basis kennis en toepassingen van tensoren

[HansH]

ok dus ruimte is niet alleen de ruimte die het inneemt als n dimensionaal; volume, maar ook ruimte in de zin van afgesproken bewerkingen die je erbij definieert als toegestaan.

voor wat betreft rij en kolom vectoren: covariant en contravariant zijn 2 verschillende dingen. Dus is het dan altijd zo dat je de ene gebruikt als contravatriant en de andere als covariant? anders zou het namelijk verwarrend zijjn wat je bedoelt.

Ik denk dat ik tot nu toe alleen contravariant gebruikt heb, vandaar die vertikale kolom. en voor orthogonale basisvectioren gaan beide in elkaar over neem ik aan.

https://physics.stackexchange.com/quest ... dinate-sys

[vijv]

ok dus ruimte is niet alleen de ruimte die het inneemt als n dimensionaal; volume, maar ook ruimte in de zin van afgesproken bewerkingen die je erbij definieert als toegestaan.

voor wat betreft rij en kolom vectoren: covariant en contravariant zijn 2 verschillende dingen. Dus is het dan altijd zo dat je de ene gebruikt als contravatriant en de andere als covariant? anders zou het namelijk verwarrend zijjn wat je bedoelt.

Ik denk dat ik tot nu toe alleen contravariant gebruikt heb, vandaar die vertikale kolom. en voor orthogonale basisvectioren gaan beide in elkaar over neem ik aan.

https://physics.stackexchange.com/quest ... dinate-sys

Als we vectorruimte zeggen bedoelen we eigenlijk de verzameling met vectoren en heeft deze "ruimte" niets te maken met iets dat "ruimte " inneemt. Gewoon een vendiagram met daarin elementen.

Laat covariant en contravariant eventjes rusten tot je het begrip vectorruimte helemaal doorhebt.

[HansH]

Nog even terug naar het artikel van flappelap.
wat hij laat zien zijn eigenlijk gewoon lineaire afbeeldingen zonder translaties.
maar dat weet je nog steeds niet wat nu precies de tensor is.
en dan komen we hier aan;

dat is als ik het goed zie 2 x een lineaire afbeelding toegepast. en daar zit dan blijkbaar ineens een tensor in verstopt.
alleen zie ik door de hoeveelheid indices door de bomen het bos niet meer en zie dan nog steeds niet wat dan echt de tensor is in die formule.

En dat staat er:
''per definitie transformeert een tensor met 2 indices ook zo.''

Dus bevat de bovenste regel dan een tensor? en zo ja welk stukje daarvan is dan precies de tensor?
en wat is dan precies het interessante van die tensor?
Is dat dan dat het 2 afbeeldingen na elkaar zijn dus dat je ook 2 andere afbeeldingen had kunnen nemen die samen hetzelfde eindresultaat hadden opgeleverd? En is die tensor dat de complete verzameling van 2 afbeeldingen samen die dan samen hetzelfde resultaat opleveren?
Want de clou zie ik nog steeds niet terug in het verhaal.
Of ben ik daarmee dan weer eens op het verkeerde been gezet?

[HansH]

als ik 2 afbeeldingen na elkaar toepas dan krijg ik voor een algemeen simpel 2d voorbeeld:

Dus als dit hetzelfde is (kan iemand dat bevestigen of ontkennen?) als de formule van flappelap (maar dan zonder al die lastig te interpreteren indices) ?? waar zit dan de tensor?


--

[wnvl1]

Een vector is een tensor. In het voorbeeld hierboven roteer je een vector en krijg je opnieuw een vector, maar dát is niet de kern van wat een vector definieert. Iets is een vector omdat zijn componenten volgens vaste transformatiewetten veranderen wanneer je de basisvectoren (of het coördinatenstelsel) verandert.

[HansH]

Een vector is een tensor. In het voorbeeld hierboven roteer je een vector en krijg je opnieuw een vector, maar dát is niet de kern van wat een vector definieert. Iets is een vector omdat zijn componenten volgens vaste transformatiewetten veranderen wanneer je de basisvectoren (of het coördinatenstelsel) verandert.

ik weet even niet wat ik met dit antwoord moet. Een vector is een tensor zegt mij helemaal niets in relatie tot mijn vraag.

[flappelap]

Ik zie dat er een foutje on m'n tekst staat; er wordt gesommeerd over de m-index ipv de j-index. Zal dat es aanpassen.

[flappelap]

Nog even terug naar het artikel van flappelap.
wat hij laat zien zijn eigenlijk gewoon lineaire afbeeldingen zonder translaties.
maar dat weet je nog steeds niet wat nu precies de tensor is.
en dan komen we hier aan;
Image2.gif
dat is als ik het goed zie 2 x een lineaire afbeelding toegepast. en daar zit dan blijkbaar ineens een tensor in verstopt.
alleen zie ik door de hoeveelheid indices door de bomen het bos niet meer en zie dan nog steeds niet wat dan echt de tensor is in die formule.

En dat staat er:
''per definitie transformeert een tensor met 2 indices ook zo.''

Dus bevat de bovenste regel dan een tensor? en zo ja welk stukje daarvan is dan precies de tensor?
en wat is dan precies het interessante van die tensor?
Is dat dan dat het 2 afbeeldingen na elkaar zijn dus dat je ook 2 andere afbeeldingen had kunnen nemen die samen hetzelfde eindresultaat hadden opgeleverd? En is die tensor dat de complete verzameling van 2 afbeeldingen samen die dan samen hetzelfde resultaat opleveren?
Want de clou zie ik nog steeds niet terug in het verhaal.
Of ben ik daarmee dan weer eens op het verkeerde been gezet?

