referentie voor rotatie (Mach principe)

[wnvl1]

Als omega naar nul gaat dan evolueer je naar een Minkowski metriek.
-----------
Een veelgebruikte standaardvorm van de Gödel-metriek (in coordinaten \((t,x,y,z)\)) is
\[
\mathrm{d}s^{2} \;=\; -\bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
+ \mathrm{d}x^{2}
+ \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}z^{2}.
\]
Deze vorm komt overeen met de oorspronkelijke Gödel-oplossing in een keuze van eenheden waarbij de rotatieparameter effectief op \(1\) is gezet. We willen nu een expliciete afhankelijkheid van een kleine parameter \(\omega\) invoeren en de limiet \(\omega\to 0\) uitvoeren.

Introduceer nieuwe coordinaten \((t',x,y',z)\) door
\[
t'=t,\qquad y = \sqrt{2}\,\omega\,y'.
\]
(We houden \(x\) en \(z\) ongewijzigd.) In deze \(t',x,y',z\) co\"ordinaten geldt
\[
\mathrm{d}t=\mathrm{d}t',\qquad \mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'.
\]
Vervang dit in de bovenstaande metriek. Eerst schrijven we de kwadratische termen uit:
\[
- \bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y - e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2},
\]
dus de volledige metriek is
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \tfrac{1}{2}e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]
Samengesteld geeft dat
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]

Nu substitueren we \(\mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'\) en \(\mathrm{d}t=\mathrm{d}t'\). Dit geeft
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d}s^{2}
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2 e^{x}\,\mathrm{d}t'\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2} \\
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y'
- \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\end{aligned}
\]

Uit de laatste regel lezen we de niet-nul metriekcomponenten \(g_{\mu\nu}\) (in de primed co\"ordinaten \((t',x,y',z)\)):
\[
\begin{aligned}
g_{t't'} &= -1,\\
g_{x x} &= +1,\\
g_{z z} &= +1,\\
g_{t'y'} &= g_{y't'} = -\sqrt{2}\,\omega\, e^{x},\\
g_{y'y'} &= -\omega^{2} e^{2x}.
\end{aligned}
\]
Merk op dat de afwijkingen van de Minkowski-componenten zich schikken in machten van \(\omega\): de buiten-diagonaal rotatiecomponent \(g_{t'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega)\) en de extra bijdrage aan \(g_{y'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega^{2})\).

Daarom heeft de metriek voor kleine \(\omega\) de vorm
\[
\mathrm{d}s^{2}
= \bigl(-\mathrm{d}t'^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y'^{2} + \mathrm{d}z^{2}\bigr)
+ \underbrace{\bigl(- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y' - \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}\bigr)}_{\text{correlaties van orde }\omega,\omega^{2}}.
\]
Hierboven heb ik het \(\mathrm{d}y'^{2}\)-deel in de hoofdterm als \(\mathrm{d}y'^{2}\) geschreven om de vergelijking met Minkowski duidelijker te maken: in de exacte substitutie (zoals hierboven) verschijnt geen expliciete \(+1\) voor \(g_{y'y'}\) — dat is een kwestie van welke schaal je voor \(y'\) kiest. Door in deze laatste regel \(y'\) zodanig te reschalen (een uniforme lineaire co\"ordinattransformatie) kun je de flat-leading-order zichtbaar maken en de correctietermen als \(\mathcal{O}(\omega)\) en \(\mathcal{O}(\omega^{2})\) laten verschijnen.

Uit de expliciete componenten volgt direct dat, als men \(\omega\to 0\) neemt (met de hierboven gebruikte co\"ordinatkeuze), de extra termen
\[
g_{t'y'}\sim \mathcal{O}(\omega),\qquad g_{y'y'}\sim\mathcal{O}(\omega^{2})
\]
naar nul gaan. Daarom nadert de metriek (tot co\"ordinattransformaties en geschikte rescalingen van \(y\)) de vlakke Minkowski-metriek. Concreet: in de \(\omega\to0\) limiet verdwijnen de rotatie-bijdrage (vorticiteit) en de bijbehorende niet-diagonale termen, en verdwijnen ook de gesloten tijdachtige krommen die in de Gödel-ruimte aanwezig zijn wanneer \(\omega\neq 0\).

Het is belangrijk te benadrukken dat de Gödel-oplossing als oplossing van Einstein's veldvergelijkingen relaties legt tussen \(\omega\), de materiedichtheid \(\rho\) en de kosmologische constante \(\Lambda\) (bijvoorbeeld in vele parametrisaties van de vorm \(4\pi G\rho\propto\omega^{2}\) en \(\Lambda\propto -\omega^{2}\)). Daardoor is de fysieke consistente limiet \(\omega\to 0\) doorgaans vergezeld van \(\rho\to0\) en \(\Lambda\to0\), en in die gekoppelde limiet is de vlakke Minkowski-ruimte de natuurlijke resultaatgeometrie.

