Scalairen, vectoren en tensoren

[Professor Puntje]

Op dit forum wordt dikwijls verwezen naar de boeken van Zee over groeptheorie en ART omdat die boeken hele diepe inzichten geven. Maar Zee vertrekt toch ook als ik mij goed herinner van een simpele definitie van een groep en een tensor. Daarom mijn vermoeden dat je opzoek bent naar iets dat er niet is. De inzichten komen voornamelijk nadat (niet voordat) je vertrokken bent met een simpele definitie van een groep en een tensor. Ik ben helemaal van dezelfde mening als 2up1down.

Gruwel! Ik heb dat boek van Zee ook ooit aangeschaft omdat het werd aangeraden, maar dat bevat de meest weerzinwekkende "definitie" van een tensor die ik ooit in wetenschappelijk boek ben tegengekomen. En Zee is daar nog trots op ook en laat in dat boek heel duidelijk zijn minachting voor wiskundige precisie en grondslagen blijken. Als dat onder natuurkundigen voor diepgang moet doorgaan ben ik blij dat mijn studie natuurkunde aan de universiteit mislukt is.

[wnvl1]

Het is een boek dat je achteraf moet lezen als je ART al kent. Hetzelfde probeer ik te doen met zijn boek over QFT. Ik probeer daar nu een beetje in te lezen, maar het is helemaal niet bruikbaar als eerste en enige tekst. Zijn boek is een verdieping. Je kan het boek zien als het tegengestelde van Carroll en Schutz. Daarvoor wordt hij ook erg gewaaardeerd door vooraanstaande natuurkundigen. Dat heeft toch iets te betekenen.

Hij begint met:

A tensor is something that transforms like a tensor.

Long ago, an undergrad who later became a distinguished condensed matter physicist
came to me after a class on group theory and asked me, ``What exactly is a tensor?''
I told him that a tensor is something that transforms like a tensor.
When I ran into him many years later, he regaled me with the following story.
At his graduation, his father, perhaps still smarting from the hefty sum he had paid
to the prestigious private university his son attended, asked him what was the most
memorable piece of knowledge he acquired during his four years in college.
He replied, ``A tensor is something that transforms like a tensor.''

But this should not perplex us. A duck is something that quacks like a duck.
Mathematical objects could also be defined by their behavior.
We already saw in the preceding chapter that a vector is defined by how it transforms:
\[
V'_i = R_{ij} V_j .
\]

Consider a collection of ``mathematical entities'' \(T_{ij}\) with
\(i,j = 1,2,\ldots,D\) in \(D\)-dimensional space.
If they transform under rotations according to
\begin{equation}
T_{ij} \rightarrow T'_{ij} = R_{ik} R_{jl} T_{kl},
\end{equation}
then we say that \(T\) transforms like a tensor, and hence is a tensor.
(Here we are using the Einstein summation convention introduced in the previous chapter:
the right-hand side actually means
\[
\sum_{k=1}^{D} \sum_{l=1}^{D} R_{ik} R_{jl} T_{kl},
\]
and is a sum of \(D^2\) terms.)
Indeed, we see that we are just generalizing the transformation law of a vector.

Hij gaat niet die definitie verder en dieper uitspitten. Dat heeft toch iets te betekenen, lijkt mij. Dieper erop ingaan leidt tot niet veel extra inzichten, anders had hij dat wel gedaan.

[Professor Puntje]

Dat is de omgekeerde wereld! Het is juist omdat hij die "definitie" niet verder uitdiept dat die definitie ondeugdelijk is. Wat je zo leert is een rekenkunstje. Je leert tensoren toepassen, niet meer en niet minder. Wat tensoren zijn leer je niet. Sterker nog, je leert het juist af om nog te vragen wat zulke dingen als tensoren eigenlijk zijn, en je verlaagt jezelf tot het kritiekloos na-apen van voorgedane rekentrucs waarvan de geldigheid of consistentie niet wordt aangetoond.

