basis kennis en toepassingen van tensoren

[HansH]

De tensor heeft componenten die we met die indices beschrijven. Ik snap niet waar je nu precies naar op zoek bent met "waar nu echt die tensor zit".

Ik zie een formule met 2 sommatie tekens, 2x een M, een v en een W. welke delen daarvan vertegenwoordigen de tensor en waarom?. uit het plaatje zou het dan V met index k keer w met index m moeten zijn.
Maar zoals gezegd heb ik moeite om de betekenis van al die indices te ontcijferen omdat ik me daarbij in mijn hoofd een voorstelling moet zien te maken wat dat allemaal voorstelt. Dat is dus het echte probleem. Zou misschien helpen als je het iets minder geconcentreerd opschrijft dus verder uitschrijft in bv leesbare matrices bv in een 2d voorbeeld. Er gebeuren nu veel te veel dingen tegelijk. Ik zie door de indices niet meer waar het feitelijk om draait qua essentie.

[wnvl1]

Als je de indices nu laat lopen van 1 tot 3, dan krijg je voor

\[
v^{\prime i} w^{\prime j}
= \sum_{k} M^i{}_k v^k \;\sum_{m} M^j{}_m w^m
= \sum_{k=1}^3 \sum_{m=1}^3 M^i{}_k M^j{}_m v^k w^m
\]

volledig uitgeschreven:
\[
\begin{aligned}
v^{\prime i} w^{\prime j} = {} &
M^i{}_1 M^j{}_1 v^1 w^1
+ M^i{}_1 M^j{}_2 v^1 w^2
+ M^i{}_1 M^j{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^i{}_2 M^j{}_1 v^2 w^1
+ M^i{}_2 M^j{}_2 v^2 w^2
+ M^i{}_2 M^j{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^i{}_3 M^j{}_1 v^3 w^1
+ M^i{}_3 M^j{}_2 v^3 w^2
+ M^i{}_3 M^j{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]

[HansH]

Er staan nog steeds i en j in onderste formule dus maar deels uitgeschreven lijkt het. maar uit al die termen krijg ik nog steeds niet een gevoel over wat nu feitelijk de essentie van die tensor (het stukje met v en w rechts in de formule met k en m ?) is en wat die doet.

[wnvl1]

\[
\begin{aligned}
v^{\prime 1} w^{\prime 1} = {} &
M^1{}_1 M^1{}_1 v^1 w^1
+ M^1{}_1 M^1{}_2 v^1 w^2
+ M^1{}_1 M^1{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^1{}_2 M^1{}_1 v^2 w^1
+ M^1{}_2 M^1{}_2 v^2 w^2
+ M^1{}_2 M^1{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^1{}_3 M^1{}_1 v^3 w^1
+ M^1{}_3 M^1{}_2 v^3 w^2
+ M^1{}_3 M^1{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 1} w^{\prime 2} = {} &
M^1{}_1 M^2{}_1 v^1 w^1
+ M^1{}_1 M^2{}_2 v^1 w^2
+ M^1{}_1 M^2{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^1{}_2 M^2{}_1 v^2 w^1
+ M^1{}_2 M^2{}_2 v^2 w^2
+ M^1{}_2 M^2{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^1{}_3 M^2{}_1 v^3 w^1
+ M^1{}_3 M^2{}_2 v^3 w^2
+ M^1{}_3 M^2{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 1} w^{\prime 3} = {} &
M^1{}_1 M^3{}_1 v^1 w^1
+ M^1{}_1 M^3{}_2 v^1 w^2
+ M^1{}_1 M^3{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^1{}_2 M^3{}_1 v^2 w^1
+ M^1{}_2 M^3{}_2 v^2 w^2
+ M^1{}_2 M^3{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^1{}_3 M^3{}_1 v^3 w^1
+ M^1{}_3 M^3{}_2 v^3 w^2
+ M^1{}_3 M^3{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 2} w^{\prime 1} = {} &
M^2{}_1 M^1{}_1 v^1 w^1
+ M^2{}_1 M^1{}_2 v^1 w^2
+ M^2{}_1 M^1{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^2{}_2 M^1{}_1 v^2 w^1
+ M^2{}_2 M^1{}_2 v^2 w^2
+ M^2{}_2 M^1{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^2{}_3 M^1{}_1 v^3 w^1
+ M^2{}_3 M^1{}_2 v^3 w^2
+ M^2{}_3 M^1{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 2} w^{\prime 2} = {} &
M^2{}_1 M^2{}_1 v^1 w^1
+ M^2{}_1 M^2{}_2 v^1 w^2
+ M^2{}_1 M^2{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^2{}_2 M^2{}_1 v^2 w^1
+ M^2{}_2 M^2{}_2 v^2 w^2
+ M^2{}_2 M^2{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^2{}_3 M^2{}_1 v^3 w^1
+ M^2{}_3 M^2{}_2 v^3 w^2
+ M^2{}_3 M^2{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 2} w^{\prime 3} = {} &
M^2{}_1 M^3{}_1 v^1 w^1
+ M^2{}_1 M^3{}_2 v^1 w^2
+ M^2{}_1 M^3{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^2{}_2 M^3{}_1 v^2 w^1
+ M^2{}_2 M^3{}_2 v^2 w^2
+ M^2{}_2 M^3{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^2{}_3 M^3{}_1 v^3 w^1
+ M^2{}_3 M^3{}_2 v^3 w^2
+ M^2{}_3 M^3{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 3} w^{\prime 1} = {} &
M^3{}_1 M^1{}_1 v^1 w^1
+ M^3{}_1 M^1{}_2 v^1 w^2
+ M^3{}_1 M^1{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^3{}_2 M^1{}_1 v^2 w^1
+ M^3{}_2 M^1{}_2 v^2 w^2
+ M^3{}_2 M^1{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^3{}_3 M^1{}_1 v^3 w^1
+ M^3{}_3 M^1{}_2 v^3 w^2
+ M^3{}_3 M^1{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 3} w^{\prime 2} = {} &
M^3{}_1 M^2{}_1 v^1 w^1
+ M^3{}_1 M^2{}_2 v^1 w^2
+ M^3{}_1 M^2{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^3{}_2 M^2{}_1 v^2 w^1
+ M^3{}_2 M^2{}_2 v^2 w^2
+ M^3{}_2 M^2{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^3{}_3 M^2{}_1 v^3 w^1
+ M^3{}_3 M^2{}_2 v^3 w^2
+ M^3{}_3 M^2{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]


