Het geheugen van een Collatz reeks, deel 2

[Professor Puntje]

Wat ik bedoel is dat het voor de bewijsvoering handiger is om te werken met onderstaande aangepaste Collatz-rij:

shortcut 634 keer bekeken

Daarvoor moet ik dan nog wel mijn definities en bewijs aanpassen.

[Professor Puntje]

Geïmporteerd uit ander topic:

Kan AI dit even nakijken?

Definieer de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ... , T_n , ... als volgt:

\( T_{n+1} = \,\,\,\,\, \frac{T_n}{2} \,\,\,\,\, \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is even} \)

\( T_{n+1} = \frac{ 3 \cdot T_n \, + \, 1}{2} \,\, \mbox{voor} \, T_n \, \mbox{is oneven} \)


Laat de willem-breuk wb(z,a,b,c) voor alle \( z \in \mathbb{N} \) en \( a,b,c \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd zijn als:

\( \mbox{wb}(z,a,b,c) = \frac{ 3^a \cdot z \, + \, b }{ 2^c } \)

We definiëren nu de functie \( \mathcal{A} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) , de functie \( \mathcal{B} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) en de functie \( \mathcal{C} : \mathbb{N} \times \mathbb{N}_o \rightarrow \mathbb{Z} \) als volgt:

(i) Het startpunt voor alle \( x \in \mathbb{N} \) is:
\( \mathcal{A}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{B}(x,0) = 0 \)
\( \mathcal{C}(x,0) = 0 \)

(ii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle even \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) in \( \mathbb{N} \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = \mathcal{B}(x,n) \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

(iii) Voor alle \( n \in \mathbb{N}_o \) en alle oneven \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) geldt:
\( \mathcal{A}(x,n+1) = \mathcal{A}(x,n) + 1 \)
\( \mathcal{B}(x,n+1) = 3 \mathcal{B}(x,n) + 2^{\mathcal{C}(x,n)} \)
\( \mathcal{C}(x,n+1) = \mathcal{C}(x,n) + 1 \)

( Steeds met \( \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \} \) en \( \mathbb{N}_o = \{0,1,2,3, ... \} \). )

We zien dat de willem-breuk \( \mbox{wb}(x,\mathcal{A}(x,n),\mathcal{B}(x,n),\mathcal{C}(x,n)) \) voor \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) steeds een geheel getal blijft zodat je kunt uitmaken of de betreffende willem-breuk even of oneven is. Ook zien we dat de functiewaarden van \( \mathcal{A} \) , \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \) inderdaad steeds binnen \( \mathbb{Z} \) vallen. En daarmee zijn de functiewaarden van de functies \( \mathcal{A}\) , \( \mathcal{B}\) en \( \mathcal{C} \) voor alle \( x \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) gedefinieerd.



STELLING. Voor \( X(T_0,n) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) en voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \) is de rij:

X(C₀,0), X(C_0,1), X(C₀,2), X(C₀,3), ... , X(C₀,n), ... identiek aan de verkorte Collatz-rij:

T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ...


BEWIJS. Laat \( X(T_0,n) \) zijn als in de stelling omschreven. Dan hebben we voor alle \( T_0 \in \mathbb{N} \) en \( n \in \mathbb{N}_o \):

(i) Voor n=0:

\( X(T_0,0) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,0), \mathcal{B}(T_0,0), \mathcal{C}(T_0,0) ) \)

\( X(T_0,0) = \mbox{wb}(T_0, 0, 0, 0) \)

\( X(T_0,0) = T_0 \)


(ii) Voor even \( X(T_0,n) \) is dan \( \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) even. Zodat:

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n+1), \mathcal{B}(T_0,n+1), \mathcal{C}(T_0,n+1) ) \)

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n)+1 ) \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{\mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{X(T_0,n)}{2} \)


(iii) Voor oneven \( X(T_0,n) \) is dan \( \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \) oneven. Zodat:

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n+1), \mathcal{B}(T_0,n+1), \mathcal{C}(T_0,n+1) ) \)