[HansH]

Het is een boek dat je achteraf moet lezen als je ART al kent.

Dat is erg leuk om te weten, maar staat dat ook aangegeven als je het boek wilt kopen? anders koop je net zoals pp een boek en raakt er daarna gefrustreerd over. Ik ben geneigd te denken dat je iets alleen in de juiste volgorde van stappen kunt leren. Als je moet leren skien begin je immers ook niet met een uitleg wat je (had) moet(en) doen om een zwarte afdaling te overleven.

[wnvl1]

Ik heb ook eens Carroll opgezocht.

A straightforward generalization of vectors and dual vectors is the notion of a
tensor. Just as a dual vector is a linear map from vectors to \(\mathbb{R}\), a tensor \(T\) of type
(or rank) \((k, l)\) is a multilinear map from a collection of dual vectors and vectors
to \(\mathbb{R}\):
\[
T : \underbrace{T_p^* \times \cdots \times T_p^*}_{k \text{ times}}
\times \underbrace{T_p \times \cdots \times T_p}_{l \text{ times}} \to \mathbb{R}.
\tag{1.56}
\]
Here, ``\(\times\)'' denotes the Cartesian product, so that for example \(T_p \times T_p\) is the space
of ordered pairs of vectors. Multilinearity means that the tensor acts linearly in
each of its arguments; for instance, for a tensor of type \((1, 1)\), we have
\[
T(a w + b n, c V + d W) = ac\, T(w, V) + ad\, T(w, W) + bc\, T(n, V) + bd\, T(n, W).
\tag{1.57}
\]
From this point of view, a scalar is a type \((0, 0)\) tensor, a vector is a type \((1, 0)\)
tensor, and a dual vector is a type \((0, 1)\) tensor.

The space of all tensors of a fixed type \((k, l)\) forms a vector space; they can
be added together and multiplied by real numbers. To construct a basis for this
space, we need to define a new operation known as the tensor product, denoted
by \(\otimes\). If \(T\) is a \((k, l)\) tensor and \(S\) is an \((m, n)\) tensor, we define a \((k + m, l + n)\)
tensor \(T \otimes S\) by
\[
(T \otimes S)(\omega^1, \ldots, \omega^{k+m}, V_1, \ldots, V_{l+n})
= T(\omega^1, \ldots, \omega^k, V_1, \ldots, V_l)
\; S(\omega^{k+1}, \ldots, \omega^{k+m}, V_{l+1}, \ldots, V_{l+n}).
\tag{1.58}
\]

[Professor Puntje]

Ik heb ook eens Carroll opgezocht.

A straightforward generalization of vectors and dual vectors is the notion of a
tensor. Just as a dual vector is a linear map from vectors to \(\mathbb{R}\), a tensor \(T\) of type
(or rank) \((k, l)\) is a multilinear map from a collection of dual vectors and vectors
to \(\mathbb{R}\):
\[
T : \underbrace{T_p^* \times \cdots \times T_p^*}_{k \text{ times}}
\times \underbrace{T_p \times \cdots \times T_p}_{l \text{ times}} \to \mathbb{R}.
\tag{1.56}
\]
Here, ``\(\times\)'' denotes the Cartesian product, so that for example \(T_p \times T_p\) is the space
of ordered pairs of vectors. Multilinearity means that the tensor acts linearly in
each of its arguments; for instance, for a tensor of type \((1, 1)\), we have
\[
T(a w + b n, c V + d W) = ac\, T(w, V) + ad\, T(w, W) + bc\, T(n, V) + bd\, T(n, W).
\tag{1.57}
\]
From this point of view, a scalar is a type \((0, 0)\) tensor, a vector is a type \((1, 0)\)
tensor, and a dual vector is a type \((0, 1)\) tensor.

