Scalairen, vectoren en tensoren

[Gast]

... Ik heb aan AI eens gevraagd om beiden te vergelijken.

Ja, maar als ik ChatGPT vraag krijg ik weer een ander antwoord. En jij ook als je kritisch doorvraagt, bijvoorbeeld over hoe de metriek zelf nu een effect kan veroorzaken? Of over de direct detecteerbaarheid van het E- en B- veld, dat het niet uitmaakt dat het coördinaten afhankelijk is, ze zijn (lokaal) direct te detecteren. (Denk 't niet, maar misschien denkt je bij "direct detecteerbaar" dat het tastbaar moet zijn? Want dat is het E- en B- veld niet, voor een mens.)
En zo zijn er nog een paar nuanceringen.

De elektromagnetische veldtensor is een wiskundig object, en het is een directe representatie van een fysisch veld. Het tensor-zijn maakt het niet “onfysisch”.
Het feit dat het operationeel betekenis heeft maakt het fysisch!

De metrische tensor is een beschrijvingsstructuur; alleen invarianties en afgeleide grootheden (zoals kromming) zijn fysisch betekenisvol.

En ik begrijp eerlijk gezegd niet hoe je kunt denken dat een dergelijk wiskundig middel, wat een bepaalde ruimtetijd via coördinaten in kaart brengt, exact zo als een schaalfactor van een landkaart, zelf niets doet. Of zoals de Friedmannvergelijkingen zelf niets doen, wat eigenlijk een verlengstuk is van de FLRW-metriek.

En eigenlijk spreekt jou lijstje dat ook helemaal niet tegen.

Het echte analogon van \(F_\mu\nu\) in GR is de Riemann-tensor, niet de metrische tensor. Omdat:

\(F_\mu\nu\) is lokaal niet weg te transformeren en bepaalt fysische effecten direct.

En \(R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}\) is lokaal ook niet weg te transformeren en bepaalt effecten zoals geodetische deviatie of getijdekrachten.

Beide zijn gauge-invariant, operationeel fysisch en meten “veldsterkte”, niet een potentiaal.

Dat is de kernfout in die vergelijking.

Dus:

"Het probleem met deze vergelijking is dat hier de metriek wordt behandeld alsof zij het fysische veld is, analoog aan \(F_\mu\nu\). Dat is niet correct. In de ART ligt de fysica in invarianties en kromming (Riemann-tensor), niet in de metriek zelf. De metriek is vergelijkbaar met een kaart; noodzakelijk voor beschrijving, maar een kaart veroorzaakt zelf niets en is geen fysisch veld."

Aldus ChatGPT

Wellicht zit een deel van het verschil overigens in interpretatie op semantisch niveau, naast het structurele aspect.

[HansH]

Speciaal voor jou, de lege motor/kale tensor nogmaals:

Een rank 3 tensor op \(\mathbb{R}^3\) kan je zien als een array \(T_{ijk}\) met \(i,j,k = 1,2,3\). Dat geeft 27 componenten.

Ook voor anderen dan pp wel waardevol lijkt mij hoor.

Dus een rank 4 tensor heeft dan 4 x 4 x 4=64 componenten neem ik aan?
Nu snap ik denk ik ook globaal de gedachte om ze te gebruiken (maar ik kan net mis hebben):

Je kunt het dan gebruiken om je beschrijving van de werkelijkheid te transformeren naar een ander coordinaten stelsel. je kunt immers vectoren uitdrukken in een lineaire combinatie van basisvectoren, dus kun je ook kijken hoe die lineaire combinatie wijzigt als je andere basisvectoren gebruikt. Dus dat maakt de werkelijkheid niet anders, maar wel hoe je de werkelijkheid beschrijft als lineaire combinatie van een basis . Is dat dan ook de reden dat je 64 componenten nodig hebt?

Volgende vraag van mij zou dan zijn wat het nut is van het transformeren naar een ander coordinatenstelsel bv in de ART. Dan ben je dus gelijk weer bezig om een praktische toepassing te bekijken.

