Scalairen, vectoren en tensoren

[flappelap]

Het is een boek dat je achteraf moet lezen als je ART al kent.

Die indruk heb ik juist helemaal niet. Ik zou zijn QFT boek nooit als introductie aanraden, maar zijn ART boek lijkt mij buitengewoon geschikt als een eerste kennismaking. Juist omdat het veel intuïtie bevat, maar in tegenstelling tot zijn QFT-boek ook uitgebreid de gebruikelijke basisberekeningen bevat. Maar goed, dat ligt er ook aan wat je er mee wilt bereiken. Als je wiskundig rigide wilt zijn, dan moet je Wald gebruiken. Ik heb dat zelf altijd een afzichtelijk boek gevonden (en ik heb voor mijn afstuderen het nodige van Wald moeten lezen), maar ieder zijn ding.

Om ontopic te blijven: Wald definieert de connectie ook als een tensor, wat bij mij toendertijd voor de nodige verwarring zorgde (en ik snap de clou daarvan nog steeds niet helemaal, maar dat boeit me ook weinig).

[HansH]

Nee, dan moet je even verder lezen in het boek. Het is niet alsof hij alleen met deze tautologie komt. Dat lijkt me nogal wiedes.

Wat Zee met die uitspraak wil zeggen is dat studenten vaak nogal moeite hebben met het begrip "tensor", terwijl uiteindelijk de transformatie-eigenschap het allerbelangrijkste is, omdat je dat in de context van (zeg) de relativiteitstheorie het meest gebruikt. En die transformatie-eigenschap is niet zo ingewikkeld (want lineair). Wat didactisch mis kan gaan als je nadruk legt op die transformatie-eigenschappen is dat studenten niet waarderen dat tensoren an sich coördinaatonafhankelijk zijn; ik kan me zelf ook nog helder voor de geest halen toen ik voor het eerst bij Carroll las dat "vectoren niet veranderen onder coördinatentransformaties"; dat vond ik bizar, omdat ik de componenten van de vector gelijkstelde aan de vector zelf. Maar toen was ik ook nog een naïeve bachelorstudent

Het zal wel aan mij liggen maar ik had ook op de middelbare school al liever dat de docent geen geheimzinnige omwegen maakte, maar gelijk vertelde wat de essentie was. Dus als je het hebt over vectoren die coordinaat onafhankelijk zijn dan is dat heel simpel uit te leggen door gewoon even even het hele coordinaten stelsel weg te halen. dat kan iedereen toch in een paar minuten snappen, zelfs als je nog geen eens een batchelor hebt?

Van de middelbare school kan ik me nog wel herinneren dat de docent differentieren uitlegde via [F(x+delta_x)-F(x)]/delta_x en als je dat toepaste op een functie dat je ook mooi kon afleiden hoe de gedifferentieerde functie eruit zag door delta_x naar 0 te laten gaan. voor mij maakte dat toch wat meer indruk dan die trukendoos met afgeleide formules uit je hoofd leren.

Zo kan ik mij van de electro studie ook nog wel herrinneren dat van die dirac pulsen en dat je zo'n een puls ook kon samenstellen uit oneindig veel sinussen die notabene al voor t=0 begonnen. Dus hoe kon je nu weten dat je die sinussen al moest starten op t=-oneindig als je nog niet eens had besloten om op t=0 die dirac pulse te geven. Blijkbaar was ik de enige die dat ging vragen en de anderen keken toen net of ze water zagen branden.

[Professor Puntje]

Zo kan ik mij van de electro studie ook nog wel herrinneren dat van die dirac pulsen en dat je zo'n een puls ook kon samenstellen uit oneindig veel sinussen die notabene al voor t=0 begonnen. Dus hoe kon je nu weten dat je die sinussen al moest starten op t=-oneindig als je nog niet eens had besloten om op t=0 die dirac pulse te geven. Blijkbaar was ik de enige die dat ging vragen en de anderen keken toen net of ze water zagen branden.

Die Dirac delta-functie is ook zoiets dat ik helemaal zelf heb moeten uitzoeken hoe je dat wiskundig correct met generaliseerde functies of distributies (of nog wat andere methoden ook) kunt doen. Internet bestond toen nog niet. Maar nu begrijp ik wel dat technische opleidingen veel te lang zouden duren als je zulke zaken rigoureus wiskundig zou uitleggen, nog afgezien daarvan dat zo'n uitleg de meeste technici in opleiding volstrekt niet zou interesseren.

[wnvl1]

Het is een boek dat je achteraf moet lezen als je ART al kent.

