Scalairen, vectoren en tensoren

[markos]

Ik heb zelf een texteffect-engine in assembly geschreven voor DOS en daar zit een fullscreen box parameter in wat ook een soort tensor is, je moet maar even kijken op m'n homepage kijken.

Tensoren worden in vele disciplines gebruikt. Maar is het bij jou effectief een tensor of is het een matrix?

Een matrix is statisch, mijn fullscreen box parameter is variabel.

[wnvl1]

In TensorFlow, een heel veel gebruikte open-source machine-learningbibliotheek ontwikkeld door Google, worden tensoren gebruikt om neurale netwerken en andere AI-modellen te bouwen, trainen en uitvoeren. Google heeft recent ook een Tensor Processing Unit (TPU), een speciale chip om machine learning–berekeningen extreem snel en efficiënt uit te voeren — vooral voor neurale netwerken die draaien met TensorFlow, op de markt gebracht om te concurreren met NVIDIA. Die tensoren zijn gewoon meerdimensionale datastructuren, maar dat staat — vermoedelijk net zoals de tensoren in jouw software — los van de tensoren uit de natuurkunde / ingenieurswetenschappen die vijv hier behandelt.

[markos]

Okay dat is duidelijk, een google pixel heeft namelijk ook een tensor chip.

[flappelap]

Een vector in (zeg) Python is ook wat anders dan een raakvector in de differentiaalmeetkunde.

[vijv]

Misschien ook aardig om eens na te gaan: de worsteling van Einstein met tensoren en zijn tijdelijke overtuiging dat algemene covariantie funest was wat leidde tot zijn beruchte Loch-argument (hole-argument).

Toen hij eenmaal zijn algemeen-covariante veldvergelijkingen had gevonden, meende hij dat algemene covariantie een definiërende eigenschap was van zijn theorie, maar Erich Kretschmann floot hem daar al snel op terug: je kunt vrijwel elke theorie algemeen-covariant maken. Elie Cartan toonde dit een aantal jaar later aan door, ironisch, te laten zien dat Newtons zwaartekrachtstheorie algemeen-covariant is te maken, een formulering die we nu kennen als Newton-Cartan theorie. Deze formulering is later volledig metrisch geformuleerd, zodat je een metrische structuur kunt introduceren voor "Newtonse ruimtetijd", en bijbehorende metrische compatibiliteit, connecties, en Riemann-tensor. Dat alles laat zien dat algemene covariantie ("gebruik van algemeen-covariante tensoren") een stuk subtieler is dan veel tekstboeken je willen doen laten geloven. Zie b.v. "LOST IN THE TENSORS:
EINSTEIN'S STRUGGLES WITH COVARIANCE PRINCIPLES 1912-1916" van Earman en Glymour

https://www.cmu.edu/dietrich/philosophy ... ur1978.pdf

of Nortons "How Einstein found his Field Equations",

https://sites.pitt.edu/~jdnorton/papers ... qn_1-4.pdf

of vanaf hoofdstuk 2.5 van

https://pure.rug.nl/ws/portalfiles/port ... thesis.pdf

Interessante lectuur is iets voor deel 4 waar het over ART zal gaan. Aan dit deel heb ik nog niets geschreven en kan dus nog wel wat duren voor dit komt.

[vijv]

Allen,

dan voor de reacties.
Kunnen we discussie over wat tensoren zijn nog even laten rusten. Ik had graag nog wat commentaar gehad over het tweede tekstje waar ik opsom waar een bruikbare wiskundige structuur aan zou moeten voldoen. Zo ben ik volgens mij omkeerbaarheid of reversibiliteit vergeten.

[Professor Puntje]

De ART is niet-lineair. Daarom zou je verwachten dat men daarvoor ook niet-lineaire wiskunde zou gebruiken. Is niet-lineaire wiskunde te moeilijk? Ook spelen hier twee betekenissen van lineariteit door elkaar heen: de lineariteit die het mogelijk maakt vectoren en tensoren te definiëren en de niet-lineariteit van Einsteins veldvergelijkingen. Verder wordt de rol van relativiteit (vooral binnen de ART) sterk overschat. Zie Erich Kretschmann.

[wnvl1]

Tensoren zijn wiskundige objecten die per definitie lineair reageren op hun argumenten. Dit betekent dat een tensor, ongeacht zijn rang, altijd lineaire eigenschappen bezit wanneer hij wordt toegepast op vectoren. Een tensor \(T\) die werkt op twee vectoren voldoet bijvoorbeeld aan de relatie
\[
T(a v_1 + b v_2, w) = a\, T(v_1, w) + b\, T(v_2, w).
\]
Deze lineariteit is een zuiver wiskundige eigenschap en blijft gelden ongeacht de theorie waarin de tensor wordt gebruikt. De lineariteit van tensoren impliceert dus niet dat een fysieke theorie die op tensoren gebaseerd is noodzakelijk lineair moet zijn.

In tegenstelling tot de lineaire aard van individuele tensoren zijn de veldvergelijkingen van de algemene relativiteit intrinsiek niet-lineair. De Einstein-vergelijkingen
\[
G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}
\]
zijn niet-lineair in de metriek \(g_{\mu\nu}\). De Einstein-tensor \(G_{\mu\nu}\) hangt op een gecompliceerde manier af van de metriek en van afgeleiden van die metriek. De verbindingen \(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\) zijn niet-lineaire functies van \(g_{\mu\nu}\), en de Riemann-tensor bevat producten van verbindingen. Daardoor bevatten de Einstein-vergelijkingen termen zoals
\[
\Gamma \Gamma,\qquad g^{-1} \partial g\, \partial g,\qquad g^{-1} \partial^2 g,
\]
die ertoe leiden dat de vergelijkingen niet-lineair zijn. Hierdoor is de som van twee oplossingen in het algemeen geen nieuwe oplossing.

Het verschil tussen beide begrippen kan dus duidelijk worden gemaakt: tensoren zijn lineaire objecten omdat zij lineair werken op vectoren, terwijl de algemene relativiteit niet-lineair is doordat de dynamiek van de metriek wordt bepaald door niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Hoewel de bouwstenen van de theorie lineair zijn, zijn de vergelijkingen die de evolutie van het zwaartekrachtsveld beschrijven dat niet.

Een nuttige analogie kan worden gevonden in de klassieke mechanica. Krachten zijn bijvoorbeeld vectoren, en vectoren zijn lineair, maar dit betekent niet dat een mechanisch systeem lineair is; niet-lineaire krachten kunnen nog steeds optreden. Op dezelfde manier is de algemene relativiteit opgebouwd uit lineaire algebraïsche objecten, maar is de theorie als geheel niet-lineair omdat zwaartekracht zelf energie draagt en die energie opnieuw een bron van zwaartekracht vormt.

[wnvl1]

Allen,

dan voor de reacties.
Kunnen we discussie over wat tensoren zijn nog even laten rusten. Ik had graag nog wat commentaar gehad over het tweede tekstje waar ik opsom waar een bruikbare wiskundige structuur aan zou moeten voldoen. Zo ben ik volgens mij omkeerbaarheid of reversibiliteit vergeten.

Dat komt deels doordat de titel van je topic “Scalairen, vectoren en tensoren” is.
Als ik het goed begrijp, wil je met je tekst uitleggen welke fundamentele wiskundige eigenschappen een natuurkundige theorie moet hebben om de natuur betrouwbaar en consistent te beschrijven, en hoe deze eigenschappen het gedrag en de analyse van systemen beïnvloeden. Dat is natuurlijk een heel breed onderwerp. Natuurkunde is immers enorm divers, en om alles volledig te beschrijven is een grote verzameling technieken nodig. Het doet wat denken aan Roger Penrose in The Road to Reality, waar hij in meer dan duizend pagina’s een soortgelijke aanpak hanteert.

