijd toepassen.
En ..... het is zo wie zo wiskundige waanzin ....... maar wie zou niet gokken op 6 als het al 1000 keer geen 6 was.

Voor mij al lang ... einde verhaal.


@Vincent,

Het moet nu toch al duidelijk zijn dat ik het niet heb over de regulieren wiskundige kans.

[OOOVincentOOO]

Beste @regor,

Het is zeer moeilijk uit jouw retoriek het rationele van intuïtie te scheiden. De ene zin is rationeel georiënteerd en de andere puur op gevoel. Soms combineer jij beide in een zin. Probeer wellicht het te splitsen in twee alinea: een gebaseerd op getallen en tot slot een alinea jouw gevoelens/intuïtie.

Maar ik heb meer het idee dat jij liever een spelletje speelt. En een soort van denkbeeldige inquisitie aan de denkbeeldige "geleerden" wil voorleggen. Maar feit is de meesten reageren hier als hobby.

Ik had gehoopt dat je een concrete vraag aan mij zou hebben betreffende statistiek met betrekking tot de dobbelsteen.

Dus ik heb wederom de fout gemaakt te reageren op een giftig topic van jouw. Ik denk volgende keer beter na voorheen weer te reageren zoals de meeste mensen doen.

Maar buiten dat ik reageer inhoudelijk op de statistiek ben ik ook geïnteresseerd in de psychologie en sociologische ontwikkeling van dergelijke topics. Door proberen triggers te vinden. En die is best interessant.

maar wie zou niet gokken op 6 als het al 1000 keer geen 6 was.

Dan ga je ervan uit dat iedere worp afhankelijk is. Of een oneerlijke dobbelsteen.

[OOOVincentOOO]

Toevoeging lees dit eens:

Gambler's fallacy:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_fallacy

[HansH]

Jou antwoord is al menigmaal gegeven en is wiskundig correct...... maar dan ook niet meer en niet minder !
En was dus geheel overbodig.
Bijgeloof is aan mij helemaal niet besteed hoor, nooit geweest.

Ik vraag mij gewoon af als jij als mens, en niet als wiskundige creatie na 1000 keer geen 6 ...... geld zou inzetten op "weer geen zes".
(Alhoewel dat ik in jou plaats zou vermoeden dat er iets aan de hand is met de dobbelsteen)

het is me compleet onduidelijk wat je nu wilt. je vindt de wiskunde correct en je bent niet bijgelovig dus je gelooft niet in telekinese die de dobbelsteen beinvloedt maar als mens denk je toch dat de kans groter wordt als je daarvoor minder zessen gegooid hebt. geen idee wat we hier verder nog mee moeten. je ziet wiskundige modellen blijkbaar meer als grapje dan dat je inziet dat je daar de werkelijkheid mee kunt beschrijven.

[OOOVincentOOO]

@regor,

Om jouw intuïtie te voeden kwam ik tot het volgende. Stel je een dobbelsteen voor met de volgende zes posities:

$$[1, 2, 3, 4, 5, 6]$$

dit is analoog met:

$$[-5, -3, -1, +1, +3, +5]$$

Nu het volgende. Je gaat steeds een stap naar voren zetten. Dan doe je aan aantal stappen naar links (onder) of naar rechts (boven) volgens eentje uit: \([-5, -3, -1, +1, +3, +5]\). Voorbeeld je doet een stap voorwaarts en gaat dan bijvoorbeeld \(+3\) stappen naar rechts (boven in grafiek). Dan weer een stap voorwaarts en wederom neem je een van de \(6\) mogelijkheden omhoog of omlaag nu een stap naar links \(-1\) (onder in grafiek). Dit is een random walk en is vergelijkbaar met de kansen van een dobbelsteen.

Laten we een mogelijke random walk nemen:

Uit deze enkele random walk zouden we kunnen concluderen dat we vaker een stap naar onder zetten. Maar zou jij "wedden" dat we vaker \( [1,2,3]\) zouden werpen? Waarbij \( [1,2,3]\) analoog is met: \( [-5,-3,-1]\).

Laten we nog enkele andere mogelijke random walks bekijken:

Hier zijn er enkelen welke lijken te stijgen en andere wellicht te dalen. Maar weten we dan hoe de toekomst eruit ziet? Op welke random walk zitten we? Laten we 1000 van deze random walks bekijken:

Op iedere stap ontwikkeld zich nu een normaal verdeling. De bijdrage van iedere random walk (met een pseudo trend stijgend/dalend) is verloren gegaan.

Dus het kan lijken alsof er een "Gambler's fallacy" is indien men naar een enkele walk kijkt. Echter je weet niet op welke walk je zit.Dat is hem de valkuil.

Maar ik ben gek wederom te reageren maar doe dit uit eigen educatieve redenen.

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
n_steps = 250
possible_steps = [-3, -2, -1, 1, 2, 3]
n_walks = 5  # total number of random walks

# Generate and plot
plt.figure(figsize=(16, 6))

positions = []  # store all positions to determine global y-limits

for i in range(n_walks):
    steps = np.random.choice(possible_steps, size=n_steps)
    position = np.concatenate(([0], np.cumsum(steps)))  # start at 0
    positions.append(position)
    plt.plot(position, marker='o', markersize=2, linewidth=1, label=f'Walk {i+1}')

# Compute dynamic y-limits based on all walks
all_positions = np.concatenate(positions)
maxi = np.max(np.abs(all_positions))
plt.ylim(-1.2 * maxi, 1.2 * maxi)

# Labels and legend
plt.title("Random Walks Starting at 0 with Steps in [-3, -2, -1, 1, 2, 3]")
plt.xlabel("Step Number")
plt.ylabel("Position")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Probeer code hier:
https://trinket.io/python3/f79af42840