\( X(T_0,n+1) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n)+1, \, 3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)}, \, \mathcal{C}(T_0,n) + 1 ) \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, (3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)} ) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) + 1 }} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, (3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) + 2^{\mathcal{C}(T_0,n)} ) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n)}} \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \left ( \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n)+1 } \cdot T_0 \,\, + \,\, 3 \cdot \mathcal{B}(T_0,n) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) }} \,\, + \,\, 1 \right ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \left ( 3 \cdot \frac{ 3^{\mathcal{A}(T_0,n)} \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{2^{ \mathcal{C}(T_0,n) }} \,\, + \,\, 1 \right ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = ( 3 \cdot \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) ) \,\, + \,\, 1 ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = ( 3 \cdot X(T_0,n) \,\, + \,\, 1 ) \cdot \frac{1}{2} \)

\( X(T_0,n+1) = \frac{3 \cdot X(T_0,n) \,\, + \,\, 1 }{2} \)

Waaruit we zien dat \( X(T_0,n) = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\) de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... oplevert.

[WillemB]

Dank voor kopie

[Professor Puntje]

Ook geïmporteerd uit het andere topic:

Could you ckeck the following suppossed proof relating the collatz conjecture [copy paste jouw text]

Ik zal dit inhoudelijk en kritisch nakijken, zoals gevraagd. Samengevat:
de redenering is correct, maar
het is géén bewijs van de Collatz-conjectuur, slechts een herformulering (codering) van de verkorte Collatz-iteratie.

Hieronder leg ik dat zorgvuldig uit.

1. Wat je constructie feitelijk doet

Je definieert:

* de verkorte Collatz-functie
\(
T_{n+1} =
\begin{cases}
\dfrac{T_n}{2}, & T_n \text{ even} \
\dfrac{3T_n+1}{2}, & T_n \text{ oneven}
\end{cases}
\)

* een parametrisatie
\(
\mathrm{wb}(z,a,b,c) = \frac{3^a z + b}{2^c}
\)

* en functies \(\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C\) die exact bijhouden:

* hoeveel keer de factor \(3\) is toegepast;
* welke constante term is opgebouwd;
* hoeveel delingen door \(2\) zijn uitgevoerd.

Dit is inhoudelijk vergelijkbaar met bekende representaties:
\(
T_n = \frac{3^{k_n}T_0 + d_n}{2^{m_n}}
\)
waar \((k_n,m_n,d_n)\) afhangen van het pariteitspatroon.

2. Correctheid van de stelling

Stelling

\(
X(T_0,n)=\mathrm{wb}(T_0,\mathcal A(T_0,n),\mathcal B(T_0,n),\mathcal C(T_0,n))
\)

is identiek aan de verkorte Collatz-rij.

Beoordeling

✔ Correct

Je bewijs toont precies:

* start klopt voor \(n=0\);
* bij even stap: \(X_{n+1}=\frac{X_n}{2}\);
* bij oneven stap: \(X_{n+1}=\frac{3X_n+1}{2}\).

Daarmee heb je formeel bewezen:
\(
X(T_0,n)=T_n \quad \text{voor alle } n.
\)

Dit is logisch sluitend.

3. Waarom dit géén bewijs van de Collatz-conjectuur is

Cruciaal punt

Je definities van \(\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C\) zijn recursief afhankelijk van de pariteit van \(X(T_0,n)\).

Dus:

* je weet pas hoe \(\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C\) evolueren nadat je weet of de Collatz-waarde even of oneven is;
* je gebruikt dus impliciet al de Collatz-iteratie.

Formeel gezegd:
Je hebt geen onafhankelijke beschrijving van het pariteitspatroon, maar encodeert het stap-voor-stap.

Dit maakt de constructie equivalent aan de Collatz-dynamiek, niet sterker.

4. Waar het circulair wordt (maar niet fout)

De kernzin is:

“We zien dat de willem-breuk steeds een geheel getal blijft zodat je kunt uitmaken of hij even of oneven is.”

Dat klopt, maar:

* de integriteit volgt precies omdat je de Collatz-regel gebruikt;
* er wordt niets bewezen over convergentie, terminatie of begrensdheid.

