Collatz Algebra?

[Professor Puntje]

Commutativiteit en associativiteit van de optelling:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a+a'}_{b+b' \, c+c'} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a'+a}_{b'+b \, c'+c} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^a_{b c} ](n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a+a'}_{b+b' \, c+c'} + \mathfrak{C}^{a' '}_{b'' c''}] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{(a+a')+a''}_{(b+b')+b'' \,\,(c+c')+c''} ] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a+(a'+a'')}_{b+(b'+b'') \,\, c+(c'+c'')} ] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} + \mathfrak{C}^{a'+a''}_{b'+b'' c'+c''}] n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b c} + (\mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) \)

[Professor Puntje]

Commutativiteit en associativiteit van de vermenigvuldiging:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a \cdot a'}_{b \cdot b' \, c \cdot c'} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a' \cdot a}_{b' \cdot b \, c' \cdot c} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \cdot \mathfrak{C}^a_{b c} ](n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a \cdot a'}_{b \cdot b' \, c \cdot c'} \cdot \mathfrak{C}^{a' '}_{b'' c''}] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{(a \cdot a') \cdot a''}_{(b \cdot b') \cdot b'' \,\,(c \cdot c') \cdot c''} ] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a \cdot (a' \cdot a'')}_{b \cdot (b' \cdot b'') \,\, c \cdot (c' \cdot c'')} ] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a' \cdot a''}_{b' \cdot b'' \, c' \cdot c''}] (n) \)

\( [ ( \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ) \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot (\mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) \)

[Professor Puntje]

Distributieve eigenschap:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot ( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'+a''}_{b'+b'' \, c'+c''} ](n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot ( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) = [ \mathfrak{C}^{a \cdot (a' + a'')}_{b \cdot (b'+b'') \,\, c \cdot (c'+c'')} ](n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot ( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) = [ \mathfrak{C}^{aa' + aa''}_{bb'+bb'' \,\, cc'+cc''} ](n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot ( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) = [ \mathfrak{C}^{aa'}_{bb' \, cc'} \, + \, \mathfrak{C}^{aa''}_{bb'' \,\, cc''} ](n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot ( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} + \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''}) ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \, + \, \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a''}_{b'' c''} ](n) \)

[Professor Puntje]

Voor iedere collial \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) is er een collial \( \mathfrak{C}^{-a}_{-b \, -c} \) die we voor het gemak ook wel schrijven als \( - \mathfrak{C}^a_{b c} \). We zien dat steeds geldt:

\( \mathfrak{C}^a_{b c} + (- \mathfrak{C}^a_{b c}) = \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{-a}_{-b \, -c} \)

\( \mathfrak{C}^a_{b c} + (- \mathfrak{C}^a_{b c}) = \mathfrak{C}^{a-a}_{b-b \,\, c-c} \)

\( \mathfrak{C}^a_{b c} + (- \mathfrak{C}^a_{b c}) = \mathfrak{C}^0_{0 0} \)

\( \mathfrak{C}^a_{b c} + (- \mathfrak{C}^a_{b c}) = \mathbf{0} \)

Dus \( - \mathfrak{C}^a_{b c} \) is de additieve inverse van \( \mathfrak{C}^a_{b c} \).

[Professor Puntje]

Als we de verzameling van alle collials met \( \mathcal{Co} \) aanduiden dan is de algebraïsche structuur \( ( \mathcal{Co},+, \, . \, , \mathbf{0} , \mathbf{1}) \) nu dus een commutatieve ring.

(Zie voor ringen: https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mat ... Definition )

[Professor Puntje]

De structuur \( ( \mathcal{Co},+, \, . \, , \mathbf{0} , \mathbf{1}) \) heeft nuldelers. Voorbeeld:

\( \mathfrak{C}^1_{0 \, 0} \cdot \mathfrak{C}^0_{1 \, 1} = \mathfrak{C}^0_{0 0} = \mathbf{0} \)

Dus is \( ( \mathcal{Co},+, \, . \, , \mathbf{0} , \mathbf{1}) \) hoewel een commutatieve ring geen integriteitsgebied.