[HansH]

Als je dat even kort en concreter kunt aangeven, kunnen ik en vooral anderen het hopelijk beter plaatsen en begrijpen wat voor jou van belang is.

Voor mij is dat bv viewtopic.php?p=1270880#p1270880
matrixvorm.gif
hoe het ruimtetijd interval ontstaat in SRT is me wel duidelijk. Maar waarom zich dat dan vertaalt in het product van die 3 factoren 'horizontale vector' * matrix * 'vertikale vector' en waarom die kruistermen er dan in komen voor gekromde ruimtetijd zoals via die 3 factoren direct wel volgt, maar waarvan ik dus de onderliggende gedachte/fundamenten niet kan volgen is dus bv zo'n vraag. (evt te beantwoorden in het vandaag geopende vervolg topic over ART)

even vanuit de ruis weer terug naar het topic.
in relatie tot matrices en tensors kom ik het begrip 'rank' 'rang' ? en 'size' 'afmeting' tegen.
je kunt bv 2 x 2 matrix hebben of 3 x 2 etc. maar wat verstaan we onder 'rank' ? ik zie bv by rank=3 bv een matrix van 3 arrays diep.

En waar zit dan de 'tensor' en 'rank' in die vermenigvuldiging van 'horizontale vector' * matrix * 'vertikale vector' structuur van ruimtetijd interval?
...... puntjes vanwege overlap voorkomen met dat handje rechts onder

[vijv]

Allen,

Kunnen jullie wat minder vlug op de tenen getrapt zijn, en als je het toch bent er niet op reageren.
Dit topic is gestart om de wiskundige fundamenten van tensoren te achterhalen. Dit topic staat ook bewust bij lineaire algebra en niet bij natuurkunde. Ook al wil ik de link van de wiskunde naar natuurkunde niet weglaten.

Voor de hele discussie over metriek heb ik een nieuw topic gelanceerd.
Liefhebbers over tensorrekenen in ART kunnen ook een topic openen.

Opvraag van 1up2down zal ik nog even duidelijk maken wat ik in dit topic bereiken.

Om mijn vraag of covariante en contravariante als eenzelfde object kunnen gezien worden, ben ik op zoek gegaan wat een tensor nu eigenlijk is. Ik heb die zoektocht in mijn ogen succesvol afgerond. In die zoektocht ben ik mij ook gaan afvragen wat de verschillende eigenschappen als associativiteit, lineariteit ed werkelijk betekenen.
Om mijn gedachten en bevindingen te ordenen ben ik alles in tekstvorm beginnen gieten. Het is die tekst die ik aan dit forum wil voorleggen en waarvan ik hoop dat ik vanuit de reacties die tekst nog kan aanvullen, verbeteren en verstaanbaarder te maken.
Misschien schat ik mezelf te hoog in, maar ik ben er van overtuigd dat ik ondertussen wel begrijp hoe het wiskundig allemaal in elkaar zit.

Aangezien de tekst lang is en nog niet helemaal klaar wil ik hem stuk per stuk delen.
De inleiding en deel 1 heb ik al gedeeld.
In deel 2 zal het gaan over wat een vectorruimte is. Om dit te kunnen doen ga ik het eerst hebben over operaties en de groepstructuur, daarna over vleden (lichamen) en dan pas over vectoren.
In deel drie zal ik dan beschrijven hoe vectorruimtes uitgebreid kunnen worden tot tensoren en wat hun verband is met multilineaire mappen.
In deel vier wordt beschreven welke extra structuur, het dot product, er toegevoegd moet worden om tot het tensorrekenen te komen dat we van ART kennen.

[jkien]

Opmerking moderator

Enkele off-topic berichten afgesplitst

[Gast]

Om te begrijpen wat genoemde dingen als wiskundig objecten voorstellen moet je diep in de wiskundige onderbouwing duiken, want dan wordt het ook pas duidelijk dat de eigenschappen van die zaken logisch volgen uit wat die dingen zijn.