[vijv]

Dat komt deels doordat de titel van je topic “Scalairen, vectoren en tensoren” is.
Als ik het goed begrijp, wil je met je tekst uitleggen welke fundamentele wiskundige eigenschappen een natuurkundige theorie moet hebben om de natuur betrouwbaar en consistent te beschrijven, en hoe deze eigenschappen het gedrag en de analyse van systemen beïnvloeden. Dat is natuurlijk een heel breed onderwerp. Natuurkunde is immers enorm divers, en om alles volledig te beschrijven is een grote verzameling technieken nodig. Het doet wat denken aan Roger Penrose in The Road to Reality, waar hij in meer dan duizend pagina’s een soortgelijke aanpak hanteert.

Uit mijn vraag in een ander topic over tensoren, ben ik mij gaan verdiepen over de wiskundige fundamenten van het begrip tensor.
Deze zoektocht stuurde me verschillende richtingen uit en ik ben om het overzicht trachten te houden dit in een tekst gaan gieten.

In dit topic wil ik de tekst, waaraan ik nog volop aan het schrijven ben, aan jullie in mondjesmaat voorleggen.
Ik heb nu de inleiding gepost waarin de vier grote delen van de tekst wordt omschreven.
En ook het eerste deel waarin ik tracht uit te leggen welke eigenschappen we verlangen van een bruikbaar wiskundig gereedschap.
In een tweede nog te posten deel zal ik aantonen hoe deze eigenschappen terug te vinden zijn in de axioma's van de vectorruimte.
In deel drie komen de tensoren pas aan bod.
Het is momenteel geen kant en klare tekst en dus voor mij nog een zoektocht of de interne structuur van de tekst wel goed zit.

PS Je post over lineariteit en niet-lineariteit is een goed antwoord op de vraag van PP

[Gast]

Graag had ik graag jullie commentaren en suggesties op dit werkstuk gekregen.

Tensoren zijn echt niet zo moeilijk, zeker puur wiskundig niet. Alleen de fysische betekenis van de geometrische tensoren in GR kan lastig zijn.

Maar mijn suggestie:

Ik zou beginnen met de meest simpele; de metrische tensor van vlakke ruimtetijd. Eerst in matrixvorm (via matrixvermenigvuldiging eventueel), zoals:

\( \Delta s^2 = \Delta x^\mu \, \eta_{\mu\nu} \, \Delta x^\nu \)

\(=
\begin{pmatrix}
c \Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{pmatrix} \)

De rij- en kolom vectoren zijn displacement fourvectors:

\( \Delta x^\mu = \begin{pmatrix} c \Delta t \ \Delta x \ \Delta y \ \Delta z \end{pmatrix} \)

(en \( dx^\mu = \begin{pmatrix} c dt \ dx \ dy \ dz \end{pmatrix} \) voor ruimtetijden van ART (van EFE (Einstein Field equations) oplossing), wat een kleine stap is)

De differentiaalcoördinaten zelf, \( x^\mu = (ct, x, y, z) \), dus geen \(d\) of \(\Delta\), dat zijn positie-viervectoren.

Uitgewerkt als ruimtetijdinterval \(ds^2\):

\( \Delta s^2 = \Delta c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 +\Delta z^2 \)

Het ruimtetijd-interval is in het kwadraat omdat we een bilineaire vorm schrijven; elk coördinaatverschil wordt met zichzelf of een ander gecombineerd via de metriek:

\(ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \)

In de ART bij alle oplossingen van de EFE geldt eigenlijk precies hetzelfde en worden in bolcoördinaten plus tijd geschreven.

Voor de Schwarzschild-oplossing bijvoorbeeld in Schwarzschild-coördinaten chart:

Die metrische tensor is als matrix of meteen maar matrix-rekenen voor het interval:

\(ds^2 = dx^\mu, g_{\mu\nu}, dx^\nu\)

\(= \begin{pmatrix} c,dt & dr & d\theta & d\phi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-(1-\tfrac{2GM}{r}) & 0 & 0 & 0 \\
0 & (1-\tfrac{2GM}{r})^{-1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c,dt \ dr \ d\theta \ d\phi \end{pmatrix} \)

\((=-(1-\tfrac{2GM}{r}),c^2 dt^2 + (1-\tfrac{2GM}{r})^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta, d\phi^2) \)

Het infinitesimaal kleine ruimtetijdinterval \(ds^2\)(het lijn-element):

\( ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{r}) c^2 dt^2 + (1 - \frac{2GM}{r})^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2 \)

Voor misschien wat intuïtie voor de fysica ervan:

Maakt de metrische tensor overzichtelijker dan omslachtige matrixen (en vervelende

\( [@tex]bloody [@/itex]\)

gedoe). Maar het is gewoon wiskundetaal leren lezen.

\( ds^2 \) is dus gewoon een infinitesimaal kleine ruimtetijdinterval die de metriek evengoed laat zien. Het beschrijft een ruimtetijd via een bepaald coördinatenstelsel. Veel duidelijker dan omslachtige matrixen en veel compacter: je zult de meeste dan ook niet gauw vinden uitgeschreven als een matrix.

En het is telkens in bolcoördinaten en tijd maal een bepaalde factor (en vaak kruistermen, zie onderaan). Bij vlakke ruimtetijd zijn deze allemaal 1 of 0 (voor \(c=1\)), wat je nog eenvoudig in een ruimtetijddiagram kunt weergeven als een “kaart”. (Totaal anders dan de kosmische achtergrondstraling via ovalen in kaart brengen . )

Zo zou je de metrische tensor kunnen zien: als de "verschaling" om een ruimtetijd in kaart te brengen (Rindler chart, Schwarzschild chart etc.) Telkens heb je een factor voor \(t\), \(r\), \(\theta\) en \(\phi\) in de termen van het lijn-element.

Ik vertelde op dit forum eens dat in de gemeenschap een zwaartekrachtsveld en een ruimtetijd als hetzelfde gezien worden, hetzelfde is in ART.

Veel beginners denken, wel begrijpelijk, dat de metriek “het zwaartekrachtsveld” is, maar dat is niet juist.
De metrische tensor is een wiskundig object, geen natuurkundig bestaand iets. Wat fysisch is, is de ruimtetijd (de manifold + geometrische structuur).

Als de metriek een zwaartekrachtveld voorstelt, kan hetzelfde zwaartekrachtsveld via verschillende zwaartekrachtsvelden worden beschreven, dat slaat nergens op.

Waarom? Omdat bijvoorbeeld de Schwarzschild-oplossing (Schwarzschild-ruimtetijd) via de metriek in verschillende coördinatenstelsels in kaart wordt gebracht, zoals Gullstrand–Painlevé coördinaten (mischien ken je het van het populaire “river of waterfall model of general relativity” analogie).

En zo kun je de Schwarzschild-ruimte in verschillende coördinatensystemen bekijken, net als vlakke ruimte via hyperbolische of Euclidische geometrie.

Zoals dus die Gullstrand–Painlevé metriek van de Schwarzschild-oplossing:

\( ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{r}) dt^2 + 2 \sqrt{\frac{2GM}{r}} dt dr + dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \)

En in "matrix-notatie":

\( g_{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
-(1 - \frac{2GM}{r}) & \sqrt{\frac{2GM}{r}} & 0 & 0 \\
\sqrt{\frac{2GM}{r}} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} \)

Je ziet dat hier niet alleen de vier diagonale termen overeenkomen met bolcoördinaten en tijd, maar ook één kruisterm (niet twee vanwege symmetrie).

Beide keren zie je dat je de tensor

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \)

gebruikt, met covariante vectoren en contravariante vectoren, waar flappelap geloof ik een link over gaf wat veel handiger is dan zo'n verhaal, maar ok.

Kerr:



En zo voor elke oplossing die je wilt weten: hetzelfde principe.

Het Christoffelsymbool en alle 40 onafhankelijke componenten zijn hierbij inbegrepen, maar dat kun je later doen; wat m.i. niet zo belangrijk is in het begin, maar afhankelijk van hoever je ART al begrijpt.