[wnvl1]

Ter aanvulling nog. De Gödel-oplossing vereist een zeer precieze fine-tuning tussen materiedichtheid, kosmologische constante en rotatie.
-----------------
Binnen deze oplossing ontstaat een directe relatie tussen de massadichtheid \(\rho\), de kosmologische constante \(\Lambda\) en de rotatieschaal \(\omega\). Uit de veldvergelijkingen van Einstein volgt allereerst dat de massadichtheid en de rotatieschaal met elkaar zijn verbonden via
\[
4\pi G \rho = \omega^2 .
\]
Daarnaast vereist de stationaire rotatie dat de kosmologische constante negatief is en gelijk aan
\[
\Lambda = -\,\omega^2 .
\]
Door deze twee resultaten te combineren blijkt dat de massadichtheid en de kosmologische constante rechtstreeks met elkaar samenhangen volgens
\[
\Lambda = -4\pi G \rho .
\]

Deze relatie betekent dat een grotere massadichtheid automatisch leidt tot een meer negatieve kosmologische constante. De negatieve waarde van \(\Lambda\) fungeert als een aanvullende aantrekkende term die nodig is om de zwaartekracht van de materie en de effecten van de algehele rotatie precies in evenwicht te houden. Dankzij deze balans ontstaat een stationaire oplossing waarin de rotatie niet afneemt en waarin de geometrie gesloten tijdachtige krommen toelaat.

[HansH]

mbt '' Wat moet ik me dan voorstellen bij ruimtetijd in combinatie met een roterend heelal?'' kun je dat ook qua essentie in woorden samenvatten ipv formules? Die formules leveren bij mij op dit moment helaas geen enkele bijdrage aan het begrip. wat roteert er nu feitelijk bijvoorbeeld en als iets roteert dan roteert het toch ook per definitie om een middelpunt? heeft zo'n heelal dan een middelpunt?

[wnvl1]

De Gödel-metriek beschrijft een denkbeeldig heelal waarin ruimte en tijd zo gekromd zijn dat het geheel rond een vaste as draait. Het universum is in dit model overal hetzelfde en verandert niet in de tijd: het is homogeen en stationair. De inhoud van het heelal bestaat uit gewone materie die niet onder druk staat, aangevuld met een negatieve kosmologische constante.

Door de globale rotatie gebeurt er iets heel bijzonders met de structuur van de ruimtetijd. De richtingen van ruimte en tijd mengen zich, waardoor de “lichtkegels” — die normaal aangeven wat voorwaartse tijd en oorzakelijkheid betekenen — langzaam beginnen te kantelen naarmate je je verder van het centrum bevindt.

Als je ver genoeg van de rotatie-as komt, helt zo’n lichtkegel zelfs zó ver dat een bewegend voorwerp in een gesloten lus kan reizen en uiteindelijk terug kan keren naar een moment vóór zijn vertrek, zonder ooit sneller dan het licht te hoeven bewegen. Dat betekent dat het heelal volgens deze metriek gesloten tijdachtige krommen bevat: volledige lussen in de tijd die fysiek bewandelbaar zouden zijn.

Het verrassende is dat deze bizarre situatie geen wiskundige fout of truc is: het voldoet perfect aan de natuurwetten zoals vastgelegd in Einsteins vergelijkingen. Gödel toonde daarmee aan dat de algemene relativiteitstheorie toestaat dat tijdreizen theoretisch mogelijk is, simpelweg doordat bepaalde vormen van kosmische rotatie de structuur van de tijdlijn kunnen sluiten.

In dit model is één ruimterichting anders dan de andere: het heelal is symmetrisch rond de rotatie-as, maar niet volledig isotroop. De rotatie voltrekt zich in het vlak loodrecht op die as. Toch blijft het geheel overal gelijk, zodat elke waarnemer in rust in dit heelal dezelfde fysische omstandigheden ervaart.

[HansH]

Als je ver genoeg van de rotatie-as komt, helt zo’n lichtkegel zelfs zó ver dat een bewegend voorwerp in een gesloten lus kan reizen en uiteindelijk terug kan keren naar een moment vóór zijn vertrek, zonder ooit sneller dan het licht te hoeven bewegen. Dat betekent dat het heelal volgens deze metriek gesloten tijdachtige krommen bevat: volledige lussen in de tijd die fysiek bewandelbaar zouden zijn.