Professor Puntje, je lijkt te denken dat wiskunde zelf een uitgebreide wiskundige onderbouwing heeft.
Tenminste, zo komt het bij mij over, en dan is het logisch dat je dat nooit ergens vindt en op zoek bent naar dingen die niet bestaan, zoals onder de motorkap van een tensor als wiskundig object.

Wiskunde wordt niet door zichzelf onderbouwd. Dat zou betekenen dat de fundering van wiskunde wiskunde is. Ja, dan kom je op circulaire redenaties uit.

Wat overigens voor beginners en beginnende studenten m.b.t. tensoren inderdaad vaak zo lijkt. Maar dat komt alleen omdat men de transformatieregels voor een tensor moet kennen om te weten wat een tensor echt is.

En natuurlijk zijn er studenten die domweg formules in hun hoofd stampen ipv de onderliggende betekenis en samenhang goed te (leren) begrijpen, zodat men zelf kan afleiden. Alleen kan niet iedereen dat direct begrijpen, en moet men eindeloos oefenen en stampen om toetsen en uiteindelijk het mooie papiertje te halen. Het echte leren komt daarna op het werk, waar het vakgebied relevant wordt toegepast.


Maar de onderbouwing van wiskunde omvat veel axiomatische grondslagen (zoals verzamelingentheorie, categorietheorie, typetheorie) en bestaat uit veel meer conventies dan bij ieder ander vakgebied.

En, zoals bij alle wetenschappen, uit filosofische debatten. Voor wiskunde gaat het om de vraag of het een externe realiteit beschrijft (platonisme) of een menselijke constructie is, terwijl het werkt door middel van symbolische taal en rigoureuze bewijzen om de patronen van het universum te modelleren.

Deze fundamenten bieden de structuur voor wiskunde, van elementaire rekenkunde tot geavanceerde natuurkunde.

Wiskunde bouwt dus logische structuren (zoals meetkunde of verzamelingenleer) op uit basisaannames en regels van gevolgtrekking, zoals te zien is in de Elementen van Euclides.

Of je kan zeggen dat dat de wiskundige basis is en alle wiskunde daar op gebouwd is. Wiskunde bouwt verder natuurlijk wel verder op zichzelf en zodoende is het allemaal zeer consistent.

Ik krijg bij jou soms èn vaak de indruk meer filosofisch te denken dan wis- en/of natuurkundig, regelmatig in combinatie met historische contexten, waar niets mis mee is natuurlijk. Zolang het niet te religieus beschouwd wordt.

Overigens vereisen vrijwel alle diepgaande technische studies tot ingenieur het begrijpen van tensoren.


@vijf

Misschien enigszins interessant voor jou vanwege je zin:

"Dit topic is gestart om de wiskundige fundamenten van tensoren te achterhalen."

En ok. Ik ben benieuwd. Interessant om te lezen hoe je het allemaal aan wilt pakken en systematisch uitwerkt. Klinkt als een behoorlijke onderneming.

[Professor Puntje]

Ik ben niet op zoek naar dingen die niet bestaan. Voor de reële getallen, complexe getallen, de Dirac delta functie (en aanverwante gegeneraliseerde functies) en voor tensoren ben ik op zoek gegaan naar hun grondslagen omdat die grondslagen in mijn technische opleidingen niet geboden werden. En die grondslagen heb ik uiteindelijk jaren later in geavanceerde wiskundeboeken ook gevonden. Daarom weet ik ook zeker dat die grondslagen bestaan, en dat die grondslagen (althans in mijn jonge jaren) in technische opleidingen op HBO-niveau niet aan bod kwamen. Het lijkt me sterk dat die grondslagen in praktisch gerichte technische opleidingen nu wel behandeld worden, want als gezegd heb je die grondslagen voor praktisch werk niet nodig. Veel praktisch geschoolde mensen hebben er geen flauw benul van dat dergelijke grondslagen überhaupt bestaan, en ze zijn er veelal ook niet in geïnteresseerd.

Dat ook vijv het nodig vindt om nu op eigen houtje dieper te graven naar de grondslagen van tensoren geeft wel aan dat er aan tensoren veel meer te onderzoeken valt dan wat tensoren doen of waar ze voor gebruikt worden.

[wnvl1]

Wellicht zit een deel van het verschil overigens in interpretatie op semantisch niveau, naast het structurele aspect.

Ik denk dat het vooral om het eerste gaat. Ik ga volledig akkoord met je uitgebreide antwoord en zo had ik het zelf ook in gedachten, al heb ik het niet zo expliciet verwoord als jij dat deed. Mogelijk gebruik ik de term “fysisch” semantisch gezien iets sneller of ruimer dan jij. Ik zou de metriek al fysisch noemen, terwijl jij dat niet doet, maar voor de rest helemaal dezelfde mening.

[Gast]

@PP

Misschien haal je de historische oorsprong en wat er ten grondslag ligt aan de dingen die je noemt wat door elkaar, ik weet het niet.

Wat ik in elk geval denk te zien, is dat verschillende abstractieniveaus hier door elkaar lopen, waardoor het groter en ingewikkelder lijkt dan nodig.

Er ligt niets verborgen, diepzinnig of ingewikkelds aan ten grondslag; het gaat alleen om formele precisering en logische opbouw van de concepten.

Wat men bedoelt met “grondslagen” is puur wiskundige formalisering: axioma’s (Peano, veldaxioma’s), constructies (Dedekind-snedes, Cauchy-rijen), verzamelingenleer (ZFC e.d.).

Dat zijn keuzes van een formeel systeem. De reële getallen zijn wat ze zijn binnen dat axiomatische kader. Meer zit er niet onder.

Voor techniek en fysica is dit volledig irrelevant: je gebruikt ℝ als continuüm en klaar.

Voor complexe getallen hetzelfde verhaal:

ℝ² met een extra structuur of de algebraïsche sluiting van ℝ.

Gewoon een handig wiskundig object.

En de deltafunctie bestaat niet als functie; het is een distributie (lineaire functionaal).

De “grondslag” is hier dus simpelweg:
we hebben het functiebegrip uitgebreid omdat de fysica daar om vroeg.

Geen ingewikkeldheid, alleen verruiming van het formele raamwerk.

Bij tensoren wordt het naar mijn idee zelfs wat misleidend, vooral door hardnekkige misvattingen.

Een tensor is geen exotisch object met verborgen lagen.
Een tensor is een multilineaire afbeelding, of een object met bepaalde transformatie-eigenschappen, of een element van een tensorproduct.
Wat equivalente beschrijvingen zijn.

Wat eraan ten grondslag ligt is: lineaire algebra, vectorruimten en duale ruimten.

Punt.


Dat zulke abstracties in HBO-opleidingen niet of nauwelijks aan bod komen, betekent niet dat tensoren “dieper” zijn. Het betekent alleen dat abstractieniveaus worden weggelaten die voor praktisch werk niet nodig zijn.

Volgens mij lopen hier drie dingen door elkaar:

1. Formele axiomatisering.
2. Didactische verdieping.
3. Idee van diepere betekenis.

En wordt (1) en (2) soms gelezen alsof ze iets zeggen over (3), terwijl dat niet zo is.

Er is geen verborgen realiteit onder reële getallen, geen geheime laag onder tensoren en geen “waarom” voorbij het gekozen formele systeem.

De “grondslagen” van reële getallen, distributies en tensoren zijn axiomatische en formele keuzes binnen de wiskunde. Dat die formalisering in technische opleidingen vaak wordt overgeslagen, betekent niet dat er iets diepzinnigs of ingewikkelds onder ligt, maar alleen dat het voor praktisch gebruik niet nodig is.

Ik moest wel het een en ander opzoeken, want ik ben geen wiskundige en ken die termen niet allemaal. Maar is heel simpel. Uiteindelijk komt het neer op formele preciseringen, keuzes van axioma’s en manieren om intuïtieve ideeën exact te definiëren en op te bouwen. En niets meer dan dat.

Hopelijk helpt dit om het onderscheid tussen formele fundering en fysische betekenis wat scherper te krijgen: de wiskundige grondslagen geven alleen aan hoe je concepten zoals getallen, functies of tensoren logisch, precies en consistent kunt definiëren en opbouwen. Dat meen ik serieus. Het is duidelijk dat je de ART zo goed mogelijk wilt begrijpen en de bijbehorende wiskunde wilt beheersen, en het zou zonde zijn om daarbij te blijven zoeken naar een “diepere laag” die er in deze zin eenvoudigweg niet is.


@wnvl1

Oh ok, dat kan gebeuren, zeker digitaal gaat het soms sneller en praat je deels langs elkaar heen. Ik geloof dat wij over het algemeen goed op één lijn zitten.

[wnvl1]

Ik ben niet op zoek naar dingen die niet bestaan. Voor de reële getallen, complexe getallen, de Dirac delta functie (en aanverwante gegeneraliseerde functies) en voor tensoren ben ik op zoek gegaan naar hun grondslagen omdat die grondslagen in mijn technische opleidingen niet geboden werden. En die grondslagen heb ik uiteindelijk jaren later in geavanceerde wiskundeboeken ook gevonden. Daarom weet ik ook zeker dat die grondslagen bestaan, en dat die grondslagen (althans in mijn jonge jaren) in technische opleidingen op HBO-niveau niet aan bod kwamen. Het lijkt me sterk dat die grondslagen in praktisch gerichte technische opleidingen nu wel behandeld worden, want als gezegd heb je die grondslagen voor praktisch werk niet nodig. Veel praktisch geschoolde mensen hebben er geen flauw benul van dat dergelijke grondslagen überhaupt bestaan, en ze zijn er veelal ook niet in geïnteresseerd.

Dat ook vijv het nodig vindt om nu op eigen houtje dieper te graven naar de grondslagen van tensoren geeft wel aan dat er aan tensoren veel meer te onderzoeken valt dan wat tensoren doen of waar ze voor gebruikt worden.

Op zich ben ik het wel eens. Ik hou van natuurkunde omdat ik het leuk vind om complexe wiskundige technieken toe te kunnen passen. Daarom dat ik mijn interessen nu meer verschuif van ART naar QFT. Daar is de wiskunde uitdagender dan in ART. Zuiver wiskunde zou ik niet direct studeren. Ik kan alleen maar over België spreken, maar ik vond dat onze opleiding burgerlijk ingenieur theoretisch best heel goed onderbouwd was. Dat hoeft niet zo veel onder te doen voor een opleiding master natuurkunde, al zal het wel wat minder zijn.
Als het gaat over tensoren en inzicht in ART, ben ik er wel niet van overtuigd dat je tot veel beter inzicht gaat komen door concepten als tensoren veel dieper te gaan uitpluizen dan bvb gebeurt in boeken als Carroll of Schutz. Maar we zullen zien. Het kan best zijn dat ik verkeerd ben en dat het een fout gevoel is van mij.

[HansH]

Het lijkt me sterk dat die grondslagen in praktisch gerichte technische opleidingen nu wel behandeld worden, want als gezegd heb je die grondslagen voor praktisch werk niet nodig. Veel praktisch geschoolde mensen hebben er geen flauw benul van dat dergelijke grondslagen überhaupt bestaan, en ze zijn er veelal ook niet in geïnteresseerd.

Ik ben het deels wel met je eens. Als ik eerlijk ben dan gebruiken wij op het werk voor magnetisme eigenlijk maar hele simpele basis formules zoals U=L.di/dt en kring integraal van H.dl= n. Iomvat en B=u.H waarbij we die kringintegraal dan ook nog benaderen door een simpel gemiddeld pad in een transformator kern te nemen. En dan nog wat verliezen mbt de Steinmetz equation en misschien nog iets over skin effect en proximity losses. Hoe die formules precies natuurkundig afgeleid kunnen worden maakt niemand zich druk over zolang dat niet hoeft. Daarmee kunnen we al hele optimale transformator ontwerpen maken met wat aanvullende gegevens van de fabrikant en evt aangevuld met dure software simulaties waar meer specialistische kennis in zit.