T is je tensor, met componenten T^{ij}. De 'afbeeldingen' zijn de coördinatentransformaties die we beschrijven met de matrix M.

[HansH]

Dat T de tensor is had je in de text al aangegeven. Maar de vraag was juist welk onderdeel van de formules dan de tensor voortelt. Vooral vanwege de formele notaties is het lastig te volgen. In je antwoord geef je ook weer een formele notatie. Je antwoord helpt mij zo niet verder. Is het mogelijk om aan te geven waar nu echt die tensor zit in de meer geexpandeerde formules, dus formules zonder indices k, m, i en j ? bv in de matrixen die ik daarna had gegeven. En ook om aan te geven of die hetzelfde doen als jouw formules want dat was onderdeel van mijn vraag omdat ik even vastliep in dat puzzeltje met indices en daardoor waarschijnlijk niet eens aan de essentie toekwam.

[vijv]

Een vector is een tensor. In het voorbeeld hierboven roteer je een vector en krijg je opnieuw een vector, maar dát is niet de kern van wat een vector definieert. Iets is een vector omdat zijn componenten volgens vaste transformatiewetten veranderen wanneer je de basisvectoren (of het coördinatenstelsel) verandert.

Misschien eerst eens duidelijk maken dat je met een vectorruimte opzich, geen assentansformatie kan uitvoeren, enkel basistransformaties. Voor assenstelseltransformaties moet je de vectorruimte eerst toewijzen aan een geometrische ruimte. Denk hierbij aan de raakruimte die aan een punt van een manifold .
Ps de volgende twee weken zal ik maar sporadisch op het forum zijn
Pss mijn eerste bericht via smartphone

[HansH]

Dingen uitleggen is toch gewoon stap voor stap in logische stappen. Maar iets uitleggen over tensors is blijkbaar qua logische opbouw erg lastig. Ik zie hele verhalen over tensors maar aan het eind weet je nog steeds niet welk deel van de formules nu feitelijk de tensor is en als je er expliciet om vraagt krijg je geen antwoord. Ook een praktsich voorbeeld waarbij je goed kunt zien wat er nu eigenlijk gebeurt lijkt een illusie.

[vijv]

Image2.gif
dat is als ik het goed zie 2 x een lineaire afbeelding toegepast. en daar zit dan blijkbaar ineens een tensor in verstopt.
alleen zie ik door de hoeveelheid indices door de bomen het bos niet meer en zie dan nog steeds niet wat dan echt de tensor is in die formule.

Vectoren en tensoren zijn abstracte objecten. Neem nu de klassieke voorstelling van een vector als pijl. Wat betekent het optellen van twee pijlen? Het werken met vectoren en bewerkingen met vectoren gebeuren steeds met de componenten van die vector tov een gekozen basis. Je zult in formules dus nooit vectoren (of tensoren) zien, maar enkel de componenten.

[HansH]

Dat verhaal met die basis en de vectoren kun je toch in 5 minuten uitleggen zodat iedereen dat snapt? Waarom kan dat bij een tensor dan niet? Bovenstaande zie ik dus niet al excuus daarvoor.

[Professor Puntje]

Een simpele uitleg van tensoren beschrijft ze als dingen waarvan de componenten bij overgang naar een ander coördinatenstelsel op een zekere wijze transformeren. Vergelijkbaar met hoe vectoren dat doen. Maar daarbij blijft dan in het vage wat die tensoren zelf dan wel zijn.

De rigoureuze algebraïsche definitie van tensoren ziet ze als multilineaire functionalen. Dat laatste heeft als voordeel dat je zo wel aangeeft wat tensoren zijn, maar die definitie is onbegrijpelijk voor wie niet thuis is in de abstracte algebra.

Kortom: je zult moeten kiezen!

- Of je gaat voor de "simpele" uitleg en dan ben je snel klaar, maar dan zul je met vragen blijven zitten over wat tensoren nu eigenlijk zijn.

- Of je wilt het naadje van de kous weten en dan zul je je enigszins in de abstracte algebra moeten verdiepen zodat je die modern algebraïsche definitie ook zult kunnen begrijpen.

Er is geen snellere weg, want dan was die in de literatuur of op internet onderhand wel te vinden geweest.

[flappelap]

Dat T de tensor is had je in de text al aangegeven. Maar de vraag was juist welk onderdeel van de formules dan de tensor voortelt. Vooral vanwege de formele notaties is het lastig te volgen. In je antwoord geef je ook weer een formele notatie. Je antwoord helpt mij zo niet verder. Is het mogelijk om aan te geven waar nu echt die tensor zit in de meer geexpandeerde formules, dus formules zonder indices k, m, i en j ? bv in de matrixen die ik daarna had gegeven. En ook om aan te geven of die hetzelfde doen als jouw formules want dat was onderdeel van mijn vraag omdat ik even vastliep in dat puzzeltje met indices en daardoor waarschijnlijk niet eens aan de essentie toekwam.

De tensor heeft componenten die we met die indices beschrijven. Ik snap niet waar je nu precies naar op zoek bent met "waar nu echt die tensor zit".