\[
\begin{aligned}
v^{\prime 3} w^{\prime 3} = {} &
M^3{}_1 M^3{}_1 v^1 w^1
+ M^3{}_1 M^3{}_2 v^1 w^2
+ M^3{}_1 M^3{}_3 v^1 w^3 \\
&+ M^3{}_2 M^3{}_1 v^2 w^1
+ M^3{}_2 M^3{}_2 v^2 w^2
+ M^3{}_2 M^3{}_3 v^2 w^3 \\
&+ M^3{}_3 M^3{}_1 v^3 w^1
+ M^3{}_3 M^3{}_2 v^3 w^2
+ M^3{}_3 M^3{}_3 v^3 w^3
\end{aligned}
\]

[wnvl1]

V, W en T zijn allemaal tensoren in de tekst. De kleine letters met de indices zijn de componenten van de desbetreffende tensoren.

[Professor Puntje]

Maar goed - de componenten van tensoren zijn niet de tensoren zelf. Dat is nu juist het gebrekkige aan die "definitie" van tensoren als dingen die zus of zo transformeren. Zo kom je niet tot eigenlijk begrip van wat een tensor is.

[wnvl1]

Een tensor is een coördinaten-onafhankelijke beschrijving van een fysische of geometrische grootheid, waarvan de componenten zich aanpassen aan het gekozen referentiestelsel. Maar als je wil gaan rekenen, moet je uiteindelijk wel werken met de componenten, anders kan je niet veel doen.

[Professor Puntje]

Dat zegt nog steeds niet wat een tensor is, of zelfs maar dat dergelijke dingen logischerwijs zouden kunnen bestaan. Je zou de definitie kunnen repareren door aan te geven welk type reeds bekende wiskundige objecten volgens de genoemde transformatieregel eventueel de benaming "tensor" verdienen. Noem de verzameling van al die kandidaten voor tensorschap K. Dan weet je nu in elk geval wat tensoren zijn, als ze bestaan. Dat zijn dan immers elementen van K. Vervolgens hoef je alleen nog te bewijzen dat er in K inderdaad elementen zitten die aan de transformatieregel voor tensoren voldoen.

[HansH]

Kunnen we niet gewoon het meest simpele basisvoorbeeldje geven van een praktische toepassing waarin tensors gebruikt worden en hoe dat dan werkt en duidelijk dat tensor idee laat zien ? liefst dus in niet meer dan 2 dimensies zodat niet het bos onzichtbaar wordt door de bomen.

[HansH]

Dit filmpje is voor mij wel simpel en geeft de essentie blijkbaar.

[HansH]

met iets meer gereken, maar wel stap voor stap te volgen.

[Professor Puntje]

Ziet er tot nog toe goed uit.

[HansH]

Dus de tensor is dus het 'object' wat steeds hetzelfde blijft. kan dus een potloodje zijn met een lengte en een richting, maar kan als ik het goed begrijp dus blijkbaar ook een ruimtetijd interval zijn in SRT en ART waar alle waarnemers het over de lengte van dat interval (is combinatie van afstanden in de ruimte en verloop in de tijd ) eens zijn hoewel voor verschillende waarnemers dan wel onderling een verschillend afstand en tijd verloop kunnen waarnemen.

[Professor Puntje]

Een tensor is een wiskundig ding dat zekere fysische grootheden kan representeren. Een potloodje is geen tensor maar zekere aspecten van een potloodje kunnen door een tensor gerepresenteerd worden. Een algemene wiskundig correcte definitie van een tensor is overigens in die twee video's nog niet aan bod gekomen, het inzicht wordt kennelijk langzaam stap voor stap en video voor video opgebouwd. Maar een essentieel punt is inderdaad dat een tensor zelf bij verandering van coördinatenstelsel niet verandert, enkel de componenten van de tensor doen dat.

[HansH]

Een potloodje is geen tensor maar zekere aspecten van een potloodje kunnen door een tensor gerepresenteerd worden.

De tensor is dan het potloodje dat op een bepaalde manier gerepresenteerd wordt door een combinatie van basisvectoren en coordinaten die steeds hetzelfde potloodje opleveren.
Dat samen is dan het 'object' tensor zoals ik het nu begrijp. Het potloodje als zodanig is dus maar een deel van het tensor object. je moet het dus als compleet object zien om het een tensor ter mogen noemen als ik het goed begrijp.