Maar dan kom je soms op gemeten effecten die je helemaal niet meer kunt begrijpen met die basisformules en dan ga je steeds dieper kijken tot je het wel begrijpt. Dus dan moet je toch weer zowel praktisch al theoretisch geschoold zijn. Of de theorie op dat moment aanvullen.

[Gast]

Op zich ben ik het wel eens.

Gisteren vond je tensoren nog makkelijk.
Dus waar ben je het nu mee eens?

Het gaat toch over tensoren, die allerlei ingewikkelde grondslagen zouden hebben en waarzonder je ze nooit echt zou kunnen begrijpen.

En een ogenschijnlijke circulaire definitie.

[Professor Puntje]

@wnvl1 Wat ik gedaan heb (HBO) is lager dan een Technische Hogeschool. (Nu zal het allemaal wel weer anders heten.) Schutz komt heel dicht in de buurt van wat ik een wiskundig steekhoudende onderbouwing van het tensorbegrip vind, maar in dat boek ben ik helaas vastgelopen vanwege de overmaat aan vraagstukken die deels voorbij de behandelde theorie gaan. Een voorbeeld van een behandeling van tensoren op een technisch instituut die mijns inziens wiskundig geheel voldoet is:
https://casa.win.tue.nl/education/AntWi ... t-2004.pdf
Dus het komt hier en daar wel voor dat er in een hogere technische opleiding afdoende aandacht is voor wiskundige grondslagen.

[Professor Puntje]

Het lijkt me sterk dat die grondslagen in praktisch gerichte technische opleidingen nu wel behandeld worden, want als gezegd heb je die grondslagen voor praktisch werk niet nodig. Veel praktisch geschoolde mensen hebben er geen flauw benul van dat dergelijke grondslagen überhaupt bestaan, en ze zijn er veelal ook niet in geïnteresseerd.

Ik ben het deels wel met je eens. Als ik eerlijk ben dan gebruiken wij op het werk voor magnetisme eigenlijk maar hele simpele basis formules zoals U=L.di/dt en kring integraal van H.dl= n. Iomvat en B=u.H waarbij we die kringintegraal dan ook nog benaderen door een simpel gemiddeld pad in een transformator kern te nemen. En dan nog wat verliezen mbt de Steinmetz equation en misschien nog iets over skin effect en proximity losses. Hoe die formules precies natuurkundig afgeleid kunnen worden maakt niemand zich druk over zolang dat niet hoeft. Daarmee kunnen we al hele optimale transformator ontwerpen maken met wat aanvullende gegevens van de fabrikant en evt aangevuld met dure software simulaties waar meer specialistische kennis in zit.

Maar dan kom je soms op gemeten effecten die je helemaal niet meer kunt begrijpen met die basisformules en dan ga je steeds dieper kijken tot je het wel begrijpt. Dus dan moet je toch weer zowel praktisch al theoretisch geschoold zijn. Of de theorie op dat moment aanvullen.

Juist - mijn posts zijn ook niet beledigend bedoeld, maar enkel als beschrijving van de praktijk.

[Gast]

Het lijkt me sterk dat die grondslagen in praktisch gerichte technische opleidingen nu wel behandeld worden, want als gezegd heb je die grondslagen voor praktisch werk niet nodig. Veel praktisch geschoolde mensen hebben er geen flauw benul van dat dergelijke grondslagen überhaupt bestaan, en ze zijn er veelal ook niet in geïnteresseerd.

Ik ben het deels wel met je eens.

Ja, het kleine beetje dat je op een praktijk gerichte studie minder theorie en diepgang krijgt over zowel natuurkunde als wiskunde is logisch. En dat weet iedereen. 

De verwarring is kennelijk gewoon besmettelijk!

@PP

Genoeg uni's om even te kijken.

Het ging toch over tensoren en hun onmogelijkheid te begrijpen of te definiëren?