The space of all tensors of a fixed type \((k, l)\) forms a vector space; they can
be added together and multiplied by real numbers. To construct a basis for this
space, we need to define a new operation known as the tensor product, denoted
by \(\otimes\). If \(T\) is a \((k, l)\) tensor and \(S\) is an \((m, n)\) tensor, we define a \((k + m, l + n)\)
tensor \(T \otimes S\) by
\[
(T \otimes S)(\omega^1, \ldots, \omega^{k+m}, V_1, \ldots, V_{l+n})
= T(\omega^1, \ldots, \omega^k, V_1, \ldots, V_l)
\; S(\omega^{k+1}, \ldots, \omega^{k+m}, V_{l+1}, \ldots, V_{l+n}).
\tag{1.58}
\]

Carroll geeft wel een steekhoudende definitie. Een wereld van verschil met die "definitie" in Zee.

[Professor Puntje]

Het is een boek dat je achteraf moet lezen als je ART al kent.

Dat is erg leuk om te weten, maar staat dat ook aangegeven als je het boek wilt kopen? anders koop je net zoals pp een boek en raakt er daarna gefrustreerd over. Ik ben geneigd te denken dat je iets alleen in de juiste volgorde van stappen kunt leren. Als je moet leren skien begin je immers ook niet met een uitleg wat je (had) moet(en) doen om een zwarte afdaling te overleven.

Er is geen universeel juiste volgorde. Als het je alleen om het rekenen met tensoren te doen is dan heb je een wiskundige onderbouwing niet nodig. Dan kan je die wiskundige onderbouwing overslaan en direct met de rekenregeltjes gaan oefenen.

[flappelap]

Op dit forum wordt dikwijls verwezen naar de boeken van Zee over groeptheorie en ART omdat die boeken hele diepe inzichten geven. Maar Zee vertrekt toch ook als ik mij goed herinner van een simpele definitie van een groep en een tensor. Daarom mijn vermoeden dat je opzoek bent naar iets dat er niet is. De inzichten komen voornamelijk nadat (niet voordat) je vertrokken bent met een simpele definitie van een groep en een tensor. Ik ben helemaal van dezelfde mening als 2up1down.

Ik vergelijk het met vreemde talen leren. Sommigen beginnen met grammaticaboeken doorploegen. Onderzoek wijst uit dat dit geen goede benadering is, omdat je als kind zo ook geen taal leert. Je leert een taal met veel proberen, toepassen en praktijk, en dat kun je als volwassene vervokgebs aanscherpen met grammatica of nog diepere zaken zoals etymologie e.d.

Zo benader ik wiskunde ook. Dat moet ook wel als je b.v. QFT wilt leren, omdat je anders nauwelijks fysisch interessante zaken kunt gaan toepassen. Dit geldt in mindere mate ook al voor QM (neem b.v. maar eens het spoor van Heisenbergs onzekerheidsrelatie [x,p]=ih toegepast op een golffunctie, wat naïef "0=oo" impliceert, of als je functies als basis neemt die niet in je Hilbertruimte liggen, zoals bij de positie-operator).

Ik snap die afkeer die sommigen hebben van Zee dan ook niet. En als je het rigoreuzer wil is Carroll afdoende, of kun je evt. Wald gebruiken.

Maar goed, deze discussie is al vaker gevoerd en offtopic.

[HansH]

Er is geen universeel juiste volgorde. Als het je alleen om het rekenen met tensoren te doen is dan heb je een wiskundige onderbouwing niet nodig. Dan kan je die wiskundige onderbouwing overslaan en direct met de rekenregeltjes gaan oefenen.

Het ging erom of jij in dat boek vond wat je gehoopt had te vinden om het te kunnen volgen. Ik begreep toch duidelijk (dacht ik) dat je dat niet had gevonden.

[Professor Puntje]

Er is geen universeel juiste volgorde. Als het je alleen om het rekenen met tensoren te doen is dan heb je een wiskundige onderbouwing niet nodig. Dan kan je die wiskundige onderbouwing overslaan en direct met de rekenregeltjes gaan oefenen.

