Denkoefening met tensoren en ellipsen

[Gast]

Een symmetrische 2×2-tensor in 2D wordt vaak weergegeven als een ellips.
Welke fysische betekenissen kan deze ellips hebben?

A. Spanning of druk in een plaat of materiaal
B. Warmtegeleiding of diffusie in een anisotroop materiaal
C. Lokale structuur of gradiënt in beeldanalyse
D. De ellips kan volledig worden gereconstrueerd uit de eigenwaarden λ₁, λ₂ en de bijbehorende genormaliseerde eigenvectoren e₁, e₂; de oriëntatie van de assen volgt uit de orthogonale rotatie die de coördinaatassen uitlijnt met e₁ en e₂, terwijl de halve assen worden gegeven door 1/√λ₁ en 1/√λ₂, zodat de vergelijking xᵀAx = 1 exact de ellips beschrijft.

[wnvl1]

E. Covariantieanalyse en PCA (hoofdcomponentenanalyse) in de statistiek.

[vijv]

Er zijn nog voorbeelden :Polarisatie- of optische ellips (elektromagnetisme)
Maar ik begrijp je vraag niet goed?

[wnvl1]

Het laat allemaal zien dat tensoren heel gewonen dingen zijn in de natuurkunde, ingenieurswetenschappen en data-analyse. Je mag het niet moeilijker maken dan het is.

[Regor]

A; in verband met de hoofd spanning "richtingen" in de 2D sterkteleer.
(Te lang geleden om juist te herinneren)

[Gast]

Opmerking moderator

Off topic/persoonlijke aanvallen

[Regor]

Opmerking moderator

off topic

[Regor]

Opmerking moderator

off topic/persoonlijke aantijgingen

[R_Bena]

Opmerking moderator

Aantal berichten verwijderd. Wie nu opnieuw persoonlijke aanvallen uit zal geband worden. Er is voldoende gewaarschuwd.

[HansH]

Jammer dat dit onderwerp weer verzand in discussies. Het kwartje mbt de hoofdvraag is zoals ik het zie nog niet gevallen immers. dus de kern gemist tot nu toe.

[wnvl1]

Gegeven is een tweedimensionale symmetrische tensor
\[
\mathbf{T} =
\begin{pmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
T_{xy} & T_{yy}
\end{pmatrix}.
\]
Een dergelijke tensor kan geometrisch worden geïnterpreteerd als een ellips, mits de tensor positief definiet is.

De bijbehorende ellips wordt gedefinieerd door de kwadratische vorm
\[
\mathbf{x}^T \mathbf{T} \mathbf{x} = 1,
\]
waarbij \(\mathbf{x} = (x,y)^T\). Deze vergelijking beschrijft een ellips in het vlak.

De lengtes van de hoofdassen van de ellips worden bepaald door de eigenwaarden
\(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) van de tensor \(\mathbf{T}\).
De halve aslengtes zijn gegeven door
\[
a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, \qquad
b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}.
\]

De oriëntatie van de ellips wordt bepaald door de eigenvectoren van de tensor.
De rotatiehoek \(\theta\) van de hoofdassen ten opzichte van de \(x\)-as volgt uit
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2T_{xy}}{T_{xx}-T_{yy}}\right).
\]

Als voorbeeld beschouwen we een tweedimensionale spanningstensor
\[
\boldsymbol{\sigma} =
\begin{pmatrix}
100 & 30 \\
30 & 50
\end{pmatrix}
\ \text{MPa}.
\]
Deze tensor is symmetrisch en beschrijft de spanningssituatie in een punt
van een continuüm.

De normale spanning \(\sigma_n\) op een vlak met eenheidsnormaal
\(\mathbf{n} = (\cos\theta,\sin\theta)^T\) wordt gegeven door
\[
\sigma_n = \mathbf{n}^T \boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}.
\]
Deze uitdrukking definieert een spanningsellips in het vlak.

De hoofdspanningen volgen uit de eigenwaarden van de spanningstensor.
Deze worden gevonden uit
\[
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda \mathbf{I}) =
\begin{vmatrix}
100-\lambda & 30 \\
30 & 50-\lambda
\end{vmatrix}
= (100-\lambda)(50-\lambda)-900 = 0.
\]
Dit leidt tot
\[
\lambda^2 -150\lambda +4100 = 0,
\]
waaruit de eigenwaarden volgen:
\[
\lambda_1 \approx 113\ \text{MPa}, \qquad
\lambda_2 \approx 37\ \text{MPa}.
\]

Deze eigenwaarden zijn de hoofdspanningen.
De bijbehorende eigenvectoren geven de richtingen van de hoofdspanningen
en dus de hoofdassen van de spanningsellips.

De oriëntatiehoek van de hoofdspanningen ten opzichte van de \(x\)-as
wordt gegeven door
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(
\frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}
\right)
= \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{60}{50}\right).
\]

[HansH]

Dit is blijkbaar een uitwerking van punt d van de oorspronkelijke vraag ?

[wnvl1]

Het is bedoeld als een uitwerking van A, maar de wiskunde achter de verschillende letters is exact dezelfde. Met uitzondering misschien van mijn voorbeeld, PCA, dat je klassiek meer dimensionaal gaat toepassen in de data-analyse/statistiek.

[vijv]

Volgens mij is de vraagstelling niet exact geformuleerd. Zou moeten zijn een ellips kan voorgesteld worden als een tensorvergelijking met een positief definiet symmetrische 2X2 tensor. Maar dit terzijde.
A en B zijn fysische interpretaties van deze wiskundige formulering (maar er zijn nog andere voorbeelden)
C is een toepassing van deze vergelijking in de informatica
D kan je afleiden uit deze vergelijking.