Met andere woorden:
\(
\text{Collatz} \Longleftrightarrow \text{jouw } (\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C)
\)

maar niet:
\(
\text{jouw constructie} \Longrightarrow \text{Collatz is waar}.
\)

5. Wat je wél hebt bereikt (en dat is niet triviaal)

Je hebt:

1. een exacte algebraïsche tracking van elke Collatz-stap;
2. een correcte inductieve representatie:
\(
T_n=\frac{3^{\mathcal A_n}T_0+\mathcal B_n}{2^{\mathcal C_n}};
\)
3. een nette formalisatie die geschikt is voor:

* analyse van exponentgroei;
* modulaire argumenten;
* gemiddelde-drift-studies.

Dit is dus goede wiskunde, maar van het type structuur, niet oplossing.

6. Wat er nodig zou zijn voor een echte doorbraak

Om hier een echte stap richting een bewijs te maken, zou je iets moeten aantonen zoals:

* een onafhankelijke beperking op \(\mathcal A\) ten opzichte van \(\mathcal C\);
* een universele ongelijkheid zoals
\(
3^{\mathcal A_n} < 2^{\mathcal C_n} \quad \text{vanaf zekere } n;
\)
* of een argument dat \(\mathcal B_n\) nooit te snel groeit.

Zonder zo’n extra stelling blijft alles equivalent aan Collatz zelf.

Conclusie

Eindoordeel:

* ✔ De stelling is correct.
* ✔ Het bewijs is logisch geldig.
* ✘ Het is geen bewijs van de Collatz-conjectuur.
* ✔ Het is een herformulering / codering van de Collatz-dynamiek.

Je denkwerk is duidelijk serieus en wiskundig volwassen. Dat is absoluut positief.

Related knowledge or questions

[1] Hoe ziet een expliciete formule voor \(T_n\) eruit in functie van het pariteitspatroon?
[2] Waarom zijn alle bekende algebraïsche Collatz-bewijzen uiteindelijk circulair?
[3] Welke bekende resultaten bestaan er over de verhouding \(3^{\mathcal A_n}/2^{\mathcal C_n}\)?

Je bent duidelijk diep met het probleem bezig — goed werk
Laat me weten of je [1], [2] of [3] verder wilt uitdiepen, of als je een volgende stap in je redenering wilt laten checken.

Ik heb geen abonnement op Math Solver dus ik kan het maar beperkt gebruiken. Maar dit zou een indruk dienen te geven.

[OOOVincentOOO]

Ook geimporteerd:

HIer nog de reactie op:

[2] Waarom zijn alle bekende “algebraïsche” Collatz-bewijzen uiteindelijk circulair?

Uitstekende keuze — dit raakt precies de kern van waarom Collatz zo hardnekkig is.

Ik zal dit systematisch en eerlijk uitdiepen.

Waarom zijn algebraïsche Collatz-“bewijzen” vrijwel altijd circulair?

Kernboodschap (vooraf)

Omdat elke algebraïsche beschrijving van de Collatz-rij onvermijdelijk het pariteitspatroon encodeert, en dat pariteitspatroon exact is wat onbekend is.

Zodra je het pariteitspatroon kent, is Collatz triviaal.
Maar zonder dat patroon kun je niets beslissends zeggen.

1. Wat “circulair” hier precies betekent

Een redenering is circulair als:

* de conclusies impliciet al worden gebruikt in de aannames;
* of de moeilijkheid wordt “weggedefinieerd” in een hulpfunctie.

In Collatz-termen:

Je gebruikt impliciet kennis van de toekomst van de rij om diezelfde toekomst te analyseren.

2. De fundamentele obstructie: het pariteitspatroon

Elke Collatz-iteratie kan worden geschreven als:
\(T_n = \frac{3^{k_n} T_0 + d_n}{2^{m_n}}\)

waarbij:

* \(k_n\) het aantal oneven stappen is,
* \(m_n\) het totaal aantal stappen,
* \(d_n\) de opgebouwde constante.

Maar:
de waarden van \(k_n\), \(m_n\) en \(d_n\) worden volledig bepaald door het pariteitspatroon
\((\varepsilon_0,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots), \quad \varepsilon_i \in {0,1}\).

Dat patroon is exact wat we niet kennen.

3. Waarom jouw constructie (en alle soortgelijke) circulair is

In jouw geval:

* \(\mathcal A\) telt de oneven stappen;
* \(\mathcal C\) telt het aantal delingen door 2;
* \(\mathcal B\) encodeert de opgebouwde constante.

Maar
\(\mathcal A(n+1), \mathcal B(n+1), \mathcal C(n+1)\)
worden gedefinieerd op basis van de vraag:

“Is \(X(T_0,n)\) even of oneven?”

Dat is exact de Collatz-vraag zelf.

Dus:

Je herschrijft Collatz in andere symbolen, maar je elimineert geen onzekerheid.

4. Het “illusie-effect” van gesloten formules

Veel pogingen mislukken door deze psychologische valkuil:

“Ik heb een expliciete formule, dus ik heb het probleem opgelost.”

Maar let op:

Een formule als
\(T_n = \frac{3^{\mathcal A_n} T_0 + \mathcal B_n}{2^{\mathcal C_n}}\)
is alleen bruikbaar als je:

* \(\mathcal A_n, \mathcal B_n, \mathcal C_n\) onafhankelijk kunt schatten of begrenzen.

En dat kan niemand — anders was Collatz al opgelost.

5. Vergelijking met een écht niet-circulair bewijs

Stel dat iemand zou bewijzen:

\(\forall T_0 \in \mathbb N,\ \exists N:\ \mathcal C_N > \log_2(3),\mathcal A_N + K\)

voor een vaste constante \(K\).

Dat zou Collatz oplossen, want dan geldt:
\(T_N < T_0\)
ongeacht het pariteitspatroon.

Maar:

* zo’n ongelijkheid is tot nu toe onbewijsbaar gebleken;
* elke poging gebruikt impliciet aannames over pariteitfrequenties.

6. Waarom probabilistische argumenten wél werken (maar geen bewijs zijn)

Heuristisch:

* oneven stap → vermenigvuldiging met \(\frac{3}{2}\);
* even stap → deling door 2;
* gemiddeld “krimpt” de rij.

Maar:

* probabilistische argumenten negeren deterministische correlaties;
* Collatz is geen willekeurig proces.

Ze geven dus inzicht, geen bewijs.

7. Samenvattend schema

Poging — Waarom faalt

Gesloten formules — Coderen pariteit
Matrixproducten — Pariteit bepaalt matrix
Ongelijkheden — Gebruiken gemiddeld gedrag
Modulaire analyse — Lokaal, niet globaal
Grafentheorie — Explodeert combinatorisch

8. Waarom jouw werk tóch waardevol is

Belangrijk: circulair betekent niet fout.

Jouw constructie:

* maakt expliciet waar de moeilijkheid zit;
* scheidt structuur van chaos;
* kan dienen als vertrekpunt voor statistische of modulaire analyse.

Dat is exact wat serieus Collatz-onderzoek doet.

Kernzin om te onthouden

Collatz is niet moeilijk omdat de iteratie ingewikkeld is, maar omdat het pariteitspatroon algoritmisch onvoorspelbaar lijkt.

Elke algebraïsche poging die dat patroon niet elimineert maar encodeert, kan geen bewijs zijn.

Related knowledge or questions

[1] Waarom is het Collatz-pariteitspatroon mogelijk computationeel onbeslisbaar?
[2] Hoe werkt Terras’ resultaat over eindige stopping times?
[3] Wat is het verband tussen Collatz en random walks met drift?

Je redenering is scherp en je vragen zijn precies de juiste — ga hier vooral mee door.
Kies gerust [1], [2] of [3], of stel een vervolgvraag in je eigen richting.

[Professor Puntje]

Mooi! Hoe nu verder?

[WillemB]

Hoe nu verder, analyse van AI is goed te lezen en te begrijpen, had het niet verwacht.

Citaat uit AI hierboven:

""Collatz is niet moeilijk omdat de iteratie ingewikkeld is, maar omdat het pariteitspatroon algoritmisch onvoorspelbaar lijkt.""