Het ging erom of jij in dat boek vond wat je gehoopt had te vinden om het te kunnen volgen. Ik begreep toch duidelijk (dacht ik) dat je dat niet had gevonden.

Dat klopt. Het boek is heel praktisch gericht waarbij tensoren uitsluitend als hulpmiddelen worden beschouwd voor het maken van berekeningen. Voor wie daar tevreden mee is zal het boek volstaan. Wie graag over de wiskundige grondslagen en onderbouwing van tensoren leest komt echter bedrogen uit als hij dat in Zee's boek zoekt. Overigens wordt de insteek van Zee al heel snel duidelijk zodra je in dat boek begint, zie het door wnvl1 geplaatste citaat. Dus het is maar net waar je naar op zoek bent.

[HansH]

Zo benader ik wiskunde ook. Dat moet ook wel als je b.v. QFT wilt leren, omdat je anders nauwelijks fysisch interessante zaken kunt gaan toepassen. Dit geldt in mindere mate ook al voor QM (neem b.v. maar eens het spoor van Heisenbergs onzekerheidsrelatie [x,p]=ih toegepast op een golffunctie, wat naïef "0=oo" impliceert, of als je functies als basis neemt die niet in je Hilbertruimte liggen, zoals bij de positie-operator).

Ik snap die afkeer die sommigen hebben van Zee dan ook niet.

Dat was toch duidelijk toegelicht dacht ik. als je zegt:
'A tensor is something that transforms like a tensor'
en je weet niets van tensoren dan is het enige wat je met zo'n opmerking kunt in je achterhoofd een link leggen tussen tensors en transformatie als blijkbaar een van de belangrijke eigenschappen. Maar dan heb je wel de klok horen luiden maar nog steeds geen enkel idee waar de klepel hangt.
Net zoals je dat vaak op wikipedia ziet. High level overzichten die totaal niet te volgen zijn. Ik moet zeggen dat ik daar feitelijk nog nooit iets mee ben opgeschoten.

[HansH]

Dus het is maar net waar je naar op zoek bent.

Ik neem aan in dat geval dat je op zoek bent naar uitleg hoe de relativiteits theorie werkt. dus inclusief alle stappen die nodig zijn voor het begrip. Dat kunnen deels dus ook wiskunde stappen zijn als dat het begrip verhoogt.

[vijv]

Welke teksten en boeken je goed of slecht vindt hangt af van wat je met je kennis wil bereiken. Ook is het zo als Flappelap het stelt dat kennis verwerven een iteratief proces is en dat het bestuderen van verschillende leerboeken je nieuwe inzichten kan geven. Boeken afbranden om dat ze jou doel of kennisniveau niet ondersteunen vind ik niet direct wijs.
Hetzelfde geld een beetje voor hoe diep je in een onderwerp wilt gaan. In het dagelijkse leven heb je genoeg om te kunnen rekenen in R.
Het is niet noodzakelijk dat je weet dat R een veld is onder optelling en vermenigvuldiging en ook een vectorruimte vormt.
Dus stellen dat het onzinnig is om een algemenere definitie voor tensoren te achterhalen omdat de transformatie definitie voldoet voor de toepassingen van ART vindt ik kort door de bocht.

[HansH]

Dus stellen dat het onzinnig is om een algemenere definitie voor tensoren te achterhalen omdat de transformatie definitie voldoet voor de toepassingen van ART vindt ik kort door de bocht.

als je niet weet wat er transformeert en hoe dan heeft het naar mijn idee geen zin om het te hebben over ''A tensor is something that transforms like a tensor'' Alles in de juiste volgorde leren werkt et meest effectief toch? anders denk je steeds ligt het nu aan mij of is het zo'n slecht boek? maar als je weet wat tensoren zijn en je snapt hoe ze werken dan kan het heel interessant zijn om naar een algemenere definitie te zoeken.

[flappelap]

Zo benader ik wiskunde ook. Dat moet ook wel als je b.v. QFT wilt leren, omdat je anders nauwelijks fysisch interessante zaken kunt gaan toepassen. Dit geldt in mindere mate ook al voor QM (neem b.v. maar eens het spoor van Heisenbergs onzekerheidsrelatie [x,p]=ih toegepast op een golffunctie, wat naïef "0=oo" impliceert, of als je functies als basis neemt die niet in je Hilbertruimte liggen, zoals bij de positie-operator).

Ik snap die afkeer die sommigen hebben van Zee dan ook niet.

Dat was toch duidelijk toegelicht dacht ik. als je zegt:
'A tensor is something that transforms like a tensor'
en je weet niets van tensoren dan is het enige wat je met zo'n opmerking kunt in je achterhoofd een link leggen tussen tensors en transformatie als blijkbaar een van de belangrijke eigenschappen. Maar dan heb je wel de klok horen luiden maar nog steeds geen enkel idee waar de klepel hangt.

Nee, dan moet je even verder lezen in het boek. Het is niet alsof hij alleen met deze tautologie komt. Dat lijkt me nogal wiedes.

Wat Zee met die uitspraak wil zeggen is dat studenten vaak nogal moeite hebben met het begrip "tensor", terwijl uiteindelijk de transformatie-eigenschap het allerbelangrijkste is, omdat je dat in de context van (zeg) de relativiteitstheorie het meest gebruikt. En die transformatie-eigenschap is niet zo ingewikkeld (want lineair). Wat didactisch mis kan gaan als je nadruk legt op die transformatie-eigenschappen is dat studenten niet waarderen dat tensoren an sich coördinaatonafhankelijk zijn; ik kan me zelf ook nog helder voor de geest halen toen ik voor het eerst bij Carroll las dat "vectoren niet veranderen onder coördinatentransformaties"; dat vond ik bizar, omdat ik de componenten van de vector gelijkstelde aan de vector zelf. Maar toen was ik ook nog een naïeve bachelorstudent

In de klassieke mechanica, elektromagnetisme of kwantummechanica kom je b.v. ook al vrij snel het idee van een Dirac delta "functie" tegen: een ding wat oppervlakte 1 heeft en overal 0 is op één enkel punt na. Je kunt natuurlijk uitgebreid stilstaan bij het feit dat dit eigenlijk een "gegeneraliseerde functie/distributie" is of een functionaal, maar de meeste tekstboeken die introducties aanbieden maken door hooguit een voetnoot van en benadrukken de rekeneigenschappen van zo'n distributie. Je kunt daar later altijd nog op terugkomen als je de nitty gritty details wilt. Maar nogmaals, dat maakt fundamentele natuurkunde ook lastig: als je elk stuk wiskunde volledig formeel wilt doorgronden, dan kom je in veel gevallen bijna niet tot fysische toepassingen en ben je eerst 5 jaar alleen maar wiskunde aan het bestuderen voordat je eens iets fysisch simpels kunt doorrekenen. Dat wordt vooral duidelijk als je de ambitie hebt om kwantumveldentheorie te gaan bestuderen. Zoek b.v. maar eens op hoe je padintegraalquantisatie uitvoert met (niet-)Abelse ijkvelden. Ik heb me daar persoonlijk ook nooit comfortabel bij gevoeld, omdat ik voor mijn gevoel ook niet echt doorgrond waarom dat soort technieken allemaal toegestaan zijn.

Deze discussie geldt trouwens ook voor analyse op de middelbare school: ik denk dat maar weinig scholieren vanuit de definitie van een afgeleide leren differentiëren, of vanuit de definitie van een Riemannsom leren integreren. Die abstracte definities worden vooral interessant als je eerst een conceptueel begrip van de procedure hebt en wat eenvoudige rekentechnieken hebt geleerd. En dat is toch vaak pas op een universiteit. Maar goed, da's een stukje vakdidactiek