Die indruk heb ik juist helemaal niet. Ik zou zijn QFT boek nooit als introductie aanraden, maar zijn ART boek lijkt mij buitengewoon geschikt als een eerste kennismaking. Juist omdat het veel intuïtie bevat, maar in tegenstelling tot zijn QFT-boek ook uitgebreid de gebruikelijke basisberekeningen bevat.

Klopt misschien wel. Ik extrapoleer waarschijnlijk te veel van zijn QFT boek naar zijn ART boek. Ik heb zijn ART boek ook pas gezien toen ik ART al voor een groot gedeelte begreep.

[HansH]

Die Dirac delta-functie is ook zoiets dat ik helemaal zelf heb moeten uitzoeken hoe je dat wiskundig correct met generaliseerde functies of distributies (of nog wat andere methoden ook) kunt doen. Internet bestond toen nog niet. Maar nu begrijp ik wel dat technische opleidingen veel te lang zouden duren als je zulke zaken rigoureus wiskundig zou uitleggen, nog afgezien daarvan dat zo'n uitleg de meeste technici in opleiding volstrekt niet zou interesseren.

Tussen riroureus uitleggen en de basis overbrengen zit nog een hele wereld. Je kunt de fourier analyse uitleggen met complexe e machten en integralen, maar dan snap je nog niet de essentie wat er uberhaupt gebeurt. Mijn docent vroeger begon met het verhaal dat een sinus x andere sinus alleen niet 0 oplevert als beide sinussen dezelfde frequentie hebben en kon dat heel inzichtelijk laten zien. als je dat eenmaal begrijp dan begrijp je de hele basis van de fourier transformatie. Wat ik maar aan wil geven is dat de meeste dingen moeilijk en onoverzichtelijk uitgelegd kunnen worden of logisch en simpel. als je de mazzel hebt van een goede docent dan wordt het dus logisch en simpel.

[Professor Puntje]

Veel simpel en logisch uitziende ideeën werken helemaal niet. Daarom heb je rigoureuze wiskunde nodig om te laten zien of iets wel echt klopt. Zolang je op het popiejopie niveau blijft hangen heb de kern van de zaak nog niet doorgrond.

[HansH]

Veel simpel en logisch uitziende ideeën werken helemaal niet. Daarom heb je rigoureuze wiskunde nodig om te laten zien of iets wel echt klopt. Zolang je op het popiejopie niveau blijft hangen heb de kern van de zaak nog niet doorgrond.

Ga dat idee maar eens wat proberen met sinussen. Dan zul je zien dat het gewoon werkt. het is dus geen popiejopie niveau maar de essentie van de fourier analyse. ik denk dat Fourier er zelf ook op die manier achter is gekomen dat hij iets slims in handen had.

[vijv]

Veel simpel en logisch uitziende ideeën werken helemaal niet. Daarom heb je rigoureuze wiskunde nodig om te laten zien of iets wel echt klopt. Zolang je op het popiejopie niveau blijft hangen heb de kern van de zaak nog niet doorgrond.

Ik ga akkoord dat als je een theorie of stelling wilt bewijzen het wiskundig rigoureuze moet kloppen. Echter om het te begrijpen heb je meer nodig. Ik ken weinig wiskundeboek die geen tekst bevatten en enkel maar formules. Laat staan voor natuurkunde. Als je daar geen metaforen gebruikt is het onverstaanbaar voor iedereen.

Je moet je wel steeds bewustzijn dat dit metaforen zijn en de werkelijke theorie in de wiskunde is vastgelegd. Je mag ook niet vergeten onder welke voorwaarden je een theorie hebt opgesteld, maw welke wiskundige randvoorwaarden er opgelegd zijn om tot een theorie te komen.

[Professor Puntje]

Veel simpel en logisch uitziende ideeën werken helemaal niet. Daarom heb je rigoureuze wiskunde nodig om te laten zien of iets wel echt klopt. Zolang je op het popiejopie niveau blijft hangen heb de kern van de zaak nog niet doorgrond.

Ga dat idee maar eens wat proberen met sinussen. Dan zul je zien dat het gewoon werkt. het is dus geen popiejopie niveau maar de essentie van de fourier analyse. ik denk dat Fourier er zelf ook op die manier achter is gekomen dat hij iets slims in handen had.

Fourier had zelf ook geen sluitende onderbouwing, dat is pas later door echte wiskundigen uitgeplozen. Zo gaat dat met grootse ideeën zonder wiskundig sluitende uitwerking of bewijs, sommige blijken van waarde en andere vallen uiteindelijk toch door de mand. Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_s ... evelopment

Popiejopie verhaaltjes (de essentie op één A4'tje) kunnen enkel als motivatie dienen, maar wie wil weten of het allemaal eigenlijk wel klopt heeft rigoureuze wiskunde nodig. Motivatie is inderdaad belangrijk wanneer je iets leert, maar je moet jezelf niet voor de gek houden dat die motivatie al de eigenlijke onderbouwing zou zijn.

[HansH]

Motivatie is inderdaad belangrijk wanneer je iets leert, maar je moet jezelf niet voor de gek houden dat die motivatie al de eigenlijke onderbouwing zou zijn.

Dat is ook niet wat ik zeg. ik zeg alleen dat het je kan helpen om het beter/sneller te begrijpen. (dat is ook wat vijv zegt volgens mij: 'Echter om het te begrijpen heb je meer nodig. Ik ken weinig wiskundeboek die geen tekst bevatten en enkel maar formules. Laat staan voor natuurkunde. Als je daar geen metaforen gebruikt is het onverstaanbaar voor iedereen.')

[Professor Puntje]

In de praktijk (zoals in het geval van tensoren of de ART) verkeren we al jaren in de volgende vicieuze cirkel:

(1) HH: Wat is de essentie van X, en graag op één A4'tje.
(2) Kenner: Simpel uitgelegd is dat Y.
(3) HH: Ja - maar daaraan ontbreken allerlei logische stappen!
(4) Kenner: OK - een wiskundig steekhoudende definitie van X is ^8&@#$$)(*65*&9.
(5) HH: Veel te ingewikkeld! Wie de theorie echt goed beheerst moet dat ook simpel kunnen uitleggen.
GOTO (1)

[wnvl1]

Carroll geeft wel een steekhoudende definitie. Een wereld van verschil met die "definitie" in Zee.

Als studieboek prefereer ik ook Carroll. Maar als je de definitie van Carroll goed snapt, zal je toch ook wel inzien dat wat Zee schrijft ook wel steek houdt. Daarom een voorkeur om Zee achteraf te lezen, al kan je er ook van vertrekken zoals ik mezelf corrigeerde in een eerder topic. Het staat wel los van mijn punt dat ik denk dat je van een beknopte eenvoudige definitie van een tensor kan vertrekken om diep inzicht te verwerven in ART en toepassingen in QM. Verdieping is relevanter voor de structuren die zich boven het niveau van tensoren bevinden.

[Professor Puntje]

Voor mij gaat wiskunde ergens over, en is het geen betekenisloos spel met symbolen. Vergelijkingen waarin tensoren voorkomen doen uitspraken over tensoren die waar of onwaar kunnen zijn, en om de correctheid van die vergelijkingen te kunnen controleren moet ik dan ook weten wat tensoren zijn. Had ik met Zee begonnen dan had dat al direct mis gegaan. Nu ik weet wat tensoren zijn zou het wellicht wel kunnen, hoewel de minachting die Zee voor een rigoureus wiskundige aanpak toont mij nog steeds tegenstaat. Het boek staat nu vooral in de kast als afschrikwekkend voorbeeld van hoe sommige natuurkundigen te werk menen te moeten gaan.

[HansH]

In de praktijk (zoals in het geval van tensoren of de ART) verkeren we al jaren in de volgende vicieuze cirkel:

(1) HH: Wat is de essentie van X, en graag op één A4'tje.
(2) Kenner: Simpel uitgelegd is dat Y.
(3) HH: Ja - maar daaraan ontbreken allerlei logische stappen!
(4) Kenner: OK - een wiskundig steekhoudende definitie van X is ^8&@#$$)(*65*&9.
(5) HH: Veel te ingewikkeld! Wie de theorie echt goed beheerst moet dat ook simpel kunnen uitleggen.
GOTO (1)

We waren al iets verder, zie oa dit filmpje;
viewtopic.php?p=1271698#p1271698
Daar wordt het redelijk simpel uitgelegd. Maar ik was nog bezig met de details daarvan.

[vijv]

Als studieboek prefereer ik ook Carroll. Maar als je de definitie van Carroll goed snapt, zal je toch ook wel inzien dat wat Zee schrijft ook wel steek houdt. Daarom een voorkeur om Zee achteraf te lezen, al kan je er ook van vertrekken zoals ik mezelf corrigeerde in een eerder topic. Het staat wel los van mijn punt dat ik denk dat je van een beknopte eenvoudige definitie van een tensor kan vertrekken om diep inzicht te verwerven in ART en toepassingen in QM. Verdieping is relevanter voor de structuren die zich boven het niveau van tensoren bevinden.

Wel volgens mij hanteert Carroll indirect de definitie van het tensorproduct zeker in de secties pullback pushforward
En hoe combineer je twee hlbertruimtes(vectoren)van afzonderlijke systemen?