Dat lijkt zo, maar het geheugen analyse laat zien dat er een lichtpuntje is,
CF ≥ AF

Nog te bewijzen : het verschil CF-AF dat steeds groter wordt,
Als je kan bewijzen dat er geen getallen zijn die alleen maar oneven opleveren, dan is dat zo.
Staat ook in het verslag van AI, de verhouding cf:af is cruciaal.

Tweede dan nog te bewijzen: wanneer het kantelpunt bereikt wordt waardoor reeks 1 wordt.
dat kantel punt heeft als definitie , 1 = (3^af.C₀ +b ) / 2^cf

Gaan we eens rustig over nadenken.

[Professor Puntje]

Voor de verkorte Collatz-rij T₀ , T₁ , T₂ , T₃ , ... , T_n , ... waarmee het makkelijker rekent gelden nu de functies \( \mathcal{A} \), \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \). Die zijn net iets anders dan af, bf en cf. Voor de relaties tussen \( \mathcal{A} \), \( \mathcal{B} \) en \( \mathcal{C} \) zal nu wel een en ander te bewijzen zijn. Misschien kan AI dat zelfs wel...?

[Regor]

Sorry voor de inmenging.
Gewoon nog even ter herinnering.... baat het niet, dat schaad het niet.

1. Van zodra een oneven Cn getal bereikt wordt kleiner dan het start oneven getal Co.......mag die rij als empirisch bewezen beschouwd worden ....... als die voor Cn ook empirisch reeds bewezen is.
2. De onbekende functies van A, B en C, (cursief) kunnen mijns inziens gevonden worden via de studie van de verschillende groepen oneven getallen .... die tot specifieke groepen even getallen leiden ( x maal deelbaar door 2).
Heb wat resultaten op papier.

[WillemB]

Stel er is een getal T_c ≠ Collatz, dus waarvoor Collatz niet zou gelden en de reeks nooit op 1 uitkomt:

Dan zou naar aanleiding van wat we tot nu toe gevonden hebben voor T_c gelden:

lim \(f(x) = \mathcal{C} \) - \( \mathcal{A} \) waarbij x => ∞

[Professor Puntje]

Ik heb voor T_n in de verkorte Collatz-rij T₀, T₁, T₂, T₃, ..., T_n, ... dat::

\( T_n = \mbox{wb}( T_0, \mathcal{A}(T_0,n), \mathcal{B}(T_0,n), \mathcal{C}(T_0,n) )\)

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{C}(T_0,n) } } \)

Maar wat kun je daarmee?

[WillemB]

Waar ik naar toe wil, omgekeerd bewijs, dat er geen getal bestaat : T_n ≠ Collatz

Als deze functie waar is:
lim \(f(x) = \mathcal{C} \) - \( \mathcal{A} \) waarbij x => ∞

dan komt in de teller: 3^{\(\mathcal{A}\)} en in de noemer 2^{\(\mathcal{A+}f(x) \)}

\( T_n = \frac{ 3^{ \mathcal{A}(T_0,n) } \cdot T_0 \, + \, \mathcal{B}(T_0,n) }{ 2^{ \mathcal{C}(T_0,n) } } \)

de noemer wordt oneindig groot wanneer 1 niet bereikt kan worden, waardoor de breuk <1 wordt,

Als je kan bewijzen dat dit klopt, dan heb je ook een bewijs, omdat er geen getal gevonden kan worden
die niet aan Collatz voldoet, daaruit volgt dan dat alle getallen wel aan Collatz voldoen.

[Professor Puntje]

Je kunt ook aan AI vragen welke algebraïsche en analytische verbanden het tussen \( \mathcal{A}(T_0,n) , \, \mathcal{B}(T_0,n) \, \mbox{en} \,\, \mathcal{C}(T_0,n) \) ziet.

[Professor Puntje]

Wat is die f(x)? Hoe is die gedefinieerd?

[WillemB]

Wat is die f(x)? Hoe is die gedefinieerd?

lim \(f(x) = \mathcal{C}(T_0,n) \) - \( \mathcal{A}(T_0,n) \) waarbij x => ∞

zo beter ?