En als je dat eenmaal helder hebt, volgen dingen als Christoffels, Ricci, Riemann en tenslotte de Einstein-tensor eigenlijk vanzelf wel uit de gekozen metriek, het zijn allemaal afgeleiden van hetzelfde object.

(De energie-impulstensor is uiteraard de meest eenvoudige en het minst abstract.)


Misschien of waarschijnlijk wat overdreven veel uitleg en lang. Maar ik was toevallig toch bezig hierover het e.e.a. voor iemand aan het uitschrijven.

Iig veel succes!

Uit mijn vraag in een ander topic over tensoren…

Ook omdat dat me inderdaad al opviel: hetzelfde onderwerp komt in meerdere draadjes terug en daardoor wordt het snel een mix van uitlegstijlen. Dat is niet ideaal als je de structuur van je eigen tekst probeert te bewaken.

Een zelfstudie ART is prima te doen, maar het werkt het best als je één lijn volgt (een boek, een cursus, of een eigen tekst). Een forum is handig als aanvulling, maar met veel verschillende deelnemers en zijsporen krijg je makkelijk een soort ‘forum-studie’ in plaats van een zelfstudie, en dat helpt de overzichtelijkheid niet.

Je aanpak om het zelf uit te schrijven is dus goed. Dan hou je de rode draad zelf vast en kun je gericht vragen stellen waar je echt vastloopt.


(En iig alvast fijne feestdagen mensen van sciencetalk.nl mocht ik niet meer reageren of iets posten deze maand.)

[Gast]

PS. Niet om vervelend te doen, maar de eerste berichten zijn erg breed en bijna een algemene wiskunde/physics crash course in lineariteit, superpositie, invariantie, enz., voordat je bij ART en tensoren komt. Voor wie tensoren in GR wil begrijpen, voegt dit veel ballast toe. Het gebruik van “we” suggereert een gezamenlijke studie, wat op een forum niet werkt.

Het goede is dat er een logische opbouw is: lineair -> vector '
-> tensor -> GR, en dat je je eigen manier gebruikt. Dat is nuttig, want introductieboeken volgen vaak min of meer dezelfde route.

[HansH]

Mooi overzichtje. Vooral om de samenhang.

[vijv]

Hey 2up 1down,

Dank je wel voor je lange reactie.

Bij het studeren van ART voelde het bij mij intuïtief aan dat covariante en contravariante vectoren representaties waren van een zelfde object. In de literatuur zijn dit echter twee verschillende objecten. Dit heeft me altijd geïntrigeerd. Na discussies in verschillende topics hier wou ik weten hoe de vork echt in de steel zat en of de wiskunde te rijmen was met mijn intuïtie.
Mijn tekst gaat dus niet zozeer over ART maar wel over de wiskundige grondslagen van tensoren. In het laatste deel zal het gaan over welke bijkomende eisen ART het tensorrekenen oplegt. De metriek speelt hierin een sleutelrol of beter gezegd een dubbelrol.

Maar voor we hier aan starten wil ik eerst het begrip vector, zijn eigenschappen en de relatie van die eigenschappen met de natuurkundige theorieën scherp stellen. Het zal dus inderdaad meer een wiskundige dan natuurkundige studie zijn.

De "we" in de tekst is het majesteitsmeervoud en komt voort uit mijn(misplaatst) superioriteitsgevoel

[HansH]

De "we" in de tekst is het majesteitsmeervoud en komt voort uit mijn(misplaatst) superioriteitsgevoel

Nu snap ik ook waarom dat woordje 'we' altijd gebruikt wordt in berichten die windows genereert bij bv windows updates of als er iets fout gaat in windows. Blijkbaar moet het net lijken alsof een heel team voor jou bezig is als windows weer eens bezig is om zichzelf uit de problemen te helpen. Bij het wielrennen in de tour de France hoor ik het ook altijd. ''we' hebben de etappe gewonnen, maar 'we' is dan dus maar 1 wielrenner (ok iets uit de wind gehouden door de anderen). Daarom neem ik het woordje 'we' eigenlijk altijd al met een korreltje zout.