[Professor Puntje]

Voor toepassing op het Collatz-vermoeden wil ik naast de optelling en vermenigvuldiging nu ook nog de functiecompositie als bewerking toevoegen. Voor functies \( f \) en \( g \) van \( \mathbb{Z} \) naar \( \mathbb{Z} \) definiëren we de functie \( f \circ g \) van \( \mathbb{Z} \) naar \( \mathbb{Z} \) als: \( [ f \circ g ](n) = f( g (n) ) \) .

De iteratie \( f^{(m)} \) van een functie \( f \) van \( \mathbb{Z} \) naar \( \mathbb{Z} \) definiëren we aldus:

\( f^{(1)}(n) = f(n) \)

\( f^{(k+1)}(n) = f(f^{(k)}(n)) \)

[Professor Puntje]

Weet een van de wiskundigen hier of iets dergelijks al gedaan is? Ik heb de nodige ideeën om dit verder te ontwikkelen, maar dat heeft niet veel zin als het toch al oude koek is...

[vijv]

PP,

Volgens mij ben je op het moment te formeel bezig. Kun je eerst eens schetsen wat je wilt bereiken met de definitie van optelling en vermenigvuldiging. Zijn er geen interessantere bewerkingen ? Waarom definieer je de samenstelling op Z en niet op C₀?

[HansH]

Weet een van de wiskundigen hier of iets dergelijks al gedaan is? Ik heb de nodige ideeën om dit verder te ontwikkelen, maar dat heeft niet veel zin als het toch al oude koek is...

Ik zat een beetje te wachten of Fermat... zich er nog mee ging bemoeien (op een voor pp opbouwende meedenkende manier natuurlijk) omdat die al tijden met collatz bezig is geweest. samen kom je immers verder dan alleen. (mits je kunt samenwerken natuurlijk)

[Professor Puntje]

PP,

Volgens mij ben je op het moment te formeel bezig. Kun je eerst eens schetsen wat je wilt bereiken met de definitie van optelling en vermenigvuldiging. Zijn er geen interessantere bewerkingen ? Waarom definieer je de samenstelling op Z en niet op C₀?

Die vragen kan ik op het moment nog niet beantwoorden, want ik weet zelf ook nog niet waar het naartoe gaat. Mijn vermoeden was dat iets dergelijks als ik hier probeer allang door andere wiskundigen was uitgewerkt, en dan had ik er snel een punt achter kunnen zetten. Maar of zoiets al bestaat is hier kennelijk onbekend, dus ga ik er zelf maar mee door. Het houd me van de straat.

- De interessantere bewerkingen zijn de functiecompositie en iteratie.
- De samenstelling vereist min of meer dat je \( \mathbb{Z} \) als domein kiest want anders moet je steeds weer controleren of een zekere samenstelling wel mogelijk is.

[Professor Puntje]

Kan dit topic naar Theorieontwikkeling? Daar lijkt het me nu beter op zijn plaats.

[vijv]

- De interessantere bewerkingen zijn de functiecompositie en iteratie.
- De samenstelling vereist min of meer dat je \( \mathbb{Z} \) als domein kiest want anders moet je steeds weer controleren of een zekere samenstelling wel mogelijk is.

De samenstelling kan volgens mij beter als volgt gedefinieerd worden van C₀ x C₀ --> C₀
Mijn voorstel van neutraal element is dan wel correct

[Professor Puntje]

- De interessantere bewerkingen zijn de functiecompositie en iteratie.
- De samenstelling vereist min of meer dat je \( \mathbb{Z} \) als domein kiest want anders moet je steeds weer controleren of een zekere samenstelling wel mogelijk is.

De samenstelling kan volgens mij beter als volgt gedefinieerd worden van C₀ x C₀ --> C₀
Mijn voorstel van neutraal element is dan wel correct

Die begrijp ik niet. Kun je wat preciezer beschrijven wat je voorstelt?

[Professor Puntje]

Hier een wat beter gestroomlijnde versie voor zover ik nu gekomen ben:

BOEK0

(170.55 KiB) 36 keer gedownload