Dat zou dan betekenen dat dat heelal toch een definieerbaar middelpunt heeft. En als je dan het 'geluk' hebt om in een melkwegstelsel aan de randen van dat heelal te wonen waar die lichtkegels 45 graden verbogen zijn dan kun je je eigen geboorte daarmee voorkomen. Klink nogal science fiction achtig.

[wnvl1]

Nee. In het Gödel-universum bestaat geen centrale as. Het heelal is namelijk volledig homogeen, wat betekent dat geen enkel punt of gebied een speciale of bevoorrechte plaats inneemt. Als er een centrale as zou bestaan, dan zou die as een unieke positie aangeven in de ruimte, en dat is in strijd met de homogeniteit van de oplossing.

Toch heeft het Gödel-universum wél een voorkeursrichting. De materie in dit heelal vertoont overal dezelfde rotatie, beschreven door een vorticiteitsvector. Die vector wijst op elk punt in dezelfde richting en toont zo de gemeenschappelijke draairichting van de kosmische materiestroom.

Die richting vormt echter geen centrale geometrische as. Het is geen lijn waar alles omheen draait, maar eerder een aanwijzing dat de materie overal in het heelal dezelfde lokale draaiing vertoont. Je kunt het vergelijken met een oneindige vloeistof die overal dezelfde kleine werveling heeft: er is een duidelijke draai-oriëntatie, maar geen centraal punt of as waar die werveling omheen loopt.

[HansH]

Die richting vormt echter geen centrale geometrische as. Het is geen lijn waar alles omheen draait, maar eerder een aanwijzing dat de materie overal in het heelal dezelfde lokale draaiing vertoont. Je kunt het vergelijken met een oneindige vloeistof die overal dezelfde kleine werveling heeft: er is een duidelijke draai-oriëntatie, maar geen centraal punt of as waar die werveling omheen loopt.

maar dan begrijp ik jouw eerdere uitleg niet;
'De richtingen van ruimte en tijd mengen zich, waardoor de “lichtkegels” — die normaal aangeven wat voorwaartse tijd en oorzakelijkheid betekenen — langzaam beginnen te kantelen naarmate je je verder van het centrum bevindt.'
Welk centrum bedoel je dan of is elk punt een centrum is is het effect van de rotatie dan evenredig met de afstand tot het gekozen centrum net zoals de hubble constante dat is voor afstand versus snelheid van de uitdijing? ziet een waarnemer dan op grotere afstand alles dan steeds sneller roteren?

[wnvl1]

Het Gödel-universum is homogeen, dus je kan elk punt nemen als centrum. In het Gödel-universum wordt de normale causaliteit doorbroken door de universele rotatie. Dit maakt dat gebeurtenissen in bepaalde regio’s theoretisch terug kunnen verwijzen naar hun eigen verleden. De Gödel-horizon bevindt zich op een straal die afhangt van deze rotatiesnelheid. Binnen deze straal verloopt de tijd zoals wij die kennen, terwijl daarbuiten de gesloten tijdlijnen ontstaan. Je kunt het universum voorstellen als een enorme draaiende karrousel. Binnen een bepaalde straal kan een waarnemer zich normaal bewegen zonder terug te keren in de tijd. Buiten die straal kan een beweging de rotatie zó volgen dat men uiteindelijk terugkomt op het beginpunt in de tijd. De Gödel-horizon is dus geen fysieke grens zoals bij een zwart gat, maar een grens die aangeeft waar normale causaliteit ophoudt en tijdlussen mogelijk worden.

[HansH]

Maar kan ik dan zo'n rondje maken om mijzelf weer tegen te komen als een soort jongere dubbelganger? of kom ik dan in een parallel universum waar de jongere ik helemaal niet bestaat? dat 2e lijkt me dan realistischer dan het eerste.

[Gast]

Bij de Gödel metriek zou je zo'n as in tijd een beetje kunnen vergelijken met dat de aarde voor ons het centrum is van ons waarneembare heelal (en daarmee lijkt van het totale heelal).
Maar dit "centrum" is overal (het kosmologische principe).

Zo ook in de Gödel metriek. Lastig om voor te stellen natuurlijk, want niets draait rond een punt, maar de “draaiing” is ingebouwd in de ruimtetijdstructuur zelf. Maar zo zou je het kunnen zien, diezelfde metriek geldt overal.

Dit is totaal geen realistisch model voor ons heelal zoals wnvl1 al aangaf. Bianchi-metrieken worden soms gebruikt voor meer realistische roterende universummodellen, met name Bianchi type IX of Vll\(_h\) (geloof ik), dat een gesloten, ruimtelijk homogeen en anisotroop universum beschrijft en compatibel is met CMB-observaties (als de rotatie klein is).


En, misschien nog interessant: