Scalairen, vectoren en tensoren

[wnvl1]

Ja, hij breidt quasi automatisch uit van vector / covector naar een collectie van p vectoren en q covectoren voor een pq tensor. Ik zie daar weinig problemen in.

De vraag over hilbertruimtes is gerelateerd aan QM veronderstel ik?

[vijv]

Ja, hij breidt quasi automatisch uit van vector / covector naar een collectie van p vectoren en q covectoren voor een pq tensor. Ik zie daar weinig problemen in.

Er is geen probleem ,maar die uitbreiding kan je enkel verantwoorden via het tensorproduct.

De vraag over hilbertruimtes is gerelateerd aan QM veronderstel ik?

Klopt

PS Ik wil hier niet beweren dat de transformatie definitie waardeloos is. Ik ben op die manier er ook in gerold. Net zo min dat het onverstandig is om te starten met vectoren als pijlen in R³. Maar wel dat het kennen van de algemenere definitie extra inzicht kan geven.

[wnvl1]

En hoe combineer je twee hlbertruimtes(vectoren)van afzonderlijke systemen?

Via een tensorproduct, maar je kunt een systeem alleen opdelen in subsystemen als je alle meetbare grootheden van het totale systeem kunt verdelen in twee groepen met de volgende eigenschappen.
Ten eerste moet elke groep op zichzelf volledig zijn: met alleen die grootheden kun je de toestand van het bijbehorende subsystem volledig beschrijven.
Ten tweede mogen de grootheden uit de ene groep nooit interfereren met die uit de andere groep: een meting in de ene groep mag de mogelijke uitkomsten van metingen in de andere groep niet beïnvloeden.

Als aan beide voorwaarden is voldaan, dan zijn de twee groepen grootheden onafhankelijk van elkaar. In dat geval beschrijven ze twee echte subsystemen, en hoort bij elk subsystem een eigen Hilbertruimte. De Hilbertruimte van het totale systeem is dan het tensorproduct van die twee Hilbertruimtes.

Als je die opsplitsing niet kunt maken — omdat sommige grootheden onvermijdelijk beide aspecten tegelijk raken, of omdat de ene niet gedefinieerd kan worden zonder de andere — dan bestaat er geen zinvolle opsplitsing in subsystemen. Het systeem is dan fundamenteel één geheel, en een tensorproductbeschrijving introduceert toestanden die fysisch niet bestaan.

[vijv]

Klopt,
maar dus heb je om niet interfererende groepen te beschrijven heb je een tensorproduct nodig en is een concrete beschrijving een tensor. Deze wordt dus niet gedefinieerd via transformatie, maar via het tensorproduct;

[wnvl1]

Stelling: Het tensorproduct van twee vectoren transformeert als een tensor van rang \( (2,0) \).

Laat \( V \) een vectorruimte zijn met basis \( \{e_i\} \).
Een vector \( v \in V \) kan geschreven worden als
\[
v = v^i e_i.
\]

Onder een basisverandering
\[
e_i' = A_i^{\;j} e_j
\]
transformeren de vectorcomponenten volgens
\[
v'^i = (A^{-1})_j^{\;i} v^j.
\]

Neem nu twee vectoren \( v, w \in V \).
Hun tensorproduct is
\[
T = v \otimes w.
\]

In componenten geldt:
\[
T = (v^i e_i) \otimes (w^j e_j)
= v^i w^j (e_i \otimes e_j).
\]

De componenten van \( T \) zijn dus
\[
T^{ij} = v^i w^j.
\]

Onder de basisverandering transformeren de vectorcomponenten als
\[
v'^i = (A^{-1})_k^{\;i} v^k,
\qquad
w'^j = (A^{-1})_l^{\;j} w^l.
\]

De getransformeerde tensorcomponenten zijn dan
\[
T'^{ij} = v'^i w'^j.
\]

Invullen levert:
\[
T'^{ij}
= (A^{-1})_k^{\;i} v^k \, (A^{-1})_l^{\;j} w^l
= (A^{-1})_k^{\;i} (A^{-1})_l^{\;j} T^{kl}.
\]

Conclusie.
De transformatiewet
\[
T'^{ij} = (A^{-1})_k^{\;i} (A^{-1})_l^{\;j} T^{kl}
\]
is precies de definitie van een contravariante tensor van rang \( (2,0) \).
Daarom transformeert het tensorproduct \( v \otimes w \) als een tensor.

[vijv]

Zolang je niet definieert wat dit exact is
\[
T = v \otimes w.
\]

mag je deze regel niet toepassen
\[
T = (v^i e_i) \otimes (w^j e_j)
= v^i w^j (e_i \otimes e_j).
\]
maw je moet eerst definiëren wat een tensorproduct is.
Een tensorproduct is een product tussen twee vectorruimtes en niet tussen twee vectoren. Een tensor is een element van een vectorproduct. De specifieke constructie van het tensorproduct zorgt ervoor dat lineariteit behouden blijft.

[vijv]

Vergeet mijn laatste post. Was een idiote opmerking.

[Professor Puntje]

Er bestaat ook een definitie voor het tensorproduct van tensoren: